Двойственные оценки

 

          5.  Запустить команду Поиск решения

1. Назначить ячейку для целевой функции (установить целевую ячейку), указать адреса изменяемых ячеек, ввести ограничения. (Рисунок 3)

 

Рис 3. Введены все условия  задачи

 

2. Ввести параметры для решения задачи линейного программирования

     В диалоговом окне поместить указатель мыши на кнопку параметры. На экране появится диалоговое окно Параметры Поиск решения. Установить флажки, как показано на рисунке 4

 

Рис 4. Ввод параметров

 

Поместить указатель  мыши на кнопку Выполнить. В результате Поиска решения появляется исходная таблица с заполненными ячейками В3:D3 для значений и ячейка F2 с максимальным значением целевой функции (рисунок 5).

 

Рис 5. Решение получено

 

Полученное  решение означает, что максимальный доход 1350 ден. ед. предприятие может получить при выпуске 100 изделий второго вида и 230 изделий третьего вида. При этом первый и второй типы сырья будут использованы полностью, а из 420 единиц третьего сырья будет использовано 400 единиц

 

 

 

 

 

Двойственная задача.

 

Обозначим переменные:

Пусть   y₁ – цена единицы ресурса продукции I;

y₂ – цена единицы ресурса продукции II;

y₃ – цена единицы ресурса продукции III.

Экономико-математическая модель двойственной задачи имеет вид:

G(y) = 430у₁ + 460у₂ + 420у₃ →min

при ограничениях:

 у₁ + 3у₂ + у₃ ≥ 3;

2у₁ + 4у₃ ≥ 2;

 у₁ + 2y₂  ≥ 5;

у₁, у₂, у₃ ≥ 0.           

 

В результате получилась пара взаимодвойственных задач.

Найдем оптимальный  план двойственной задачи, используя  теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы  двойственности

 

y_i(∑a_ijx_j - b_i) = 0

y₁(x₁ + 2x₂ + x₃ - 430) = 0

y₂(3x₁ + 2x₃ - 460) = 0

y₃(x₁ + 4x₂ - 420) = 0

 

Подставим полученные оптимальные значения х₁=0, х₂=100 и х₃=230 в полученные выражения

 

y₁(0 + 2*100 + 230 - 430) = 0

y₂(3*0 + 2*230 - 460) = 0

y₃(0 + 4*100 - 420) = 0, y₃=0, т.к. 400<420

 

В результате получим:

y₁(430 - 430) = 0

y₂(460 - 460) = 0

y₃(400 - 420) = 0, y₃=0, т.к. 400<420

 

Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы  двойственности

x_j(∑a_ij - c_j) = 0, если  x_j=0, то ∑a_ij = c_j

В данной задаче х₂=100≥0 и х₃=230≥0, поэтому второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства:

2у₁ + 4у₃ = 2

у₁ + 2y₂  = 5

y₃=0

Решив данную систему, получаем:

y₁=1, y₂=2, y₃=0

Теневые цены первого, второго, третьего ресурсов соответственно равны 1, 2, 0.

Проверим выполнение первой теоремы двойственности

G(y) = 430*1 + 460*2 + 420*0 = 1350

F(x) = 1350

F(x) = G(x)

 

Исходя из первой теоремы двойственности можно сделать  вывод, что оптимальный план двойственной задачи определен верно.

 

Поясним нулевые значения переменных в оптимальном плане:

- выпуск изделий I вида нерентабелен, так как х₁=0;

- дефицитными  являются I и II вид сырья, так как y₁ и y₂ > 0;

- III вид сырья является избыточным, так как у₃=0.

 

Проведем анализ полученного оптимального плана исходной задачи с помощью  двойственных оценок.

Так как цена третьего сырья у₃=0, то сырье третьего типа не дефицитно.

Дефицитное  сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане  исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у₂ =2), чем сырье первого типа (у₁ =1).

 

Определим, как изменится выручка  от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья первого  вида увеличить на 5 единиц, а второго  – уменьшить на 5 единиц.

При изменения  запаса сырья первого вида получим 430+5=435 ед., запаса сырья второго вида – 460-5=455 ед.

Из теоремы  об оценках известно, что колебание  величины приводит к изменению целевой функции F(x). Оно определяется величиной y_i в случае, когда при изменении величин b_i значения переменных y_i в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. В данной задаче увеличение запасов первого сырья и уменьшению запасов второго сырья приведет к уменьшению значения целевой функции на 5 ден. ед.

