Элементы финансовой математики

• члены ренты R_j – величина каждого отдельного платежа;
• интервал ренты τ_j – временной интервал между двумя платежами;
• срок ренты t – время от начала реализации ренты до момента последнего платежа (бывают вечные ренты);
• процентная ставка для расчета наращения или дисконтирования платежей;
• наращенная будущая сумма ренты S, включающая все члены потока платежей с процентами на дату последней выплаты;
• современная (приведенная) величина ренты А – сумма всех членов потока платежей, дисконтированная (уменьшенная) на величину процентной ставки на начальный момент времени ренты.

      Ренты подразделяются на постоянные, когда члены ренты равны: R₁=R₂=R₃=…=R_n, и переменные, когда величины платежей различны.

      Рассмотрим  модели потоков ежегодных платежей, на которые начисляются проценты в конце каждого года методом сложных процентов.

      Сумму первого платежа S₁ с наращенными на него за весь срок процентами определяем из уравнения

                                              S₁ = R (1 + i_c)^n-1,

      где n – количество платежей величиной R.

      Для второго платежа, для которого проценты начисляются на один год меньше, соответственно получим:

                                              S₂ = R (1 + i_c)^n-2.

      Для третьего платежа наращенная сумма  составит:

                                              S₃ = R (1 + i_c)^n-3.

      На  последний платеж, произведенный  в конце последнего n-го года, проценты не начисляются.

                                              S_n = R (1 + i_c)^n-n = R.

      Тогда для всей наращенной суммы ренты  получим:

                               

      Коэффициент наращения равен:

                                                      

      Следует заметить, что этот коэффициент представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где первый член равен u₁=1, а знаменатель q=(1+i_c). На этом основании, используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, преобразуем полученное выражение для наращенной суммы ренты к такому виду:

                                                      

из которого следует, что коэффициент наращения  можно определить следующим выражением:

                                                       

      Полученные  модели позволяют определить, например, величину платежа

      .

      Для определения срока ренты можно  получить следующие формулы:

              .

      Приведенная стоимость ренты будет вычисляться  по формуле:

         

      Эту формулу можно использовать, когда заемщик берет кредит на условиях его погашения в будущем равными платежами ежегодно:

                                (4.7)

      Пример решения задачи.   Заемщик берет кредит на сумму         100 тыс. рублей на пять лет под 25 % годовых. Собирается погашать ежегодно равными частями. Какова величина этих выплат.

      По  формуле (4.7): .

      Т. е. заемщик в конце каждого года будет выплачивать сумму 37,18467 тыс. рублей в течение пяти лет.

      В зависимости от исходных данных для решения каждой задачи формируется соответствующий набор моделей для определения количественных значений показателей контракта. 

      Задания для самостоятельной  работы.

1. Для создания через 5 лет фонда в размере 600 000 рублей определите размер ежеквартальных платежей по ставке 12 % годовых с учетом капитализации.
2. Платежи величиной 5000 рублей вносятся ежемесячно в течение 6 лет с начислением на них процентов по ставке 11,5 % годовых методом сложных процентов. Вычислите наращенную сумму аннуитета и коэффициент наращения.
3. Ссуда размером 40 тыс. рублей выдана на 4 года под 24 % годовых. Должник по контракту обязан выплачивать долг равными долями вместе с процентами. Рассчитайте сумму ежемесячных платежей.

 

4.4.  Модели инфляции 

      Инфляция  характеризуется обесцениваем национальной валюты, снижением ее покупательной способности и общим повышением цен в стране. В таком случае инвестор может потерять часть дохода, а заемщик, соответственно, может выиграть за счет погашения задолженности деньгами сниженной покупательной способности. На этом основании необходимо установить количественные соотношения по определению влияния инфляции на показатели финансовой операции. Следует заметить, что если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.

      Все показатели финансовой операции можно разделить на две группы: номинальные, рассчитанные в текущих ценах, и реальные, учитывающие влияние инфляции, рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода.

      Для количественной оценки упомянутых процессов  формируют определенный набор товаров и услуг, называемый потребительской корзиной, и фиксируют изменение ее стоимости в различные моменты времени. Состав потребительской  корзины математически можно представить в виде совокупности различных товаров:

                                             

где x_i – количество i-го вида товара или услуги в корзине;

      n – количество товаров и услуг потребительской корзины.

      В базисном периоде t₀ цены товаров потребительской корзины обозначим , а в аналогичном периоде t_j, соответственно, .

      Тогда стоимость потребительской корзины  в базисном периоде t₀ составит:

            

а в  анализируемом периоде t_i

            

      На  этом основании полагают, что изменение (рост или падение) потребительских цен определяется безразмерным показателем, называемым индексом инфляции, который показывает, во сколько раз изменились цены (темп роста цен, если выразить в процентах):

            

а относительная величина – темп прироста цен – это уровень инфляции:

            

откуда  следует, что индекс инфляции равен:

      Уровень инфляции в процентах определяется так:

            

      Индекс  инфляции показывает, во сколько раз выросли цены, а уровень инфляции – на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период. При проведении исследования стоимость потребительской корзины фиксируется через, например, равные промежутки времени:

                                             

что можно  записать таким образом:

                                                   

Аналогично  для темпов инфляции на этих интервалах:

            

Тогда можно записать следующие уравнения  связи между членами ряда:

                           

отсюда после подстановок получим:

                            

      На  этом основании нетрудно получить выражение для определения стоимости потребительской корзины в общем виде:

            

тогда индекс инфляции за весь период будет  равен:

             

      Кроме того, как было показано выше, индекс инфляции связан с уровнем инфляции выражением , отсюда можно определить уровень инфляции за весь период:

                                                

      Следует заметить, что при равенстве значений уровней инфляции на всех интервалах

        индекс инфляции определяется по формуле:

                                                

      Рассмотрим  различные варианты начисления процентов  с учетом инфляции.

      Для процентов, начисленных без учета  капитализации, обозначим i_α ставку процентов, учитывающую инфляцию, тогда наращенную сумму можно определить по формуле:

                                                        

Затем, воспользовавшись уравнением связи  S_α c S с помощью индекса инфляции:

                                                ,

запишем равенство

                 

откуда  и получим модель определения  номинальной ставки процентов:

                                            

      Если  рассматривать в пределах одного периода, то номинальная процентная ставка выражается через реальную ставку следующим соотношением:

                         .

      Реальная  доходность операции при заданных i_a и I_и определяется по формуле:

                                            

      При достаточно большом темпе инфляции реальная ставка процентов может стать даже отрицательной.

      Для процентов, начисленных с учетом ежегодной капитализации, аналогично запишем два выражения:

                                       ,   

из которых  определим номинальную ставку процента:

                                          

и реальную доходность операции:

                                          

      По этим формулам можно сравнивать i_cα  и α (больше, равно или меньше), проводить экономический анализ эффективности вложений и установить, поглощается ли доход инфляцией или происходит реальный прирост вложенного капитала, а не убыток.

      При начислении процентов несколько  раз в году запишем аналогичные модели:

                              

откуда получим выражение для вычисления номинальной процентной ставки, учитывающей инфляцию, при начислении процентов несколько раз в год:

                                            

а также  уравнение для определения реальной доходности:

                                                  

      Приведенные модели позволяют проводить взаиморасчеты  с клиентами по экономическим показателям в контрактах с учетом инфляции.