Контрольная работа по "Экономико-математическим методам и моделям в отрасли связи"

Министерство  связи  и массовых коммуникаций

Российской  Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего 

профессионального образования

Сибирский государственный  университет телекоммуникаций и 

информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов СибГУТИ

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

по дисциплине:

 

«Экономико-математические методы и модели

в отрасли связи».

(Вариант 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       Выполнил: студент Богданов Е.А.

        Группа: ЭМ-07с

    

 

 

                            Проверил:  доц. Батый А.Р.

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск 2009г.

 

 

Задача 1

 

На территории города имеется  три телефонных станции А, Б и В. Незадействованные емкости станций составляют (таблица 1.1):

- на станции А – Q_А, номеров;

-  на станции Б – Q_Б, номеров;

-  на станции В – Q_В номеров.

          Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют (таблица 1.2):

- 1 - q₁ номеров;

- 2 - q₂ номеров;

- 3 - q₃ номеров;

- 4 - q₄ номеров.

 

Задание: Необходимо составить экономико-математическую модель задачи и с помощью распределительного или модифицированного метода линейного программирования найти вариант распределения емкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети. Естественно, что таким вариантом при прочих равных условиях будет такое распределение емкости, при котором общая протяженность абонентских линий будет минимальной.

 

           Исходные данные:

Таблица 1.1 Свободные емкости телефонных станций

Возможности станций	номеров
QА	1000
QБ	1500
QВ	500

 

Таблица 1.2 - Спрос  на установку телефонов

Спрос районов	номеров
q1	400
q2	800
q3	1200
q4	600

 

Таблица 1.3 - Средние  расстояния от станции до районов  застройки, км

Станции	Районы
	q 1	q2	q3	q4
А	4	5	6	4
Б	3	2	1	4
В	6	7	5	2

 

 

 

 

Решение:

 

Проверим  соотношения между суммарной  возможностью поставщиков и суммарным спросом потребителей:

 

Получаем, что      , то есть модель закрытая, вводим условную станцию, возможность которой равна   .

Составим  экономико-математическую модель задачи в развернутом виде. Ограничивающая часть модели должна содержать ограничения  по возможности станций  и по спросу потребителей . Функция цели задачи должна отражать искомый результат в соответствии с выбранным критерием оценки .

 

Решим задачу распределительным методом. Построим исходный план способом  «северо-западного угла» (Таблица 1.4).

 

Таблица 1.4 -  Матрица для m-пунктов отправления (поставщиков) и n-пунктов назначения (потребителей).

Наименование  поставщиков	Наименование  потребителей				Возможности пунктов отправления
	q1	q2	q 3	q 4
QА	400	600	-	-	1000
QБ	-	200	1200	100	1500
QВ	-	-	-	500	500
Потребности пунктов назначения	400	800	1200	600	3000

 

 

Следует заметить, что при заполнении исходного  плана способом «северо-западного  угла» зачастую получается план, весьма далекий от оптимального.

 

         Функция цели задачи должна отражать искомый результат в соответствии с выбранным критерием оценки .

 

 

 

 

Наименование  поставщиков	Наименование  потребителей				Возможности пунктов отправления
	q1	q2	q 3	q 4
QА	4 400	5 600	6 -	4 -	1000
QБ	3 -	2 200	1 1200	4 100	1500
QВ	6 -	7 -	5 -	2 500	500
Потребности пунктов назначения	400	800	1200	600	3000

 

Рассчитаем  затраты:

Z = (400*4)+(600*5)+(200*2)+(1200*1)+(100*4)+(500*2)=7600

То есть при  данном исходном плане затраты составят 7600, согласно цели задачи сводим данное значение к min.

 

Далее начнем проверять исходный план на оптимальность с помощью характеристик, рассчитываемых для свободных мест плана.

