Контрольная работа по "Эконометрике"

Полученные  результаты еще раз подтвердили  статистическую незначимость уравнения регресии в целом и всех его параметров.

6. Полученные оценки модели и  ее параметров не позволяют  использовать ее для прогноза.

 

 

 

Задача 16

Имеются данные 12 месяцев по 5 районам города о рынке вторичного жилья (y  - стоимость квартиры, тыс.у.е., x₁ – размер жилой площади, м², x₂ – размер кухни, м²).

Задача 16
y	x1	x2
13,0	37,0	6,2
16,4	60,9	10,0
17,0	60,0	8,5
15,2	52,1	7,4
14,2	40,1	7,0
10,5	30,4	6,2
20,0	43,0	7,5
12,0	32,1	6,4
15,6	35,1	7,0
12,5	32,0	6,2
13,2	33,0	6,0
14,6	32,5	5,8

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.
2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
3. Оцените статистическую значимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01).
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.
5. Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы.
6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

1. Рассчитаем параметры линейного уравнения множественной регрессии:

y=a+b₁x₁+b₂x₂+ε

Для этого необходимо найти решение  системы уравнений:

 

Коэффициенты уравнения множественной  регрессии можно также определить с помощью стандартизированных коэффициентов регрессии β₁ и β₂

 

 

 

на основании уравнения регрессии в стандартизированном масштабе:

 

где, – стандартизированные переменные,

β₁, β₂ – стандартизированные коэффициенты, которые определяются из системы уравнений:

 

по формулам:

 

 

где – парные коэффициенты корреляции:

 

 

 

Результаты  расчетов приведем в таблице:

№	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x12	x22	y2	yрасч	y-yрасч		(y-yрасч)2	A (%)
1	13	37	6,2	481	80,6	229,4	1369	38,44	169	13,76	-0,76		0,58	5,83
2	16,4	60,9	10	998,76	164	609	3708,81	100	268,96	17,93	-1,53		2,35	9,35
3	17	60	8,5	1020	144,5	510	3600	72,25	289	17,10	-0,10		0,01	0,59
4	15,2	52,1	7,4	791,92	112,48	385,54	2714,41	54,76	231,04	15,80	-0,60		0,36	3,94
5	14,2	40,1	7	569,42	99,4	280,7	1608,01	49	201,64	14,45	-0,25		0,06	1,78
6	10,5	30,4	6,2	319,2	65,1	188,48	924,16	38,44	110,25	13,13	-2,63		6,90	25,02
7	20	43	7,5	860	150	322,5	1849	56,25	400	14,98	5,02		25,22	25,11
8	12	32,1	6,4	385,2	76,8	205,44	1030,41	40,96	144	13,39	-1,39		1,93	11,58
9	15,6	35,1	7	547,56	109,2	245,7	1232,01	49	243,36	13,97	1,63		2,64	10,42
10	12,5	32	6,2	400	77,5	198,4	1024	38,44	156,25	13,28	-0,78		0,61	6,24
11	13,2	33	6	435,6	79,2	198	1089	36	174,24	13,28	-0,08		0,01	0,58
12	14,6	32,5	5,8	474,5	84,68	188,5	1056,25	33,64	213,16	13,13	1,47		2,16	10,07
Σ	174,2	488,2	84,2	7283,16	1243,5	3561,66	21205,06	607,18	2600,9	174,20	0,00		42,83	110,52
Среднее значение	14,52	40,68	7,02	606,93	103,62	296,81	1767,09	50,60	216,74	14,52	0,00		3,57	9,21
σ	2,45	10,58	1,17
σ2	6,01	111,95	1,36

Из таблицы  видно, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

Тогда коэффициенты уравнения множественной  регрессии равны:

 

 

 

 

 

Стандартизованная форма уравнения регрессии имеет вид:

 

Естественная  форма уравнения регрессии имеет  вид:

=7,139 +0,0956x₁+0,4972x₂

2. Для  выяснения относительной силы  влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:

 

 

 

 

 

Следовательно, при увеличении размера жилой площади (x₁) на 1% стоимость квартиры (у) увеличивается на 0,27 % от своего среднего уровня.

При увеличении размера кухни (х₂) на 1% стоимость квартиры (у) увеличивается на 0,24% от своего среднего уровня.

3. Значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью индекса множественной корреляции. Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле:

 

 

 

Значение коэффициента детерминации говорит о том, что 40,6% изменения признака объясняется вариацией объясняющих переменных x₁ и x₂.

Рассчитаем  значение F-критерия Фишера по формуле:

 

где m - число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной х); n - объем совокупности.

