Контрольная работа по "Экономико-математическим методам и моделям в отрасли связи"

Необходимо  оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n-линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга. Средняя плотность потока равна l вызовов в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно t_обс единиц времени.

 

Исходные данные:

Количество линий, n – 8;

плотность потока (вызовов), l - 4;

среднее время разговора, t_обс - 1

 

Решение:

Автоматические телефонные станции относятся к типу систем обслуживания с потерями (с отказами).

Для определения  основных показателей работы АТС  необходимо рассчитать значение поступающей нагрузки в Эрлангах Ψ и вероятности P_k, что из n-линий k будет занято.

Формулы, которые служат для расчета вероятностей р, k =0,1, ...,n, в установившемся режиме, называются формулами Эрланга :

 

                                                   Ψ = λ* t_{обс               ,}                                  (1)

 

Где, Ψ –  входящая нагрузка в Эрлангах;

λ  - плотность  потока, количество вызовов в единицу  времени;

t_обс – среднее время одного разговора.

 

Ψ =  4 · 1= 4 Эрл.

Получим значение поступающей нагрузки равной 4 Эрл.

Далее найдем вероятность того, что k- линий из n будут заняты по формулам 2,3.

                                                  P_k = ,                      (2) 

                                                                      (3) 

P₀ – вероятность того, что в системе нет ни одного требования.

 

 

Данные сведем в таблицу:

                                                                                      

K (линии)	Ψk (поступающая нагрузка)	K!	Ψk/k!
1	4	1	4
2	16	2	8
3	64	6	10,667
4	256	24	10,667
5	1024	120	8,533
6	4096	720	5,689
7	16384	5040	3,251
8	65536	40320	1,625
Итого	-	-	52,432

 

 

P₀ = 1 / 52,432 = 0,019072

 

1. Вероятность отказа равна:

 

P_отк = (Ψⁿ / n!) ∙ P₀

 

Получим:  P_отк= (4⁸ / 8!) ∙ 0,019072 = 0,031

 

2. Среднее  число занятых линий равно:

                                                       _n

n_{зан ср}  =   ∑ [Ψ^k / (k-1)!]*P₀

                                                        ^k=1

Получим:  n_{зан ср} = 0,019072*(4¹ / 0!+ 4² / 1!+4³ / 2!+ 4⁴ / 3!+ 4⁵ / 4!+ 4⁶ /5!+ 4⁷ /6!+ 4⁸ /7!) = 3,9523

 

3. Среднее число свободных линий равно:

 

n_{своб ср} = n_общ. - n_{зан ср}

 

Получим:   n_{своб ср} = 8 – 3,9523 = 4,0477

 

4. Коэффициент  занятости линий:

К_занят = n_{зан ср} / n

    Получим:  К_занят = 3.9523/ 8 = 0.494

 

 

5. Коэффициент  простоя линий:

К_прост = n_{своб ср} / n

 

Получим: К_своб = 4.0477/ 8 = 0.5059

 

  Вывод: Оценивая работу данной автоматической станции (АТС), было выявлено, что вероятность отказа в предоставлении вызова равна 0.031 при коэффициенте занятости линии 0.494, то есть около 3% позвонивших получат отказ в ответе, а загрузка линий составляет всего 49,4%, таким образом, среднее число занятых и свободных линий равно. Данные показатели неплохие для работы АТС, тем не менее коэффициент простоя больше 50%, а следовательно в это время возникают неоправданные затраты на обслуживание данной АТС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

 

Задание:

С учетом установленного контрольного срока рассчитать:

- количество маршрутов;

- распределить пункты обслуживания между маршрутами;

- определить последовательность обхода пунктов обслуживания.

 

Исходные данные:

В таблице 3.1 приводится матрица суммарных затрат времени на проход между i и j пунктами и обслуживание j-пункта.

Значение контрольного срока К_s = 75 мин.

 

        Таблица 3.1 – Матрица затрат времени, минут

 

	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н
А	-	32	24	36	20	18	20	21	34	24	34	22	26
Б	27	-	25	35	24	19	25	22	24	34	30	25	18
В	19	28	-	15	21	25	23	27	15	17	31	13	35
Г	31	38	15	-	23	19	25	27	29	19	23	21	17
Д	16	24	20	25	-	29	30	15	23	18	20	16	17
Е	13	19	25	17	29	-	14	18	21	23	27	23	18
Ж	15	23	24	25	31	18	-	15	15	25	19	15	21
З	16	19	27	27	15	19	15	-	31	33	37	30	13
И	28	27	15	29	23	21	18	31	-	25	15	19	21
К	18	33	17	17	19	23	25	33	25	-	17	17	25
Л	29	30	30	23	21	27	19	35	15	17	-	15	23
М	17	24	10	21	17	23	15	34	19	15	15	-	19
Н	21	18	35	15	17	19	20	13	21	25	20	19	-

 

 

Решение:

Для решения  данной задачи используем алгоритм «задачи  развозки». Ценность этого метода заключается  в том, что он позволяет определить необходимое количество маршрутов, их тип (радиальный или кольцевой), распределить пункты между маршрутами, построить маршруты с учетом заданного контрольного времени на обслуживание маршрутов.

