Контрольная работа по "Эконометрике"

 

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ  ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

 

Кафедра экономико-математических

методов и моделей

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭКОНОМЕТРИКА»

 

 

Вариант № 3

 

 

 

Исполнитель: Додонова Анна Сергеевна

 

Специальность  БУА и А

Группа 322

№ зачетной книжки № 07 УББ 00153

 

Преподаватель: Орлова Ирина Владленовна

                                                    

 

 

Москва – 2008

 

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая  зависимость объема выпуска продукции 
(Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Таблица 1.

 

                                                                                                       Таблица 1.

X	38	28	27	37	46	27	41	39	28	44
Y	69	52	46	63	73	48	67	62	47	67

 

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1 если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести графики построенных  уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

 

Решение

 

1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: = а₀ + а₁x.

Построим линейную модель: = a + b * X.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю  таблицу исходных данных по возрастанию  факторной переменной Х (Данные => Сортировка).

Используем программу  РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели. (рис.2).

 

 

Рис.2. Регрессия.

 

 

Результаты вычислений представлены в таблицах 2-5.

 

Таблица 2

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,957745
R-квадрат	0,917276
Нормированный R-квадрат	0,906935
Стандартная ошибка	3,101749
Наблюдения	10

 

Таблица 3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	853,4332	853,4332	88,70667	1,33E-05
Остаток	8	76,96677	9,620846
Итого	9	930,4

 

Таблица 4

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	12,57329256	5,067651153	2,481088808
Переменная X 1	1,319062181	0,140051294	9,418421917
	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	0,038047027	0,887268054	24,25931706	0,88727	24,25931706
Переменная X 1	1,32524E-05	0,996103317	1,642021045	0,9961	1,642021045

 

 

 

 

Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 (столбец Коэффициенты). Таким образом, модель построена, и ее уравнение имеет вид

= 12,573+1,319 * Х

Вывод: коэффициент регрессии b=1,319, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (X) на 1 млн. руб. объема выпуска продукции (Y) увеличивается в среднем на 1,319 млн. руб. Это говорит об эффективности работы предприятий легкой промышленности региона.

 

 

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков

; построить график остатков.

Остатки модели E_i = y_i-y_Ti   содержатся  в столбце Остатки программы РЕГРЕССИЯ (таблица 5).

Таблица 5

ВЫВОД ОСТАТКА

 

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Е2
1	48,19	-2,19	4,79
2	48,19	-0,19	0,04
3	49,51	2,49	6,21
4	49,51	-2,51	6,29
5	61,38	1,62	2,63
6	62,70	6,30	39,72
7	64,02	-2,02	4,07
8	66,65	0,35	0,12
9	70,61	-3,61	13,05
10	73,25	-0,25	0,06
ИТОГО			76,97

 

Программой РЕГРЕССИЯ найдены  также остаточная сумма квадратов  = 76,96677 и дисперсия остатков  = 9,620846 (таблица 3).

Дисперсию остатков можно рассчитать по формуле:

 

Для построения графика остатков нужно  воспользоваться Мастером диаграмм (Тип диаграммы Точечная (с соединенными точками)). В результате получим график остатков. (рис.4).

 

Рис 4. График остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия  Гаусса-Маркова.

1. Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю.
2. В уравнении линейной модели = a + b * X + ε слагаемое ε – случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.
3. Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированны).
4. Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна. Распределение случайного члена является нормальным.

 

Решение

1. Проверка гипотизы о равенстве нулю мат. ожидания:

 

С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: Ē= 0

Вывод: рсчетное значение t меньше табличного, значит математическое ожидание стремится к нулю, свойство выполняется.

 

2. Проверка случайности остаточной компоненты по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек определим по графику остатков:

р=6 (рис. 4).

Вычислим критическое значение по формуле

Ркрит = , при n = 10.

Вывод: неравенство p > P _крит выполняется (6 >2), следовательно, свойство случайности ряда остатков выполняется.

 

3. Проверка независимости уровней ряда остатков

 

Для проверки используем критерий Дарбина-Уотсона.

Определим

 

 

 

 

Остатки	Е2	Еi - Ei-1	(Еi - Ei-1)2
-2,19	4,79	-2,19	4,79
-0,19	0,04	2,00	4,00
2,49	6,21	2,68	7,19
-2,51	6,29	-5,00	25,00
1,62	2,63	4,13	17,04
6,30	39,72	4,68	21,91
-2,02	4,07	-8,32	69,21
0,35	0,12	2,36	5,58
-3,61	13,05	-3,96	15,66
-0,25	0,06	3,36	11,30
Итого	76,97		181,68

 

 

Используем найденную  программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов  остаточной компоненты SSост = =76,967

Таким образом, d = = 2.3605

Схема критерия:

 

Вывод: полученное значение d = 2,3605 > 2, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d' = 4 - d = 1.6395. d' = 1,6395 лежит в интервале от d₂ = 1.32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

 

4.1. Проверка постоянства дисперсии остаточной компоненты.

 

 Это свойство проверим по критерию Голдфельда-Квандта.

В упорядоченных  по возрастанию переменной X исходных данных ( ) выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.

 

 

 

№ п/п	Х	Y
3	27	46
6	27	48
2	28	52
9	28	47
4	37	63
1	38	69
8	39	62
7	41	67
10	44	67
5	46	73

 

С помощью программы  РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для  этой модели остаточная сумма квадратов  .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	6,25	6,25	0,86	0,45
Остаток	2	14,50	7,25
Итого	3	20,75