Двоичная система счисления

 

старший разряд (10010101)2=(149)10 

 

 

 

 

 

 

 

9

ГЛАВА 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ДВОИЧНЫМИ ЧИСЛАМИ

1. ДВОИЧНОЕ СЛОЖЕНИЕ

Двоичное сложение выполняется  по тем же правилам, что и десятичное, с той лишь разницей, что перенос  в следующий разряд производиться  после того, как сумма достигнет не десяти, а двух.

Пример:   Сложение двоичных чисел. В нем  наглядно  расписано, как осуществляется сложение и учетов переносов единиц в следующий разряд:

+	101101
	111110
	010011	- поразрядная сумма без  учета переносов
+	1011000	- переносы
	0010011	- поразрядная сумма без учета переносов
	1001011	- поразрядная сумма без учета повторных переносов
+	0100000	- повторные переносы
	1001011	- поразрядная сумма без учета повторных переносов
	1101011	- окончательный результат

 

Пример:    Сложение двоичных чисел 

+	110	1011
	10111	10101
	10001	00011	- поразрядная сумма без учета переносов

 

+	111	1	- переносы
	10001	00011
	11100	01011	- поразрядная сумма без учета повторных переносов

 

+	1		- повторные переносы
	11100	01011
	11110	01011	- окончательный результат

 

Сложение нескольких чисел  вызывает некоторые трудности, так  как в результате поразрядного сложения могут получиться переносы, превышающие единиц

10

2. ДВОИЧНОЕ ВЫЧИТАНИЕ

Вычитание в двоичной системе  выполняется аналогично вычитанию  в десятичной системе счисления. При необходимости, когда в некотором  разряде приходится вычитать единицу  из нуля, занимается единица из следующего старшего разряда. Если в следующем  разряде нуль, то заем делается в  ближайшем старшем разряде, в  котором стоит единица. При этом следует понимать, что занимаемая единица равна двум единицам данного  разряда, т. е. вычитание выполняется  по следующему правилу:

Пример:   Вычитание двоичных чисел

-	11010	1011
	1101	01111
	1101	00111

 

Конечно, математически вычитание  выполнить несложно. Однако, если поступать таким образом, то к примеру в ЭВМ придется для выполнения сложения и вычитания иметь два блока: сумматор и вычитатель. Поэтому поступают следующим образом: вычитание можно представить как сложение положительного и отрицательного чисел, необходимо только подходящее представление для отрицательного числа.

Рассмотрим четырехразрядный десятичный счетчик, какие в автомобиле отсчитывают пройденный путь. Пусть  он показывает число 2, если вращать  его в обратном направлении, то сначала  появится 1, затем 0, после 0 появится число 9999. Сложим, к примеру, 6 с этим числом:

+	6
	9999
	10005

 

Если пренебречь единицей переноса и считать 9999 аналогом –1, то получим верный результат.

Число 9999 называется десятичным дополнением числа 1.

Таким образом,  в десятичной системе счисления отрицательные  числа могут быть представлены в  форме десятичного дополнения, а  знак минус можно опустить.

11

Двоичное   дополнение числа определяется как то число, которое будучи прибавлено к первоначальному  числу, даст только единицу переноса в старшем разряде.

Пример:   двоичное дополнение числа

+	010101111	- число
	101010001	- двоичное дополнение
	1000000000	- сумма

 

Для получения двоичного  дополнения необходимо:

• получить обратный код, который образуется инвертированием каждого бита:

010101111	- число
101010000	- обратный код

 

• прибавить к обратному коду единицу, образовав таким образом дополнительный код:

+	101010000	- обратный код
	1
	101010001	- дополнительный код

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

3. ДВОИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ

Умножение двух двоичных чисел  выполняется так же, как и умножение  десятичных. Сначала получаются частичные  произведения и затем их суммируют  с учетом веса соответствующего разряда  множителя.

Отличительной особенностью умножения в двоичной системе  счисления является его простота, обусловленная простотой таблицы умножения.

В соответствии с ней, каждое частичное произведение или равно  нулю, если в соответствующем разряде  множителя стоит нуль, или равно  множимому, сдвинутому на соответствующее  число разрядов, если в соответствующем  разряде множителя стоит единица. Таким образом, операция умножения  в двоичной системе сводится к  операциям сдвига и сложения.

