Элементы финансовой математики

Элементы  финансовой математики 

4.1.  Модели операций дисконтирования 

      Дисконтирование связано с распространенным в  коммерческой сфере утверждением «время – это тоже деньги», что обусловлено неравноценностью одинаковых по абсолютной величине сумм денежных средств сегодня и в будущем. Это объясняется, например, возможностью инвестировать сегодня капитал и в будущем получить доход; кроме того, инфляционный процесс обесценивает денежную массу. Таким образом, можно утверждать, что «деньги сегодня» ценнее «будущих денег». Дисконтирование позволяет учитывать в операциях фактор времени, то есть решать вопрос, как соотносятся между собой суммы денег, полученные в различные моменты времени.

      Различают математическое дисконтирование, коммерческий или банковский учет.

      Математическое дисконтирование связано с определением так называемого современного, или приведенного, значения Р на некоторый момент времени, которое соответствует заданному значению S в другой момент времени. Простейшая задача связана с определением суммы вклада Р на основе заданной конечной величины в будущем S через временной период начислений n под заданную ставку процентов, например, начисленную без учета капитализации:

                                               (4.1)

где  i – годовая процентная ставка;

      n – количество периодов начисления процентов;

      k_Д – коэффициент дисконтирования (приведения).

      Дисконтированное  значение будущей суммы вклада с  учетом капитализации равно:

          ,             (4.2)

где i_C – годовая процентная ставка,

а по номинальной  ставке процентов i_n

                                           (4.3)

где m – количество начислений процентов за год;

      i_n – процент в пересчете на год.

      Обычно  понятие современной стоимости применяется к потоку платежей (во времени).

      Пример  решения задачи.  Сколько нужно положить денег в банк под 20 % годовых (при условии ежегодной капитализации), чтобы через 2 года получить 250 тыс. рублей.

      По  формуле (2) находим: , то есть в банк нужно положить 173,61 тыс. рублей.

      Банковский  учет заключается в покупке денежных обязательств банком, например векселя, по цене меньше номинальной указанной в нем суммы. В этом случае вексель учитывается и клиент получит сумму:

                                                      P = S – D,

где  S – номинальная стоимость данного обязательства;

        P – цена покупки векселя банком;

        D – дисконт, сумма процентных денег.

      Вексель – письменное долговое обязательство строго установленной законом формы, которое выдается заемщиком (векселедателем) кредитору (векселедержателю) и предоставляет право векселедержателю требовать с заемщика уплаты к определенному сроку суммы займа и вознаграждения.

      Процентный  доход покупателя векселя определяется, например, по простой учетной ставке:

                                                           Если срок n от даты учета до даты погашения будет составлять часть года, то дисконт определяется по формуле:

                                                     

где  d – относительная величина учетной ставки;

    t – период начисления в днях;

    Т – количество дней в году.

      Предъявителю  учитываемого денежного обязательства  будет выдана сумма:

                                      (4.4)

      Пример  решения задачи.  Банк учитывает вексель под 25 % годовых, до погашения осталось 90 дней, номинальная стоимость 100 тыс. рублей. Какую сумму получит предъявитель учитываемого векселя.

      По  формуле (4.4): . Т. е. предъявитель получит 93,836 тыс. рублей.

      Следует заметить, что дисконтирование может  быть связано и с проведением  кредитной операции. В таком случае проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму Р за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, подлежащей возврату. В таком случае при проведении операции по простой учетной ставке d следует пользоваться такой формулой:

                                                  

      При проведении операции по сложной учетной ставке d_c% следует пользоваться формулой:

                                                   .    (4.5)

      При разработке условий контрактов или  их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определении срока ссуды или уровня учетной ставки.

      Формулы для расчета продолжительности  ссуды и величины учетной ставки получаем, решив уравнение (4.5) относительно n и d.

                                   

      Выгодность  такого метода начисления процентов  по учетной ставке для кредитора или заемщика зависит от величины процентной ставки и срока кредита.

      Пример  решения задачи. На сколько лет нужно взять кредит в 390,625 тыс. рублей под 20 % годовых с учетом капитализации, чтобы получить 200 тыс. рублей.

       , т. е. кредит нужно взять  на 3 года.

      Легко заметить, что при  ставке 20 % годовых без учета капитализации, этот срок составит , т. е. 2,44 лет.

      В операциях используется и номинальная  годовая учетная ставка i_n, по которой при начислении процентов m раз в году можно определить сумму кредита:

                                               

из которой  находим следующие модели расчета продолжительности ссуды и величины учетной ставки:

                                

      Из  приведенных моделей путем несложных  преобразований можно получить формулы для расчета различных показателей финансовых операций. 