ΔF(x) = Δb_i * y_i

ΔF(x) = 5*1 – 5*2 = -5 ден. ед.

 

Оценить целесообразность включения  в план изделия четвертого вида ценой 7 ден. ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

В оптимальный  план задачи на получение максимума прибыли может быть включен лишь тот вариант, для которого прибыль, недополученная из-за отвлечения дефицитных ресурсов, т.е. величина , покрывается полученной прибылью c_j. Таким образом, характеристикой того или иного варианта служит разность , при этом если , то вариант выгоден; если , то вариант не выгоден.

 

Таблица 2

Тип сырья	Объективно обусловленные  оценки ресурсов	Нормы расхода сырья на ед. включаемой продукции,
	1	2
	2	4
	0	3
Цена изделия		7

 

Т.к. 3>0, то можно  сделать вывод о том, что продукцию Р₄ невыгодно включать в план, т.к. затраты на ее изготовление не покрываются получаемой прибылью.

 

 Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

Условие:

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос (млн. руб) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд этого показателя приведен в таблице №1

 

Таблица 3

Номер наблюдения
1	2	3	4	5	6	7	8	9
8	13	15	19	25	27	33	35	40

 

1. Проверить наличие аномальных наблюдений

Для выявления  аномальностей ряда наблюдения воспользуемся  методом Ирвина.

Рассчитаем  значение

Где ,

Для удобства вычисления промежуточные расчеты представим как в рисунке 6

Рисунок 6. Вычисление наличия  аномальных наблюдений

Все расчетные  значения меньше табличного значения критерия Ирвина (при n=9, =1,5), следовательно, можно говорить о том, что аномальных наблюдений не обнаружено.

 

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем из решения нормальной системы уравнений:

   

Известно, что 

Построим следующую  таблицу, используя MS Excel

Рисунок 7. Поиск коэффициентов а₀ и а₁

Также коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели можно найти с помощью надстройки MS Excel Анализ данных:

• Введем исходные данные как показано на рисунке 8.

 

Рисунок 8. Ввод исходных данных

 

• Оценим параметры модели с помощью надстройки MS Excel Анализ данных.

Выберем команду  Сервис – Анализ данных;

В диалоговом окне Анализ данных Выберем инструмент регрессия;

В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y следует ввести адрес диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал X введем адрес диапазона, который содержит значения независимой переменной t (рис 8).

 

Рисунок 9. Ввод исходных данных для Регрессии

 

Результат регрессионного анализа показан на рисунке 10

Рисунок 10. Результат  регрессионного анализа

 

Полученная линейная модель будет выглядеть следующим образом:

y(t) = 4,07 + 3,96t

Рисунок 10. Полученная линейная модель

 

3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания и . Выбрать лучшие значения параметров сглаживания.

Общий вид модели:

     

     

     

где  - параметры модели

- период упреждения (k=1)

- параметр сглаживания модели

- абсолютная ошибка

Построим адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания

 

 

 

 

 

Для удобства вычисления промежуточные расчеты сделаем с помощью MS Excel (рисунок 11)

Рисунок 11. Адаптивная модель Брауна с параметром сглаживания 

;   

 

Построим адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания

Для удобства вычисления промежуточные расчеты сделаем  с помощью MS Excel (рисунок 12)

Рисунок 12. Адаптивная модель Брауна с параметром сглаживания 

 

Относительные ошибки обеих моделей достаточно малы, следовательно, обе модели подходят для дальнейшего исследования.

 

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

 

Случайность ряда остатков исследуем методом поворотных точек

сравним критическое m*=2 с количеством повторных точек полученных в адаптивной модели Брауна m=6 и в линейной модели m=6:

2 < 6, следовательно,  условие случайности уровней  ряда остатков соблюдается.

Результаты  данной проверки дают возможность провести проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS- критерием. Размах вариации вычисляется по формуле:

В данной задачи размах вариации для линейной модели составит:

для адаптивной модели Брауна:

с параметром сглаживания 

с параметром сглаживания 

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение для линейной модели составит:

для адаптивной модели Брауна:

с параметром сглаживания 

с параметром сглаживания 

 

Критерий  для адаптивной модели Брауна составит: