Экономическое прогнозирование

Вычислим коэффициенты   и   уравнения показательной регрессии   

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(y_i - y^*_i)² → min

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших данных система уравнений  имеет вид 

11a + 4950 b = 24

4950 a + 2502500 b  = 10921.92

Из  первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем  эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000444, a = 1.9818

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение  регрессии):

y = 10^1.9818*10^0.000444x

y= 95.89337*1.00102^x

 

 

 

Сделаем общий чертёж диаграммы рассеяния и графика  уравнения регрессии

Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

E = b = 0.000444

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится  менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Оценим  качество уравнения регрессии с  помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее  отклонение расчетных значений от фактических:

 

Ошибка  аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует  о хорошем подборе уравнения  регрессии к исходным данным.

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение  можно использовать в качестве регрессии.

Эмпирическое  корреляционное отношение вычисляется  для всех форм связи и служит дляизмерение тесноты зависимости. Изменяется в  пределах [0;1].

 

  – высокая теснота зависимости

Рассчитаем  индекс корреляции

 

  – Полученная величина свидетельствует  о том, что фактор x существенно влияет на y

Рассчитаем  индекс детерминации

 

, т.е. в 95.44 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 4.56 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Для оценки качества параметров регрессии  построим расчетную таблицу (табл. 2)

x	log(y)	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
200	2.04	2.07	0.0197	0.000857	62500	0.0143
250	2.08	2.09	0.0105	0.000188	40000	0.00659
300	2.13	2.12	0.00264	0.000232	22500	0.00715
350	2.15	2.14	0.00127	7.8E-5	10000	0.0041
400	2.18	2.16	3.2E-5	0.000274	2500	0.00761
450	2.2	2.18	0.000386	0.000386	0	0.00892
500	2.21	2.2	0.00109	0.000118	2500	0.00491
550	2.23	2.23	0.00237	1.8E-5	10000	0.00191
600	2.25	2.25	0.00406	8.0E-6	22500	0.00129
650	2.26	2.27	0.0054	0.000236	40000	0.00681
700	2.28	2.29	0.00941	0.000199	62500	0.00619
4950	24	24	0.0569	0.00259	275000	0.0698

t-статистика. Критерий Стьюдента.

Находим критическое значение t-критерия в таблице

t_крит (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

Рассчитаем  фактическое значение данного критерия

 

Поскольку 4.44  >  2.262, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается.

 

  Поскольку 128.36  >  2.262, то статистическая  значимость коэффициента регрессии  a подтверждается.

Определим доверительные интервалы коэффициентов  регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b - t_критS_b; b + t_критS_b)

(0.000444 - 2.262 • 3.2E-5; 0.000444 + 2.262 • 3.2E-5)

(0.000218;0.000671)

С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра будут  лежать в найденном интервале.

(a - t_критS_a; a + t_крит S_a)

(1.98 - 2.262 • 0.0154; 1.98 + 2.262 • 0.0154)

(1.95;2.02)

С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра будут  лежать в найденном интервале.

F-статистика. Критерий Фишера для оценки  значимости всего уравнения регрессии.

Определим определяют фактическое значение F-критерия:

 

 

Найдём  табличное значение

F_табл = 5.12

Поскольку фактическое значение F >F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

 

1.4. Степенная регрессия

y = ax^b (lny = lna + blnx)

После линеаризации уравнения имеем Y*=lny, X*=lnx, A=lna

С помощью МНК найдём коэфф-ты уравнения регрессии

A•n + b∑x = ∑y

A∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших данных система уравнений  имеет вид 

11A + 28.85 b = 24

28.85 A + 75.98 b  = 63.08

Получаем  эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.4258, A = 1.065

y = 10^1.06497903x^0.4258 = 11.61393x^0.4258

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу 

 

ln(x)	ln(y)	ln(x)2	y2	x • y
2.3	2.04	5.29	4.17	4.7
2.4	2.08	5.75	4.32	4.99
2.48	2.13	6.14	4.54	5.28
2.54	2.15	6.47	4.61	5.46
2.6	2.18	6.77	4.74	5.66
2.65	2.2	7.04	4.85	5.84
2.7	2.21	7.28	4.91	5.98
2.74	2.23	7.51	4.97	6.11
2.78	2.25	7.72	5.04	6.24
2.81	2.26	7.91	5.09	6.34
2.85	2.28	8.09	5.19	6.48
28.85	24	75.98	52.42	63.08

Рассчитаем  выборочные средние Выборочные средние.

 

 

 

Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

E = b = 0.43

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится  менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Ошибка  аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует  о хорошем подборе уравнения  регрессии к исходным данным.

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение  можно использовать в качестве регрессии.

