Экономическое прогнозирование

t-статистика. Критерий  Стьюдента.

t-статистика. Критерий Стьюдента.

Находим критическое значение t-критерия в таблице

t_крит (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

Рассчитаем  фактическое значение данного критерия

 

. Поскольку 41.32>  2.262, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается.

 

>  2.262, статистическая значимость коэффициента  регрессии a подтверждается.

Определим доверительные интервалы коэффициентов  регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b - t_критS_b; b + t_критS_b)

(0.43 - 2.262 • 0.0103; 0.43 + 2.262 • 0.0103)

(0.4;0.45)

(a - t_критS_a; a + t_крит S_a)

(1.06 - 2.262 • 0.0271; 1.06 + 2.262 • 0.0271)

(1;1.13)

С вероятностью 95% можно утверждать, что  значения параметров aи b будут лежать в найденных интервалах.

F-статистика. Критерий Фишера для оценки  значимости всего уравнения регрессии.

Определим определяют фактическое значение F-критерия:

 

 

Найдём  табличное значение

F_табл = 5.12

Поскольку фактическое значение F >F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

 

 

2. МНОЖЕСТВЕННАЯ  РЕГРЕССИЯ

уравнение множественной регрессии с 2 признаками имеет вид:

Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии

с	200	1.5
1	250	2.1
1	300	2.7
1	350	3
1	400	3.2
1	450	3.4
1	500	3.6
1	550	3.7
1	600	4
1	650	3.8
1	700	3.7

Матрица Y

 

110
120
135
140
150
159
194
170
176
180
190

Умножаем  матрицы, (X^TX)

 

Умножаем  матрицы,  (X^TY)

 

Вектор  оценок коэффициентов регрессии  равен 

s = (X^TX)^-1X^TY = 

 

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = 65.97 + 0.0889X₁ + 16.09X₂

Найдём  матрицу парных коэффициентов корреляции

Ошибка! Закладка не определена. , где

Матрица парных коэффициентов корреляции.

 

-	y	x1	x2
y	1	0.93	0.92
x1	0.93	1	0.91
x2	0.92	0.91	1

Проверим  значимость полученных парных коэффициентов  корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми.

Рассчитаем  наблюдаемые значения t-статистики для r_yx1 по формуле:

 

где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии.

 

По  таблице Стьюдента находим Tтабл

t_крит(n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

Поскольку t_набл>t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

Рассчитаем  наблюдаемые значения t-статистики для r_yx2 по формуле:

 

Поскольку t_набл>t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

Таким образом, связь между (y и x_x1), (y и x_x2 ) является существенной.

Наибольшее  влияние на результативный признак  оказывает фактор x₁ (r = 0.93), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым.

Рассчитаем  частные коэффициенты корреляции.

 

 

Теснота связи умеренная 

Определим значимость коэффициента корреляции r_{yx1 /x2} .

Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:

 

где k = 1 - число фиксируемых факторов.

 

По  таблице Стьюдента находим Tтабл

t_крит(n-k-2;α/2) = (8;0.025) = 2.306

Поскольку t_набл<t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Как видим, связь y и x₁  при условии, что x₂  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₁  остается нецелесообразным.

 

 

Теснота связи не сильная 

Определим значимость коэффициента корреляции r_{yx2 /x1} .

Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:

 

 

Поскольку t_набл<t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Проведём  анализ параметров уравнения регрессии

Y	Y(x)	ε = Y - Y(x)	ε2	(Y-Yср)2	|ε|/Y
110	107.88	2.12	4.47	2183.44	0.42
120	121.98	-1.98	3.93	1348.89	0.31
135	136.08	-1.08	1.17	472.07	0.16
140	145.35	-5.35	28.63	279.8	0.12
150	153.01	-3.01	9.08	45.26	0.0448
159	160.68	-1.68	2.81	5.17	0.0143
194	168.34	25.66	658.55	1389.26	0.19
170	174.39	-4.39	19.28	176.17	0.0781
176	183.66	-7.66	58.71	371.44	0.11
180	184.89	-4.89	23.91	541.62	0.13
190	187.73	2.27	5.17	1107.07	0.18
		0	815.71	7920.18	1.75

Средняя ошибка аппроксимации 

 

Оценка  дисперсии равна:

s_e² = (Y - X*s)^T(Y - X*s) = 815.71

Несмещенная оценка дисперсии равна:

 

Оценка  среднеквадратичного отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y):

 

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:

 

Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем  изменяется признак-результат ус увеличением признака-фактора х_j на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели.

 

Частный коэффициент эластичности |E₁| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

 

Частный коэффициент эластичности |E₂| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Рассчитаем  множественный коэффициент корреляции

 

Связь между признаком Y факторами X сильная 

Коэффициент детерминации.

R²= 0.95² = 0.9

1) t-статистика 

T_табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

 

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₀:

 

 

Статистическая  значимость коэффициента регрессии b₀ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₁:

 

 

Статистическая  значимость коэффициента регрессии b₁ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₂:

 

 

Статистическая  значимость коэффициента регрессии b₂ подтверждается.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов  регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b_i - t_iS_bi; b_i + t_iS_bi)

b₀: (65.97 - 2.306 • 4.79 ; 65.97 + 2.306 • 4.79) = (54.92;77.03)

b₁: (0.0889 - 2.306 • 0.0146 ; 0.0889 + 2.306 • 0.0146) = (0.0553;0.12)

b₂: (16.09 - 2.306 • 3.11 ; 16.09 + 2.306 • 3.11) = (8.93;23.25)

Выполним  проверка общего качества уравнения множественной регрессии.

Найдём фактическое  значение критерия Фишера

 

Табличное значение при степенях свободы k₁ = 2 и k₂ = n-m-1 = 11 - 2 - 1 = 8, Fkp(2;8) = 4.46

Поскольку фактическое значение F >Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

 

 

ВЫВОД:

 

Занесём в  таблицу результаты корреляционно-регрессионного анализа

 

Уравнение регрессии	Коэффициент корреляции	Коэффициент детерминации	F-критерий Фишера
y = 0.1522 x + 85.5182	0,99	0.9795	430.35
y = -223,3402 + 62,4813 ln x	0.999999	0,99	1445.6
y= 95.8932*1.0008x	0,98	0,95	188.48
y = 11.61393x0.4258	0,999999	0,99	1707.09
y = 65.97 + 0.0889X1 + 16.09X2	0,95	0,91	34,87

Проанализировав все модели регрессии, предпочтение можно отдать степенной функции y = 11.61393x^0.4258, для которой значения коэффициентов корреляции и детерминации и F-критериев Фишера наибольшие.

Для x_p = 800 рассчитаем прогнозное значение и построим доверительный интервал прогноза.

Экономическое прогнозирование на основе построенной  модели предполагает, что сохраняются  ранее существовавшие взаимосвязи  переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой  переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.

Прогнозные  значения факторов подставляют в  модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bx_p ± ε)

где

 

Рассчитаем  границы интервала, в котором  будет сосредоточено 95% возможных  значений Y при неограниченно большом  числе наблюдений и X_p = 800

 

(2.45 + 0.43*800 ± e^0.0175)

(342.07;344.11)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно  большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.