Контрольная работа по «Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении»

Министерство связи РФ

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

 

 

 

 

Кафедра Э и Ф

 

 

 

Контрольная работа

по курсу «Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении»

Вариант 3

 

 

 

Проверил:

Батый А.Р.

 

Выполнил:

ЦПС, гр. ЭМ-03с

Баева А.В.

 

 

 

 

 

Новосибирск

2005

Задача 1.

Четыре предприятия экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственного равны q1 = 60, q2 = 70, q3 = 120, q4 = 130 ед.. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны Q1 = 140, Q2=160, Q3 = 180 ед.. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок задаются матрицей

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок будет минимальной.

 

Решение.

Для решения задачи воспользуемся распределительным методом.

=140 + 160 + 180 = 480 ед.

= 60 + 70 + 120 + 130 = 380 ед.

Задача имеет открытую транспортную модель, так как . Поэтому для решения задачи необходимо перейти с закрытой транспортной модели. Введем условного потребителя q5. Потребность в сырье данного предприятия q5 = 100 ед. (480 – 380 = 100).

Обозначим за xij объем груза, перевозимый от i-го поставщика к j-му потребителю. Тогда получим следующие ограничения:

- ограничения по возможности  поставщиков

- ограничения по спросу потребителей

При этом перевозимый объем продукции не может быть отрицательным, т.е. xij ³ 0.

Линейная форма Z, на минимум которой решается задача, представляет собой сумму парных произведений:

Z = 7×xА1 + 8×xА2 + 1×xА3 + 2×xА4 + 0×xА5+ 4×xВ1 + 5×xВ2 + 9×xВ3 + 8×xВ4 + 0×xВ5 + 9×xС1 + 2×xС2 +  3×xС3 + 6×xС4 + 0×xС5 ® min.

Для решения транспортной задачи используется матрица.

Составим исходный план способом наименьшего элемента в столбце.

	1		2		3		4		5		Qi
А		7		8	120	1	20	2		0	140
В	60	4		5		9		8	100	0	160
С		9	70	2		3	110	6		0	180
qj	60		70		120		130		100		480

 

Необходимые условия для проверки плана на оптимальность следующие:

1. Число занятых мест в плане должно быть на единицу меньше, чем поставщиков и потребителей (m+n-1).
2. Занятые места должны образовывать вычеркиваемую комбинацию.

В данном случае имеет место вырождение, т.е. заполненных мест меньше, чем надо. Заполним одну из пустых клеток нулем. Пусть это будет клетка В4.

 

 

 

	1		2		3		4		5		Qi
А		7		8	120 -	1	20     +	2		0	140
В	60	4		5		9	0	8	100	0	160
С		9	70	2	+	3	110     -	6		0	180
qj	60		70		120		130		100		480

 

Полученный план проверяется на оптимальность с помощью характеристик, рассчитываемых для свободных мест плана. Для определения характеристик строятся замкнутые контуры. Контур состоит из прямых вертикальных и горизонтальных отрезков. Одна вершина контура лежит в свободной клетке, а все остальные вершины – только в занятых местах. Вершине контура, лежащей в свободной клетке, присваивается знак «+», знаки других вершин чередуются (– , + ,  – и т.д.).Значение самой характеристики находится как алгебраическая сумма затрат (cij), стоящих у вершин контуров и взятых с теми знаками, которые присвоены вершинам контура. План будет оптимальный, если все характеристики окажутся положительными. Если же хотя бы одна характеристика будет отрицательной, план необходимо улучшать. Улучшение плана производится до тех пор, пока все характеристики свободных мест не станут положительными. Такой план будет оптимальным.

 Посчитаем характеристики свободных  мест для построенного плана.

А1: +7–4+8–2 = +9

А2: +8–2+6–2 = +10

А5: +0–0+8–2 = +6

В2: +5–2+6–8 = +1

В3: +9–1+2–8 = +2

С1: +9–4+8–6 = +7

С3: +3–1+2–6 = –2

С5: +0–6+8–0 = +2.

Из всех характеристик отрицательное значение имеет клетка С3. Значит, план неоптимальный и его следует улучшать перераспределением поставок.

Для оптимизации плана возьмем клетку С3 как единственную с отрицательной характеристикой. (-2). Так как 2 клетки имеют такое значение, выберем любую из них, например, С3. Объем вводимой поставки в клетку определяется как минимум из поставок, стоящих у отрицательных характеристик.

Min{120,110} = 110

В новом плане на эту величину увеличиваются поставки, стоящие у вершин с плюсом, и вычитаются из поставок, стоящих у вершин с минусом. Все другие поставки, не входящие в контур, в новый план переносятся без изменений.

Получаем новый план:

	1		2		3		4		5		Qi
А		7		8	10 -	1	130     +	2		0	140
В	60	4	+	5		9	0   -	8	100	0	160
С		9	70    -	2	110     +	3		6		0	180
qj	60		70		120		130		100		480

 

Проверим полученный план на оптимальность, посчитав характеристики свободных мест.

А1: +7–4+8–2 = +11

А2: +8–2+3–1 = +8

А5: +0–0+8–2 = +6

В2: +5–2+3–1+2–8 = –1

В3: +9–1+2–8 = +2

С1: +9–4+8–6 = +7

С4: +6–3+1–2 = +2

С5: +0–3+1–2+8–0 = +4

План неоптимальный, его необходимо улучшать.

Min{70,10,0} = 0

Получаем новый план:

	1		2		3		4		5		Qi
А		7		8	10	1	130	2		0	140
В	60	4	0	5		9		8	100	0	160
С		9	70	2	110	3		6		0	180
qj	60		70		120		130		100		480

 

Проверим полученный план на оптимальность, посчитав характеристики свободных мест.

А1: +7–4+5–2+3–1 = +8

А2: +8–2+3–1 = +8

А5: +0–0+5–2+3–1 = +5

В3: +9–3+2–5 = +3

В4: +8–2+1–3+2–5 = +1

С1: +9–4+5–2 = +8

С4: +6–3+1–2 = +2

С5: +0–2+5–0 = +3

 

Все характеристики плана получились положительными, значит, этот план оптимальный.

 

Задача 2.

Необходимо оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга. Средняя плотность потока равна l вызовов в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно tобс единиц времени.

Исходные данные:

n = 10

l = 2

tобс = 0,5

 

Решение.

Работу автоматической АТС можно отнести к системе с отказами.

Основным показателем работы систем с отказами является вероятность отказа.

Определим нагрузку системы по формуле:

j = l×t,

где t – время обслуживания одного требования;

     l – интенсивность потока.

     j = 2×0,5 = 1 эрл.

Вероятность, что из n линий k будет занято, определяется по формуле:

,                            

Вероятность отказа определяется по формуле:

Среднее число занятых линий определяется по формуле:

Среднее число свободных линий:

Коэффициент простоя и коэффициент занятости определяются по следующим формулам:

;                                   

Все расчеты представлены в таблице 4.

Таблица 4 – Расчет показателей работы автоматической АТС

k		Pk	или (k×Pk)	(n-k)×Pk
1	2	3	4	5
0	1	0,3679	0	3,679
1	1	0,3679	0,3679	3,3111
2	0,5	0,184	0,368	1,472
3	0,1667	0,0613	0,1839	0,4291
4	0,0417	0,0153	0,0612	0,0918
5	0,0083	0,0031	0,0155	0,0155
6	0,0014	0,0005	0,003	0,002
7	0,0002	0,0001	0,0007	0,0003
8	0	0	0	0
9	0	0	0	0
10	0	0	0	0
Итого	2,7183	1,0001	1,0002	9,0008