Умножение производится, начиная  с младшего или старшего разряда  множителя, что и определяет направление  сдвига. Если сомножители имеют дробные  части, то положение запятой в  произведении определяется по тем же правилам, что и для десятичных чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

4. ДВОИЧНОЕ ДЕЛЕНИЕ

Деление чисел в двоичной системе производится аналогично делению  десятичных чисел. Рассмотрим деление  двух целых чисел, так как делимое  и делитель всегда могут быть приведены к такому виду путем перенесения запятой в делимом и делителе на одинаковое число разрядов и дописывания необходимых нулей. Деление начинается с того, что от делимого слева отделяется минимальная группа разрядов, которая, рассматриваемая как число, превышает или равна делителю. Дальнейшие действия выполняются по обычным правилам, причем последняя целая цифра частного получается тогда, когда все цифры делимого исчерпаны.

Пример :    Деление двоичных чисел

1) 18 : 2			2) 14 : 4
10010	10		1110	100
10	1001=(9)10		100	11,1=(3,5)10
00			110
00			100
001			100
000			100
10			0
10
0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

ГЛАВА 4. СПОСОБЫ  ПОСТРОЕНИЯ ДВОИЧНЫХ КОДОВ

Начиная с конца 60-х годов, компьютеры все больше используют для обработки текстовой информации и в настоящее время большая часть компьютеров в мире занято именно обработкой текстовой информации.

Традиционно для кодирования  одного символа используется количество информации равное 1 байту, то есть 8 бит. Если рассматривать символы как  возможные события, то получаем, что  количество различных символов, которые  можно закодировать, будет равно 256. Такое количество символов вполне достаточно для представления текстовой  информации, включая прописные и  строчные буквы русского и латинского алфавитов, а так же цифры, знаки  препинания и математических операций, графические символы и так  далее.

Но способов построения таких  кодов очень много, рассмотрим некоторые  из них:

4.1. АЛФАВИТНОЕ  НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВОИЧНОЕ КОДИРОВАНИЕ

При алфавитном способе двоичного  кодирования символы некоторого первичного алфавита (например, русского) кодируются комбинациями символов двоичного  алфавита (т.е. 0 и 1), причем, длина кодов  и, соответственно, длительность передачи отдельного кода, могут различаться. Оптимизировать кодирование можно за счет суммарной длительности сообщения.

Суммарная длительность сообщения  будет меньше, если применить следующий  подход: чем буква первичного алфавита, встречается чаще, то присваиваем  ей более короткой по длине код. Следовательно, коды букв, вероятность появления  которых в сообщении выше, следует  строить из возможно меньшего числа  элементарных сигналов.

Возможны различные варианты двоичного кодирования, однако, не все  они будут пригодны для практического  использования - важно, чтобы закодированное сообщение могло быть однозначно декодировано, т.е. чтобы в последовательности 0 и 1, которая представляет собой  многобуквенное кодированное сообщение, всегда можно было бы различить обозначения  отдельных букв.

 

15

4.2. НЕРАВНОМЕРНЫЙ  КОД С РАЗДЕЛИТЕЛЯМИ

Для того что бы было проще  декодировать сообщения был придуман код с разделителями.

Проще всего достичь однозначного декодирования, если коды будут разграничены разделителем - некоторой постоянной комбинацией двоичных знаков. Условимся, что разделителем отдельных кодов  букв будет последовательность 00 (признак  конца знака), а разделителем слов - 000 (признак конца слова - пробел). Довольно очевидными оказываются следующие  правила построения кодов:

• код признака конца знака может быть включен в код буквы, поскольку не существует отдельно (т.е. кода всех букв будут заканчиваться 00);
• коды букв не должны содержать двух и более нулей подряд в середине (иначе они будут восприниматься как конец знака);
• код буквы (кроме пробела) всегда должен начинаться с 1;
• разделителю слов (000) всегда предшествует признак конца знака;

При этом реализуется последовательность 00000 (т.е. если в конце кода встречается комбинация ...000 или ...0000, они не воспринимаются как разделитель слов); следовательно, коды букв могут оканчиваться на 0 или 00 (до признака конца знака).

Длительность передачи каждого  отдельного кода 4 очевидно, может быть найдена: ti = ki • τ, где ki - количество элементарных сигналов (бит) в коде символа L.

 

 

 

 

 

 

 

 

16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления  достаточно просто. Особенно просто выполнять  операции сложения, вычитания и умножения. Благодаря этому, применение двоичной системы в вычислительных машинах позволяет упростить схемы устройств, в которых осуществляются операции над числами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Багриновский, К.А. Новые информационные технологии / К.А. Багриновский, Е.Ю. Хрусталев. - М.: ЭКО, 1996. - 229 с.

2. Баронов, В.В. Информационные  технологии и управление предприятием / В.В. Баронов, Г.Н., Калянов, Ю.Н. Попов и др. - М.: Компания Айти, 2004. - 328 с.