      Задания для самостоятельной  работы.

1. Сколько денег нужно положить в банк под 18 % годовых, чтобы через 3 года получить 25 тыс. рублей при условии ежеквартальной капитализации?
2. Вексель на сумму 500 000 рублей выдан на 100 дней с начислением по нему процентов по ставке 20 % годовых. Банк учел вексель за 20 дней до срока оплаты по учетной ставке 15 % годовых. Определите сумму, полученную предъявителем векселя, и сумму дохода банка.
3. В контракте за оплату коммерческих услуг можно записать к получению либо через 6 месяцев – 520 000 рублей, либо непосредственно в момент совершения операции 500 000 рублей. Рассчитайте минимальную сумму, которую выгодно получить в момент совершения операции, если банковская ставка составляет 18 % годовых с учетом капитализации.
4. Вексель стоимостью 20 тыс. рублей выписанный на 100 дней, учитываем в банке через 90 дней за 18,5 тыс. рублей. Чему равна учетная ставка? Какую доходность обеспечил себе банк?

 

4.2.  Эквивалентность  процентных ставок 

      При заключении финансовых контрактов каждый участник сделки стремится заключить контракт на наиболее выгодных для себя условиях. Условия контракта могут быть различными, и надо иметь возможность сравнивать контракты. При этом различные контракты могут предусматривать различные виды начисления процентов и для сравнения таких контрактов надо разработать способы приведении различных процентных ставок к одному виду. Напомним формулы для вычисления наращенной суммы S для всех видов процентных ставок:

        – начисление простых процентов;

        – начисление сложных процентов;

       – начисление процентов m раз в год;

        – простой дисконт (процентный доход, вычитаемый из ссуды в момент ее выдачи);

        – учет по сложной учетной ставке;

        – учет по сложной учетной ставке m раз в году.

      Во  всех формулах есть число лет (n), оно может быть дробным.

      Две процентные ставки называются эквивалентными, если применение их к одинаковым суммам в течение одинаковых промежутков времени дает одинаковые наращенные суммы.

      Приравнивая правые части каких-либо двух из приведенных выше формул и выражая из этого равенства одну процентную ставку через другую, получаем условие эквивалентности соответствующих процентных ставок за n лет.

      Пример  решения задачи.

      Определите  значение учетной ставки банка, эквивалентной ставке процентов, равной 40 % годовых.

      Решение. Рассмотрим будущую стоимость этих сумм дя одного года: и . Так как левые части равны, то равны и правые: . Выражая из этого равенства учетную ставку d, получаем: или .

Таким образом, для заданной i = 40 %     .

      Для расчета эффективности финансовых операций используют сравнительную  доходность, которая на основе допущения о равенстве финансовых результатов различных вариантов инвестиций приводит к понятию эквивалентных ставок простых или сложных процентов. Это позволяет получить инструмент корректного сравнения финансовых операций.

      Эффективная ставка процентов измеряет относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов несколько раз в год:

            (4.6)

     Иначе говоря, эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных  процентов дает такой же финансовый результат, что и m-разовое начисление в год по ставке .

     Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную номинальной при заданном значении m и вычисляют по формуле:

     

     Пример  решения задачи. Банк начисляет проценты на вклад исходя из номинальной ставки 12 % годовых. Определить эффективную (годовую) ставку при ежедневной капитализации процентов.

     Решение: m = 365. По формуле (4.6) получим: 

      , то есть 12,747  %. 

      Задания для самостоятельной работы.

1. Срок платежа по векселю составляет 6 месяцев. Эффективность операции учета в банке должна составить 120 % годовых. Определить эквивалентное значение учетной ставки.
2. Банк хочет обеспечить себе доходность 90 % годовых. Какую он должен определить учетную ставку, если до погашения векселя осталось 8 месяцев?

 

4.3.  Модели денежных потоков 

      Денежные  потоки являются составной и неотъемлемой частью практически любой сферы  человеческой деятельности. В коммерции  они образуют питательную среду товародвижения. В экономической, финансовой, производственной и других сферах эти потоки также порождают интерес, они направлены на удовлетворение потребностей человека. Примерами таких потоков являются: оплата по заключенным договорам, которая может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени, погашение банковской задолженности или коммерческого кредита частями и т. п. При этом может возникать целый ряд последовательных, например равновеликих, платежей R, которые и образуют денежный поток.

      Ряд последовательных платежей, производимых через равные промежутки времени  τ, называется финансовой рентой или аннуитетом. Примером аннуитета могут быть регулярные взносы в пенсионный или другие фонды, выплаты процентов по ценным бумагам, например по акциям и т. д. Финансовая рента определяется следующими основными характеристиками: