Контрольная работа по «Эконометрика»

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ  ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

 

 

Контрольная работа

 

по дисциплине «Эконометрика»

 

Вариант № 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краснодар 2011

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).

Х	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
У	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

 

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S_ε²; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения У, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной. 

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

 

1. Найти параметры  уравнения линейной регрессии,  дать экономическую интерпретацию  коэффициента регрессии.

Уравнение  линейной регрессии  имеет вид:  

Для нахождения параметров уравнения линейной регрессии используем формулы:

 ,     

Построим следующую расчетную таблицу, используя MS Excel:

 

По данным таблицы  рассчитываем значения параметров уравнения линейной регрессии:

Следовательно, искомое  уравнение линейной регрессии будет  иметь вид:

Таким образом, при увеличении объема капиталовложений (x) на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции (y) увеличится в среднем на 0,909 млн. руб., что свидетельствует об эффективности работы предприятия.

 

2. Вычислить  остатки; найти остаточную сумму  квадратов; оценить дисперсию остатков . Построить график остатков.

Вычислим остатки по формуле  , где

 – значения у, вычисленные  по модели  .

Остатки рассчитываем в таблице, используя MS Excel:

 

 

Остаточная сумма квадратов равна .

Дисперсию остатков рассчитываем по формуле:

,

.

 

График остатков построим с помощью  инструмента Excel Регрессия.

 

 

 

3. Проверить  выполнение предпосылок МНК.

 

1) Математическое  ожидание случайной величины, как видно из таблицы, равно нулю: . Сумма всех остатков равна нулю. Предпосылка выполнена.

2) Случайный характер остатков (критерий поворотных точек):

, где

n – количество наблюдений;

р – количество поворотных точек, р = 5.

, следовательно, свойство случайности остатков выполняется.

3) Независимость уровней ряда остатков (отсутствие / наличие автокорреляции) проверяем с помощью Критерия Дарбина-Уотсона:

 

Определяем численное  значение коэффициента, используя данные следующей таблицы:

 

, находим 

Расчетное значение d сравниваем с табличным значением при 5%-ном уровне значимости. При n=10 и к=1 (число факторов) нижнее значение d₁=0,88, а верхнее d₂=1,32.

Случаи, когда d₁ ≤ d' ≤ d₂ являются неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается.

Расчетный показатель попал  в область d₁ ≤ d' ≤ d₂ (0,88 ≤ 0,89 ≤ 1,32), следовательно, гипотеза о независимости уровней ряда остатков не принимается и не отвергается. 

Поскольку ситуация  оказалась  неопределенной, воспользуемся первым

коэффициентом автокорреляции:

Так как фактическое  значение коэффициента меньше табличного для 5%-ного уровня значимости – 0,6319, то принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции.

 

4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверяем с помощью R/S-критерия:

,

, - соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков.

(2,67;3,57), т.е. 2,967 (2,67;3,57), значит, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

5. Гомоскедастичность (постоянство) дисперсии остатков.

Расчетные значения для  обнаружения гетероскедастичности представлены в следующей таблице:

Для обнаружения гетероскедастичности (нарушение гомоскедастичности), используем тест Гольдфельда-Квандта:

а) Упорядочим выборку из n-наблюдений по мере возрастания факторного признака x.

   

б) Совокупность наблюдений разделим на 2 группы, соответственно с малыми и большими значениями факторного признака х и определим по каждой из групп уравнение регрессии:

- для первой группы уравнение регрессии имеет вид ;

- для второй группы уравнение регрессии имеет вид .

в) Вычислим остаточную сумму квадратов:

- для первой регрессии,  по формуле:

 

- для второй регрессии, по формуле:

 

Далее определяем расчетное значение F-критерия Фишера по формуле:

, так как

 

Используя надстройки Excel, находим табличное значение F-критерия Фишера: F_{(0,05; 4; 4)} = 6,389.

Сравниваем расчетное значение F-критерия Фишера с табличным значением. Поскольку F_расч = 3,530 < F_табл = 6,389, то остатки обладают свойством гомоскедастичности.

 

4. Осуществить  проверку значимости параметров  уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

Для оценки статистической значимости, существенности параметров модели парной регрессии  , используем t-критерий Стьюдента. Расчетные значения t-статистики получаем путем сопоставления значения параметров α (a) и β (b) с величинами случайных ошибок этих параметров S_α и S_β:

Стандартные ошибки определяем по формулам:

  ;               

            

Тогда:

,           

Табличное значение t-критерия при и степенях свободы (10-2=8) составляет 2,306. Так как t_расч > t_табл, то это говорит о значимости параметров модели.

Для значимого уравнения регрессии строим интервальную оценку:

- для параметра :  

α₁:   0,909 ± 2,306 ∙ 0,043

α₁:   0,909 ± 0,099

Нижняя граница: 0,909 – 0,099 = 0,81

Верхняя граница: 0,909 + 0,099 = 1,008

α₁: (0,81 1,008), следовательно, коэффициент регрессии α₁ значим, так как в эти границы не попадает 0.

 

- для свободного члена :    ,                                                             

α₀:   12,242 ± 2,306 ∙ 1,073

α₀:   12,242 ± 2,474

Нижняя граница:  12,242 – 2,474 = 9,768

Верхняя граница:  12,242 + 2,474 = 14,716

α₀:  (9,768 14,716), следовательно, параметр α₀ значим, так как в эти границы не попадает 0.

 

 

 

5. Вычислить  коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

1) Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:

Качество данной модели высокое.

Таким образом, все изменения объема выпуска продукции в среднем  обусловлены на 98,3% изменениями объема капиталовложений и на 1,7% – изменениями факторов, неучтенных в модели.

2) Для проверки значимости модели регрессии используем F-критерий Фишера:

- вычисляем расчетное значение F_расч  по формуле:

 

- определяем табличное  значение F_табл:     F(_0,05;1;8) = 5,318.

Так как, F_расч > F_табл , следовательно, то уравнение регрессии является. статистически значимым.

 3) Для оценки точности регрессионной модели используем среднюю относительную ошибку аппроксимации, которую находим по формуле:

Это означает, что в  среднем расчетные значения отличаются от фактических значений на 3,193%.

Так как  =3,193% < 7%, то ошибка считается приемлемой, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

 

 

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

Для прогнозирования  результативного показателя подставим  в уравнение значение факторного показателя, равного 80% от его максимального значения:

Тогда точечный прогноз  составит:

То есть при уровне значимости =0,1, если прогнозное значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 31,2, точечный прогноз среднего значения «Y» составит 40,6.

Точечный прогноз обычно сопровождают интервальным, поскольку трудно ожидать совпадения в будущем фактического значения y с _прог. Интервальный прогноз задается с помощью доверительного интервала: , где U – величина отклонения от линии регрессии.

Величину U находим по формуле:

Стандартная ошибка – S_у = 1,226;

 рассчитываем с помощью программы Excel – Мастера функций – СТЬЮДРАСПОБР (0,1;8); его значение составит =1,86.

В результате находим интервальный прогноз:

Верхняя граница:  40,60 + 2,47=43,07

Нижняя граница:  40,60 – 2,47 = 38,13

Таким образом, с вероятностью 80% объем выпуска продукции (Y, млн.руб.) при ожидаемых объемах капиталовложений (X, млн.руб.), будет находиться в пределах от 38,13 млн.руб. до 43,07 млн.руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Представить  графически фактические и модельные  значения Y точки прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Составить  уравнения нелинейной регрессии:

• Гиперболической;
• Степенной;
• Показательной.

Привести графики  построенных уравнений регрессии.

 

• Гиперболическая модель