Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Ноября 2013 в 21:07, контрольная работа
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1 если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
Так же построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов .
Дисперсионный анализ |
||||||
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
||
Регрессия |
1 |
51,11 |
51,11 |
10,61 |
0,08 |
|
Остаток |
2 |
9,64 |
4,82 |
|||
Итого |
3 |
60,75 |
Рассчитаем статистику критерия:
Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы составляет ( по таблице критических точек распределения Фишера).
Схема критерия:
Вывод: сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.
В учебных целях проверим выполнений свойства независимости ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции
=0,013
Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение и составляет для данной задачи 0,620
Сравнение показывает, что |r(1)| = 0.013 < rкр = 0.620, следовательно, ряд остатков некоррелирован.
4.2. Проверка соответствия ряда остатков нормальному закону распределения.
Это соответствие проверим с помощью R/S - критерия.
С помощью функции МАКС и МИН для ряда остатков определим =6,302; =-3,612. SЕ находится из программы «регрессия» в графе «стандартная ошибка и составляет SE = 3,101749 (таблица 2).
Тогда R/S = = 3,196
Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n = 10 составляет (2,67; 3,69).
Вывод: 3,196 ∈ (2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.
Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова, т. е. данная модель является классической нормальной регрессионной моделью.
4. Осуществить проверку
с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
Статистическая значимость параметров уравнения определяется по критерию Стьюдента: | |||||||||||
|
|||||||||||
Расчитаем критерий Стьюдента для параметра а0: |
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
Расчитаем критерий Стьюдента для параметра а1: |
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
t - статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4. Для свободного коэффициента a =12,573 определена статистика t(a) = 2,481. Для коэффициента регрессии b = 1,319, определена статистика t(b) = 9,418.
Критическое значение tкр = 2,306 найдено для уровня значимости α = 5% и числа степеней свободы k = 10-1-1 = 8 (по таблице значений t-критерия Стьюдента).
Схема критерия:
Вывод: |t(a0) = 2,481| > tкр = 2,306, следовательно, свободный коэффициент а является значимым. |t(а1) = 9,418| > tкр = 2,306, следовательно, коэффициент регрессии b является значимым.
5. Вычислить коэффициент
найти среднюю относительную ошибку аппроксимации
Сделать вывод о качестве модели
Коэффициент детерминации можно рассчитать по формуле:
Также коэффициент детерминации (R-квадрат) определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2). И составляет R2 = 0,917 = 91,7%.
Вывод: таким образом, вариация (изменение) объема выпуска продукции (Y) на 91,7% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений (X).
Проверим значимость полученного уравнения с помощью F - критерия Фишера. Его можно рассчитать по формуле:
Также данный критерий (F – статистика) определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и составляет F = 88,707.
Критическое значение Fкр = 5,318 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k1 = 1, k = 8 (по таблице значений F-критерия Фишера).
Вывод: сравнение показывает: F = 88,707 > Fкр = 5,318; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.
Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS (таблица 6).
Таблица 6.
Наблюдение |
Остатки |
Y |
Еi/Y |
Отн погр. |
1 |
-2,19 |
46 |
-0,04756 |
4,76% |
2 |
-0,19 |
48 |
-0,00392 |
0,39% |
3 |
2,49 |
52 |
0,04794 |
4,79% |
4 |
-2,51 |
47 |
-0,05334 |
5,33% |
5 |
1,62 |
63 |
0,02574 |
2,57% |
6 |
6,30 |
69 |
0,09134 |
9,13% |
7 |
-2,02 |
62 |
-0,03253 |
3,25% |
8 |
0,35 |
67 |
0,00515 |
0,52% |
9 |
-3,61 |
67 |
-0,05391 |
5,39% |
10 |
-0,25 |
73 |
-0,00343 |
0,34% |
По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ).
Схема проверки:
Вывод: 3,65% < 5%, следовательно, модель является точной.
На основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости
Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 46, следовательно, . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:
Таким образом, если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 61,11 млн. руб.
Зададим доверительную вероятность и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.
Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:
Предварительно подготовим:
- стандартную ошибку модели (Таблица 2);
- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ).
Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:
Вычислим рри размах доверительного интервала для среднего значения:
Границами прогнозного интервала будут
Вывод: таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 59,27 млн. руб. до 62,95 млн. руб.
7. Представить
графически фактические и модельные
значения Y точки прогноза
Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).
Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели:
тип → линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме.
Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:
Имя → прогноз; значения ; значения ;
Имя → нижняя граница; значения ; значения ;
Имя → верхняя граница; значения ; значения
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
гиперболической; степенной; показательной
Гиперболическая модель не является стандартной.
Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 7).
X |
Y |
1/Х |
27 |
46 |
0,037 |
27 |
48 |
0,037 |
28 |
47 |
0,036 |
28 |
52 |
0,036 |
37 |
63 |
0,027 |
38 |
69 |
0,026 |
39 |
62 |
0,026 |
41 |
67 |
0,024 |
44 |
67 |
0,023 |
46 |
73 |
0,022 |
С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:
Коэффициенты | |
Y-пересечение |
105,4257639 |
1/Х |
-1569,007707 |
Таким образом, ; , следовательно, уравнение гиперболической модели .
С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические значения для каждого уровня исходных данных .
Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных , ряд теоретических значений .