Характеристики  свободных мест определяются с помощью  контуров. Контуры строятся из горизонтальных и вертикальных отрезков прямых по правилу: одна вершина контура должна находиться в свободной клетке, для  которой считается характеристика, а все остальные вершины контура должны находиться в занятых местах. У вершины контура проставляются знаки: у вершины, находящейся в свободной клетке ставится всегда «+», а знаки других вершин чередуются «–», «+» и т.д.

Значение  характеристики свободной клетки находится как алгебраическая сумма оценок С_ij , стоящих у вершин контура. При этом оценки суммируются с учетом знаков, проставленных у вершин.

План считается  оптимальным, если характеристики всех свободных мест плана окажутся положительными.

 

Строим контур для свободных клеток Q_Бq₁,Q_Вq_1, Q_Аq₃,Q_Вq_3, ,Q_Аq₄:

 

Наименование  поставщиков	Наименование  потребителей				Возможности пунктов отправления
	q1	q2	q 3	q 4
QА	4 400	5 600	6	4	1000
QБ	3	2 200	1 1200	4 100	1500
QВ	6	7	5	2 500	500
Потребности пунктов назначения	400	800	1200	600	3000

 

 

Q_Бq₁=3-2+5-4=2

Q_Вq₁=6-2+4-2+5- 4 = 7

Q_Вq₃=7-2+4-2=7

Q_Аq₃=6-5+2-1 = 2

Q_Вq₃=5-2+4-1 = 6

Q_Аq₄=4-5+2-4 = -3

 

Так как ячейка Q_Аq₄ <0, следовательно, исходный план распределения требует улучшения.

Введение  перевозки в направлении клетки с отрицательной характеристикой  на каждую единицу перевозимого груза  обеспечит снижение транспортных затрат в размере значения характеристики.

 

Пересчет  поставок ведется следующим образом: среди поставок, стоящих у отрицательных вершин контура, находится наименьшая по значению и на эту величину в новом плане увеличиваются поставки, стоящие у вершин со знаком «+» и одновременно уменьшаются поставки у вершин со знаком «–».

 

Наименование поставщиков	Наименование  потребителей				Возможности пунктов отправления
	q1	q2	q 3	q 4
QА	4 400	-          5 600	6	+       4	1000
QБ	3	+ 2 200	1 1200	- 4 100	1500
QВ	6	7	5	2 500	500
Потребности пунктов назначения	400	800	1200	600	3000

 

В нашем случае,  среди поставок, стоящих у отрицательных  вершин контура, находится наименьшая по значению находится в клетке Q_Бq₁ со значением – 100.

Таким образом, величина, вводимая в клетку поставки Q_Аq₄ в новом плане берется равный минимум из поставок, стоящих у отрицательных вершин контура, построенного для этой клетки, то есть 100. На эту величину в новом плане увеличатся поставки, стоящие у положительных вершин и одновременно уменьшаем поставки, стоящие у отрицательных вершин данного контура на эту величину.

Все другие в данном контуре  в новый план переносим без изменений.

 

Составляем новый откорректированный план:

 

 

Наименование  поставщиков	Наименование потребителей				Возможности пунктов отправления
	q1	q2	q 3	q 4
QА	4 400	5 500	6	4 100	1000
QБ	3	2 300	1 1200	4	1500
QВ	6	7	5	2 500	500
Потребности пунктов назначения	400	800	1200	600	3000

 

Рассчитаем  затраты после улучшения плана:

Z= (400*4)+(500*5)+(300*2)+(1200*1)+(100*4)+(500*2)=7300

Так же строим контур для свободных клеток:

Q_Бq₁=3-2+5-4=2

Q_Вq₁=6-2+4-4=4

Q_Вq₂=7-2+4-5=4

Q_Аq₃=6-5+2-1=2

Q_Вq₃=5-2+4-1=6

Q_Бq₄=4-4+5-2=3

 

Получаем, что  все характеристики свободных мест являются положительными, следовательно, данный план распределения номерной емкости является наиболее оптимальным к внедрению. Затраты при новом плане так же снижены с 7600 до 7300.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

Задание: