Эконометрическое моделирование линейного уравнения парной регрессии

 

 

 

 

Расчетно-графическая  работа

по дисциплине Эконометрика

 

Эконометрическое  моделирование

линейного уравнения  парной регрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

1. Таблица исходных данных. Поле корреляции 3

2. Расчет параметров a и b линейного уравнения парной регрессии при помощи МНК. 6

3. Оценка качества и экономическое обоснование модели линейного уравнения парной регрессии. 9

4. Расчет прогнозных значений исследуемой переменной 12

 

 

Введение

 

Целью данной работы является выявление  зависимости среднедушевых расходов от средней заработной платы в регионе.

Задачи  данной работы:

• создание исходной таблицы данных, построение поля корреляции;
• расчет параметров a и b линейного уравнения парной регрессии при помощи МНК;
• оценка качества и экономическое обоснование модели линейного уравнения парной регрессии;
• расчет прогнозных значений исследуемой переменной.

 

1. Таблица исходных данных. Поле корреляции.

Существует связь между среднедушевыми денежными расходами и среднедушевыми денежными расходами.

Статистические  данные приведены в таблице 1

Таблица 1 – Исходные данные

Регион	Среднедушевые денежные расходы, р. у	Среднедушевые денежные доходы, р. x.
Брянская обл.	2818,4	2465,4
Владимирская обл.	2795	2467,5
Ивановская обл.	2730	2415
Калужская обл.	2762,5	2440,2
Костромская обл.	2739,1	2422,4
Орловская обл.	2735,2	2419,2
Рязанская обл.	2752,1	2422,4
Смоленская обл.	2748,2	2429,7
Тверская обл.	2783,3	2458,1

 

Модели  парной корреляции и регрессии отражают взаимосвязь двух факторов (переменных). Одна из переменных является независимым  фактором, аргументом, вторая – зависимая  переменная, функция.

За факторный  признак принимаем среднедушевой  денежный доход X, а за результативный признак принимаем средний душевой денежный расход Y.

 Поле  корреляции – это совокупность  точек с координатами (х_i, y_i), отображенных на координатной плоскости. Для того, чтобы отобразить поле корреляции на диаграмме необходимо построить точечную диаграмму. Для этого:

Для зависимости среднедушевого денежного  расхода от среднедушевого денежного  дохода получена диаграмма (рисунок 1).

 

Рисунок 1- Зависимость среднедушевых расходов от среднедушевых доходов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчет параметров a и b линейного уравнения парной регрессии при помощи МНК.

 

Имеется зависимость  средней заработной платы от среднедушевых  денежных расходов некоторых регионов России.

Для применения МНК необходимо построить систему  вида: 

                                                                                   (1)

Для этого  необходимо определить значения сумм, используемые в системе, далее записать систему с найденными значениями сумм относительно неизвестных параметров a и b.

В MS Excel построим и заполним расчетную таблицу вида.

Таблица 2

i	xi	yi	xi2	yi xi
Брянская обл.	2818,4	2465,4
…	…	…
Тверская обл.	2783,3	2458,1
Сумма

 

Значения  в столбцах x_i² и y_i x_i , а также строку Сумма (значения сумм по каждому из столбцов) необходимо рассчитать, вставляя формулы в соответствующие ячейки.

Для нахождения параметров а и b выделим две пустые ячейки и рассчитаем значения, воспользовавшись формулами:

  (2);                            (3).

Для того чтобы использовать формулы нужно  прежде рассчитать значения средних, поэтому  под строкой «Сумма» запишем строку «Среднее», и рассчитаем значения средних величин по каждому из столбцов.

Расчет параметров a и b линейного уравнения парной регрессии при помощи функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК.

При применении функции НАКЛОН значение параметра b=1,3887.

При применении функции ОТРЕЗОК значение параметра  а= -622,891.

Запишем уравнение:у=1,3887х-622,891

Для определения значений добавим в таблицу такой столбец. Для каждого х_i рассчитаем в столбце значения, используя построенное уравнение регрессии, подставляя в него вместо х значения х_i.

Аналогично  рассчитаем значения . Добавим столбец ; для каждого значения х_i рассчитаем в столбце значения, используя формулу     (4).