Вычислим эмпирическое корреляционное отношение 

 

  – высокая теснота связи

Рассчитаем индекс корреляции

 

- фактор x существенно влияет на y

Рассчитаем  индекс детерминации

 

т.е. в 99.48 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 0.52 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Для оценки качества параметров регрессии  построим расчетную таблицу (табл. 2)

ln(x)	ln(y)	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
2.3	2.04	2.04	0.0197	1.1E-5	0.1	0.00164
2.4	2.08	2.09	0.0105	4.7E-5	0.0506	0.00328
2.48	2.13	2.12	0.00264	0.000113	0.0212	0.00498
2.54	2.15	2.15	0.00127	4.0E-6	0.0062	0.00098
2.6	2.18	2.17	3.2E-5	1.0E-5	0.000431	0.00146
2.65	2.2	2.19	0.000386	4.5E-5	0.000924	0.00304
2.7	2.21	2.21	0.00109	0	0.0058	0.000296
2.74	2.23	2.23	0.00237	2.0E-6	0.0138	0.000611
2.78	2.25	2.25	0.00406	6.0E-6	0.0241	0.00106
2.81	2.26	2.26	0.0054	5.5E-5	0.0361	0.0033
2.85	2.28	2.28	0.00941	6.0E-6	0.0494	0.00103
28.85	24	24	0.0569	0.000298	0.31	0.0217

Изобразим фактические  и расчётные значения фактора  у.

t-статистика. Критерий  Стьюдента.

t-статистика. Критерий Стьюдента.

Находим критическое значение t-критерия в таблице

t_крит (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

Рассчитаем  фактическое значение данного критерия

 

Поскольку 41.32>  2.262, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается.

 

  Поскольку 39,32  >  2.262, то статистическая  значимость коэффициента регрессии  a подтверждается.

Определим доверительные интервалы коэффициентов  регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b - t_критS_b; b + t_критS_b)

(0.43 - 2.262 • 0.0103; 0.43 + 2.262 • 0.0103)

(0.4;0.45)

С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра будут  лежать в найденном интервале.

(a - t_критS_a; a + t_крит S_a)

(1.06 - 2.262 • 0.0271; 1.06 + 2.262 • 0.0271)

(1;1.13)

С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра будут  лежать в найденном интервале.

F-статистика. Критерий Фишера для оценки  значимости всего уравнения регрессии.

Определим определяют фактическое значение F-критерия:

 

 

Найдём  табличное значение

F_табл = 5.12

Поскольку фактическое значение F >F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

1.4 Построение  степенной регрессии.

Степенное уравнение  регрессии имеет вид y = ax^b (lny = lna + blnx)

Для расчета параметров коэффициентов  уравнения построим расчетную таблицу 

ln(x)	ln(y)	ln(x)2	y2	x • y
2.3	2.04	5.29	4.17	4.7
2.4	2.08	5.75	4.32	4.99
2.48	2.13	6.14	4.54	5.28
2.54	2.15	6.47	4.61	5.46
2.6	2.18	6.77	4.74	5.66
2.65	2.2	7.04	4.85	5.84
2.7	2.21	7.28	4.91	5.98
2.74	2.23	7.51	4.97	6.11
2.78	2.25	7.72	5.04	6.24
2.81	2.26	7.91	5.09	6.34
2.85	2.28	8.09	5.19	6.48
28.85	24	75.98	52.42	63.08

Методом наименьших квадратов найдём параметры aи b

•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших данных система уравнений  имеет вид 

11a + 28.85 b = 24

28.85 a + 75.98 b  = 63.08

Из  первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем  эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.4258, a = 1.065

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение  регрессии):

y = 10^1.06497903x^0.4258 = 11.61393x^0.4258

 

 

 

Выборочные  дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое  отклонение

 

 

Коэффициенты  регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х. Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

E = b = 0.43

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится  менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

 

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение  можно использовать в качестве регрессии.

Эмпирическое  корреляционное отношение вычисляется  для всех форм связи и служит дляизмерение тесноты зависимости 

 

  – сильная связь между факторами.

Величина  индекса корреляции R находится в  границах от 0 до 1. Чем ближе она  к единице, тем теснее связь рассматриваемых  признаков, тем более надежно  уравнение регрессии.

 

 

Полученная  величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Рассчитаем  индекс детерминации

 

 

т.е. в 99.48 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 0.52 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Для оценки качества параметров регрессии  построим расчетную таблицу

 

 

ln(x)	ln(y)	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
2.3	2.04	2.04	0.0197	1.1E-5	0.1	0.00164
2.4	2.08	2.09	0.0105	4.7E-5	0.0506	0.00328
2.48	2.13	2.12	0.00264	0.000113	0.0212	0.00498
2.54	2.15	2.15	0.00127	4.0E-6	0.0062	0.00098
2.6	2.18	2.17	3.2E-5	1.0E-5	0.000431	0.00146
2.65	2.2	2.19	0.000386	4.5E-5	0.000924	0.00304
2.7	2.21	2.21	0.00109	0	0.0058	0.000296
2.74	2.23	2.23	0.00237	2.0E-6	0.0138	0.000611
2.78	2.25	2.25	0.00406	6.0E-6	0.0241	0.00106
2.81	2.26	2.26	0.0054	5.5E-5	0.0361	0.0033
2.85	2.28	2.28	0.00941	6.0E-6	0.0494	0.00103
28.85	24	24	0.0569	0.000298	0.31	0.0217