Решение задачи начнем с  преобразования матрицы исходных данных. Заголовок в преобразованную  матрицу переписывается без изменения, а элементы основной части преобразованной  матрицы (С_ij) рассчитываются по формуле (3.1): 

                                                                                      (3.1)

 

По результатам  расчетов получаем преобразованную  матрицу (таблица 3.2.).

 

          Таблица 3.2 – Преобразованная матрица

 

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	-	32	24	36	20	18	20	21	34	24	34	22	26
2	27	-	26	28	23	26	22	26	37	17	31	24	35
3	19	23	-	40	18	12	16	13	38	26	22	28	10
4	31	25	40	-	28	30	26	25	36	36	42	32	40
5	16	24	20	27	-	5	6	22	27	22	30	22	25
6	13	26	12	32	4	-	19	16	26	14	20	12	21
7	15	24	15	26	4	15	-	21	34	14	30	22	20
8	16	29	13	25	21	15	21	-	19	7	13	8	29
9	28	33	37	35	25	25	30	18	-	27	47	31	33
10	18	17	25	37	19	13	13	6	27	-	35	23	19
11	29	31	23	42	28	20	30	15	48	36	-	36	32
12	17	25	31	32	20	12	22	4	32	26	36	-	24
13	21	35	10	42	24	20	21	29	34	20	35	24	-

 

 

Далее в  основной части преобразованной матрицы выбираем максимальный элемент .

Поскольку общие  затраты времени на обслуживание маршрута не должны превышать установленного контрольного срока (K_s=75 мин.), то все получаемые варианты маршрутов проверяются на соответствие контрольному сроку.

Если  , то включение в маршрут прохода (или проезда) считается допустимым. В этом случае строка k и столбец l в преобразованной матрице вычеркиваются, и одновременно вычеркивается элемент обратной связи этих пунктов C_lk, так как движение из пункта k в пункт l в кольцевом маршруте исключает движение из пункта l в пункт k.

Далее, снова  из числа невычеркнутых выбирается максимальный элемент и т.д.  Если включение прохода (или проезда) между пунктами k и l приводит к образованию маршрута, время обхода по которому больше заданного контрольного срока, вариант маршрута 1-k-l-1 считается недопустимым, а поэтому элемент, соответствующий этой связи в преобразованной матрице зачеркивается. После этого среди невычеркнутых элементов преобразованной матрицы снова ищется максимальный.

Расчеты продолжаются до тех пор, пока все элементы матрицы не будут вычеркнуты.

Элемент 1:

Т_обсл= 34+15+28 = 77мин

Сравним полученный результат с контрольным временем – 75 мин. Очевидно, что полученный результат  превышает контрольное время, следовательно, маршрут недопустим. В таком случае, вычеркиваем элемент, который привел к недопустимости маршрута .

Найдем следующие  максимальные элементы по порядку:

 

Элемент 2:

Т_обсл= 34+15+29 = 78мин

Маршрут недопустим, вычеркиваем элемент

 

Элемент 3:

Т_обсл= 26+15+31 = 72 мин <К_s

Маршрут допустим, в преобразованной матрице вычеркивается строка 13, столбец 4 и элемент обратной связи

 

Элемент 4:

Т_обсл = 26+31+15 = 72мин< К_s

Маршрут допустим, в преобразованной матрице вычеркивается строка 11, столбец 4 и элемент обратной связи

 

Расчеты продолжаем до тех пор, пока все элементы матрицы  не будут вычеркнуты. После проверки всех маршрутов, оптимальные для внедрения (допустимые) только те, время обслуживания которых не превышает контрольное время в 75 мин, то есть:

 

1. АН-НГ-ГА;

2. АМ-МЛ-ЛК-КА;

3. АВ-ВИ-ИМ-МА;

4. АЗ-ЗБ-БЕ-ЕА;

5. АД-ДЖ-ЖА.