 

Сравним полученное значение F-критерия Фишера с F_крит, найденным по таблице (см. приложение) по параметрам α, ν₁=m; ν₂=n – m – 1:

F_табл=F_крит(α=0,01;ν₁=2;ν₂=9) = 8,02

Т.к. неравенство F_факт>F_табл не выполняется (3,08<8,02), то уравнение регрессии статистически не значимо в целом.

Выясним статистическую значимость каждого  фактора во множественном уравнении регрессии.

Для этого  рассчитаем частные F- статистики:

 

 

 

 

Сравним полученные значения F-критерия Фишера с F_крит, найденным по таблице (см. приложение) по параметрам α, ν₁=1; ν₂=n – m – 1:

F_табл=F_крит(α=0,01;ν₁=1;ν₂=9) = 10,56

Т.к. неравенство F_xjфакт>F_табл не выполняется (0,41<10,56 и 0,13<10,56), то параметры уравнения регрессии b₁ и b₂ статистически незначимы.

Зная величину F_xiфакт можно определить значение t- статистики для коэффициентов b_i по формуле:

 

 

 

Сравним полученные t_факт с табличными значениями t-статистики (см. приложение), найденными по параметрам α и ν=n – 2:

t_табл(α=0,01;ν=10) = 3,169

Т.к. неравенство t_факт>t_табл не выполняется (0,638<3,169 и 0,366<3,169), то гипотезы о несущественности коэффициентов уравнения регрессии b₁ и b₂ не отвергаются.

Полученные  результаты еще раз подтвердили  статистическую незначимость уравнения регресии в целом и всех его параметров и нецелесообразность включения данных факторов в уравнение регрессии.

4. Для оценки качества моделей определяется средняя ошибка аппроксимации:

 

Значение средней ошибки аппроксимации = 9,21% находится в допустимых пределах (8-10%).

6. Все полученные  результаты говорят о нецелесообразности  построения модели множественной  регрессии по данной выборке.

 

Задача 26

Модель имеет вид:

 

Задание:

1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.
2. Определите тип модели.
3. Определите метод оценки параметров модели.
4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.
5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Решение:

     Модель имеет 3 эндогенные (Y₁,Y₂ Y₃) и 2 экзогенные переменные (X₁,X₂).

Проверим необходимое условие идентификации:

D+1=H уравнение идентифицировано

D+1<H уравнение не идентифицировано

D+1>H уравнение сверх идентифицировано

где Н - число эндогенных переменных

D - число предопределенных (экзогенных и лаговых), отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

1 уравнение является тождеством, так как представляет собой алгебраическое соотношение между эндогенными переменными: D=0, H=2 (Y₁,Y₂).

2 уравнение: D=1 (X₁) H=2 (Y₁,Y₂), D+1=H уравнение идентифицируемо

3 уравнение: D=1(X₂), H=2 (Y₂,Y₃), D+1=H уравнение идентифицируемо

Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.

Система идентифицируема.

Проверим достаточное условие:

В 1 уравнении нет переменных X₁,X₂,Y₃. Строим матрицу:

	X1	X2	Y3
2 уравнение	c21	0	0
3 уравнение	0	1	-1

 

Во 2 уравнении переменных X₂,Y₃. Строим матрицу:

	X2	Y3
1 уравнение	0	0
3 уравнение	1	-1

 

В 3 уравнении нет переменных X₁, Y₁.Строим матрицу:

	X1	Y1
1 уравнение	0	-1
2 уравнение	с21	b21

 

Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.

Система точно идентифицируема.

2.     Данная система является системой совместных одновременных уравнений.  Другими словами структурной формой модели. Запишем приведенную форму модели. Для этого второе уравнение системы подставим в первое:

 

Преобразуем его:

 

 

 

Полученное  выражение подставим во второе уравнение системы:

 

 

 

А затем полученный результат подставим в третье уравнение

 

 

Таким образом, записали систему в приведенной  форме:

 

3. К приведенной модели можно применить МНК. Для точно идентифицируемой структурной модели, всегда возможно осуществить переход к приведенной форме. Эти действия составляют косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

 

 

Задача 36

Имеются данные за 12 лет по 5 странам  о годовом объеме продаж автомобилей.

Год	Объем продаж 100 тыс.
	Задача 36
	Страна А
1986	3,8
1987	4,7
1988	3,9
1989	2,7
1990	2,9
1991	2,3
1992	3,0
1993	3,6
1994	2,9
1995	3,7
1996	4,5
1997	4,2