 

В результате общая организация расчетов в  Excel будет иметь вид:

Таблица 3

i		у i		х i		ŷx	ŷx2	y2	ε
Брянская обл.		2818,4		2465,4		2801,021	7845720	7943379	17,37878
Владимирская обл.		2795		2467,5		2803,938	7862066	7812025	-8,93767
Ивановская обл.		2730		2415		2731,026	7458505	7452900	-1,02642
Калужская обл.		2762,5		2440,2		2766,024	7650888	7631406	-3,52382
Костромская обл.		2739,1		2422,4		2741,303	7514745	7502669	-2,20344
Орловская обл.		2735,2		2419,2		2736,859	7490399	7481319	-1,65932
Рязанская обл.		2752,1		2422,4		2741,303	7514745	7574054	10,79656
Смоленская обл.		2748,2		2429,7		2751,442	7570431	7552603	-3,24157
Тверская обл.		2783,3		2458,1		2790,883	7789028	7746759	-7,58309
Среднее		2762,644		2437,767		2762,644	7632947	7633013	0,0000
a=			-622,891
b=			1,3887

 

 

Экономический смысл уравнения: у=1,3887х-622,891.

-622,891–  свободный член уравнения, характеризующий  среднедушевые денежные расходы  при нулевых среднедушевых денежных  доходах.

1,3887–  коэффициент уравнения регрессии,  показывающий во сколько раз  увеличатся среднедушевые денежные  расходы при увеличении среднедушевых  денежных доходов на 1 р. То  есть, при увеличении среднедушевых  денежных доходов на 1 рубль, среднедушевые  расходы увеличатся на 1 рубль  39 копеек.

 

3. Оценка качества и экономическое обоснование модели линейного уравнения парной регрессии.

 

Результирующая  информация для модели линейного  уравнения регрессии и оценки его качества зависимости затрат на производство от выпуска продукции  после применения инструмента "Регрессия".

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,958769
R-квадрат	0,919239
Нормированный R-квадрат	0,907701
Стандартная ошибка	9,161722
Наблюдения	9
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	6687,702	6687,702	79,67512	4,5E-05
Остаток	7	587,56	83,93715
Итого	8	7275,262
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 90,0%	Верхние 90,0%
Y-пересечение	-622,891	379,2976	-1,64222	0,144547	-1519,79	274,0052	-1341,5	95,71805
Переменная X 1	1,388786	0,155587	8,926092	4,5E-05	1,02088	1,756691	1,094014	1,683558

 

Значения показателей оценки качества подбора уравнения в целом  находятся в верхней части  таблицы ВЫВОД ИТОГОВ и представлены в информации о регрессионной  статистике и дисперсионном анализе. Коэффициент детерминации R² представлен показателем "R-квадрат" (регрессионная статистика), линейный коэффициент корреляции R – "Множественный R" (регрессионная статистика), F-критерий Фишера – "F" (дисперсионный анализ).

Значения параметров находятся  в нижней части таблицы. Строка Y-пересечение  содержит информацию о значении параметра  а (столбец "Коэффициенты"), далее  по строке – значение стандартной  ошибки m_a (столбец "Стандартная ошибка"), расчетное значение t-критерия Стьюдента (представлено показателем t-статистика), два доверительных интервала (первый построен по уровню надежности α=90%, второй – по тому, который был указан в диалоговом окне Регрессия; если было выбрано значение α, по умолчанию равное 90%, то второй доверительный интервал построен также по уровню надежности α=95%). Аналогично представлена информация о коэффициенте регрессии – параметре b, которая расположена ниже строки Y-пересечение (строка "Среднедушевые денежные доходы, р. в месяц, Х"). Смотрим по этой строке: значение параметра b – столбец "Коэффициенты", и далее по строке представлены значения показателей существенности этого параметра – стандартная ошибка, t-критерий Стьюдента и два доверительных интервала.  

Таким образом, для зависимости среднедушевых денежных расходов от среднедушевых денежных доходов можем записать модель (уравнение):

=1,3887х-622,891

Показатели оценки качества построенной  модели:

1. Коэффициент детерминации R² = 0,92. Следовательно 92 % дисперсии среднедушевых денежных расходов объяснены среднедушевыми денежными доходами. На долю прочих факторов приходится 8 % дисперсии расходов.

2. Коэффициент корреляции r_ху = 0,96. Значение очень близко к 1, связь между доходами и расходами очень тесная, близка к функциональной.

3. F-критерий Фишера F = 79,7. Показатель "Значимость F" (0,000424) меньше 0,1. Значит расчетное значение (79,7) больше табличного, связь между ден. расходами и доходами значима, а построенное уравнение статистически значимо.

 

Показатели существенности параметров:

1. Стандартная ошибка:

- для параметра а m_a = 1031,78;

- для параметра b m_b = 0,575.

2. t-критерий Стьюдента

- для  параметра а t_a = -4,53;

- для параметра b t_b = 6,25.