Контрольная работа по "Эконометрика"

 

По таблице Дарбина-Уотсона найдем (нижняя граница), (верхняя граница). При уровне значимости имеем:

=0,879, =1,320

Получили <DW<4- , значит, гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

 

Ответ: <DW (=1,3565264) <4- , значит, гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

 

7) Вычислим коэффициент детерминации и определим его статистическую значимость по критерию Фишера.

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии.

Для этой цели используется коэффициент детерминации . определяет долю разброса зависимых переменных, объяснимую регрессией Y на X и рассчитывается в общем случае по следующей формуле:

Поставим расчетные данные, получим:

На практике проверяют гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации .

В этом случае используется следующая гипотеза:

: =0

: >0

Для проверки данной гипотезы существует следующая F-статистика:

Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости имеет распределение Фишера.

Для проверки нулевой гипотезы при заданном уровне значимости по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение

Нулевая гипотеза отклоняется, если F> . Это значит, что >0 и статистически значим.

Проведем вышеперечисленные расчеты:

 

Поскольку F> как при 5%-м и при 1%-м уровне значимости, то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент детерминации статистически значим.

Ответ: Коэффициент детерминации равен . Данный коэффициент близок к единице, значит, уравнение регрессии с высокой точностью отражает имеющуюся зависимость между переменными y и x. Поскольку F> как при 5%-м и при 1%-м уровне значимости, то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент детерминации статистически значим.

 

8) Оценим прогнозные качества модели.

Прогнозные качества модели проверяют при помощи средней относительной ошибки аппроксимации:

Таблица 1.4

Расчетные данные

	У	У~	|yi-yi~/yi|
	621	616,7628	0,006823
	672	668,9496	0,004539
	737	723,9321	0,017731
	811	820,8504	0,012146
	887	899,1305	0,013676
	976	990,4574	0,014813
	1084	1081,784	0,002044
	1204	1192,681	0,009401
	1346	1342,718	0,002438
	1506	1506,734	0,000487
Итого			0,084099

%.

Так как значит, данную модель для прогнозирования использовать желательно.

 

9) Оценим качество уравнения регрессии.

При определении общего качества модели обычно анализируются следующие параметры:

1. t - статистики;
2. коэффициент детерминации;
3. статистика Дарбина-Уотсона;
4. прогнозные качества модели.

 

Таким образом,  в данной линейной модели связь между переменными Х и У прямая сильная, так как коэффициенты корреляции (значим) равен  0,999497277. Связь прямая, т.е. при увеличении совокупного располагаемого дохода совокупные расходы на личное потребление США возрастут.

По критерию Стьюдента коэффициенты регрессии а и b являются значимы.

Коэффициент детерминации статистически значим и равен , что говорит о сильной зависимости между совокупным располагаемым доходом и совокупным расходом на личное потребление США.

Согласно статистике Дарбина-Уотсона гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

Данная модель для прогнозирования приемлема, так как ошибка аппроксимации .

 

 

 

ЗАДАНИЕ 2.

Общее уравнение экспоненциальной зависимости:

Коэффициенты а и b находятся аналогично линейной зависимости, но для уравнения где , .

Таблица 2.1

Расчетные данные

	x	y	y*	у*х	х2
	695	621	6,43133	4469,78	483025
	751	672	6,51026	4889,2	564001
	810	737	6,60259	5348,1	656100
	914	811	6,69827	6122,22	835396
	998	887	6,78784	6774,27	996004
	1096	976	6,88346	7544,27	1201216
	1194	1084	6,98841	8344,17	1425636
	1313	1204	7,0934	9313,64	1723969
	1474	1346	7,20489	10620	2172676
	1650	1506	7,31721	12073,4	2722500
среднее	1089,5	984,4	6,851768	7549,905	1278052

Получили уравнение y= 342,3089е0,000933*х.

Построим график для найденной зависимости с помощью средств Мастера диаграмм MS Excel. После ввода данных из исходной таблицы 2.1 на рабочий лист нужно построить плоскую диаграмму зависимости y от x. Проще использовать точечный тип диаграмм. Для этого типа в качестве аргумента предлагается задать область аргумента, в нашем случае x.

После того, как диаграмма построена, необходимо активизировать на ней все точки наблюдений. Затем с помощью правой кнопки мыши вызывается контекстное меню, в котором выбирается пункт «добавить линию тренда». Под линией тренда в данной задаче следует понимать линию, определенную уравнением регрессии.

Затем на закладке «Тип» окна «Линия тренда» нужно выбрать тип уравнения в соответствии с выдвинутой нами ранее гипотезой о экспоненциальной зависимости между y и x. На закладке «Параметры» этого же окна включим флажок «показывать уравнение на диаграмме».

 

Рисунок 1. - Закладки «Тип» и «Параметры» окна «Линия тренда»

На рисунке 2 показан результат оценки регрессии, полученный с помощью Мастера диаграмм Microsoft Excel.

 Видим, что это совпадает с ручным результатом y= 342,3089е0,000933*х, полученным выше.

Совпадение результатов ручной схемы и Мастера диаграмм дает уверенность в их правильности.

Найдем корреляционное отношение. Для этого построим таблицу 2.2.

Таблица 2.2

Расчетные данные

№ п/п
1	654,494	-33,494	-363,4
2	689,583	-17,583	-312,4
3	728,589	8,41127	-247,4
4	802,794	8,20572	-173,4
5	868,212	18,7881	-97,4
6	951,3	24,7001	-8,4
7	1042,34	41,6605	99,6
8	1164,68	39,321	219,6
9	1353,36	-7,3623	361,6
10	1594,77	-88,767	521,6
Сумма квадратов		13747,6	791450

Для определения тесноты связи между интенсивностью потока покупателей и товарооборотом, найдем корреляционное отношение:

.

Так как , следовательно, между размерами совокупного располагаемого дохода (Х) и совокупных расходах на личное потребление (У) существует тесная связь.

Для коэффициента детерминации и индекса корреляции выполняется следующее равенство: , поэтому данные показатели можно сравнить у линейной и нелинейной зависимостей.

Коэффициент детерминации для экспоненциальной зависимости равен .

Коэффициент детерминации для экспоненциальной зависимости показывает, что 98,263% изменения средних расходов на личное потребление обусловлено зависимостью от размеров совокупного располагаемого дохода, остальные 1,737016% приходятся на долю прочих факторов, не учтенных в экспоненциальной модели.

Сравнивая коэффициенты детерминации для линейной ( = ) и экспоненциальной зависимости ( ), можно сделать вывод, что линейная зависимость лучше аппроксимирует данную задачу в отличие от экспоненциальной зависимости.

 

ЗАДАНИЕ 3.

Имеются статистические данные, описывающие зависимость производительности труда в некоторой отрасли производства (переменная У) от удельного веса рабочих с технической подготовкой (объясняющая переменная Х1) и удельного веса механизированных работ (объясняющая переменная Х2).

Таблица 3.1

Исходные данные

№	Удельный вес рабочих с технической подготовкой, %,   Х1	Удельный вес механизированных работ, %,   Х2	Производительность труда
1	70	90	4350
2	67	89	4100
3	53	73	2950
4	52	69	2900
5	55	75	2950
6	60	76	3350
7	59	79	3410
8	67	87	4050
9	63	83	3650
10	60	78	3450
11	66	86	3950
12	73	89	4400
13	69	91	4220

 

Найти:

1. Найти коэффициенты множественной регрессии в Excel;
2. Используя режим регрессия, оценить значимость коэффициентов построенного уравнения и значимость коэффициентов построенного уравнения, и значимость коэффициента детерминации;
3. Сделать вывод о качестве уравнения по найденным параметрам.

 

Решение:

Регрессионные модели можно подразделить на однофакторные и многофакторные.

Определение

Многофакторной моделью регрессии называется модель с несколькими входным параметрами (факторами). В нашем случае это X1 и Х2.

Фактор является детерминированной величиной, т.е. должен задаваться экспериментатором. В отличие от него результат является величиной случайной и представляет собой некоторую функцию в зависимости от входных параметров. Причем функция должна удовлетворять следующим требованиям:

·  Аналитичность, т.е. должна разлагаться в ряд;

·  Непрерывность;

·  Адекватность, т.е. с достаточной точностью отражать параметры оптимизации;

·  Единственность оптимума.

Данным требованиям наилучшим образом отвечают регрессионные модели. Вид регрессионных моделей находится по следующему алгоритму

1. Определение фактора. В нашем  случае влияние удельного веса  рабочих с технической подготовкой  и удельного веса механизированных работ на производительность труда.

2. Сбор статистического материала. Т.е. определение векторов (последовательности  значений) отклика и входных значений. В нашем случае таблица значений  задана по условию.

3. Нахождение коэффициентов регрессии  для  , используя Матричный метод.

Матричный метод позволяет вычислять вектор коэффициентов уравнения b как выражение следующего вида:

.

В условиях нашей задачи вектор Х определен следующим образом:

1	70	90
1	67	89
1	53	73
1	52	69
1	55	75
1	60	76
1	59	79
1	67	87
1	63	83
1	60	78
1	66	86
1	73	89
1	69	91