Двоичная система счисления

Министерство образования  и науки России

Федеральное государственное  бюджетное образование учреждение

высшего профессионального  образования «Ульяновский государственный

педагогический университет  имени И.Н.Ульянова»

 

 

 

 

 

Юридический факультет

Кафедра гражданского права  и процесса

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информационные технологии

в юридической деятельности»

Тема: «Двоичная система счисления»

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 1 курса

очного отделения

группы ЮР-13-3

Давыдов Александр Сергеевич

 

 

Проверил: ассистент кафедры

гражданского права и процесса

Феоктистов Сергей Юрьевич

 

 

 

 

 

 

 Ульяновск, 2013

2

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………..3-4

Глава 1. История возникновения двоичной системы счисления……………..5-7

Глава 2. Представление двоичных чисел и перевод их в десятичные………….8

Глава 3. Арифметические действия над двоичными числами…………………..9

  3.1. Двоичное сложение……………………………………………………………9

  3.2. Двоичное вычитание………………………………………………...…..10-11

  3.3 Двоичное умножение………………………………………………...……...12

  3.4 Двоичное деление………………………………………………..……….....13

Глава 4. Способы построения двоичных кодов…………………………………. 14

   4.1. Алфавитное неравномерное двоичное кодирование………….………......14

   4.2. Неравномерный код с разделителями…………………………….….…....15

Заключение……………………………………………………………………..…..16

Список используемых источников …………………………………………….....17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

ВВЕДЕНИЕ

Язык чисел, как и обычный  язык, имеет свой алфавит.  В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всем земном шаре, алфавитом служат десять цифр, от 0 до 9.  Этот язык называется  десятичной системой счисления.  Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой.  С точки   зрения число математической она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем  иного характера.

Когда-то  на ранних ступенях развития общества люди почти не умели  считать. Конечно, они отличали совокупности двух и трех предметов; но  всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность  различать друг от друга небольшие  совокупности развивалась , в связи с этим  возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе («семь раз отмерь – один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед – один ответ» и т.д.).

С усложнением хозяйственной  деятельности людей понадобилось вести  счет в более обширных пределах. Для этого человек сначала  стал пользоваться  окружавшими  его предметами, как инструментами  счета: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в  кучки и т.п. Такой вид счета  носит название унарной системы  счисления, т.е. система счисления, в  которой для записи числа применяется  только один вид знаков. Это удобно, так как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые  эти знаки обозначают.

Знакомство с таким  видом счета мы все проходили  в первом классе, когда  считали  там, на счетных палочках.   Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, раз-деленная на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio»

4

(отсюда наше слово  «калькуляция»); а происходит оно  от слова «calculus», означающего «камешек».

Но особо важную роль играл  природный инструмент человека –  его пальцы. Этот инструмент не мог  длительно хранить результат  счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.

Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились  на основе числа 10 – по количеству пальцев  на руках; у некоторых народов  возникали также названия чисел  на основе числа 5 – по количеству пальцев  на одной руке или на основе числа 20 – по количеству пальцев на руках и ногах.

С появлением городов и  каменных сооружений все больше людей  стали заниматься письменностью  и началами математики. Самые сведущие придумали специальные знаки  для записи чисел. Эти знаки, выполняющие  роль цифр, были удобны для чтения, но для их записи требовалось довольно много времени. На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков. На следующей  ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово  «сто» приобретает смысл неопределенно  большого числа. Такой же смысл приобретают  потом последовательно числа  тысяча, десять тысяч (в старину это  число называлось «тьма»), миллион.

На современном этапе  границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает, какое либо конкретное число.

 

 

 

 

 

 

 

5

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ  ВОЗНИКНОВЕНИЯ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ  СЧИСЛЕНИЯ

В современной науке с  развитием компьютерной техники  на первые роли выдвинулась двоичная система счисления, т.е. система с основанием.  Она является «минимальной» системой, в которой полностью реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи чисел. В двоичной системе счисления значение каждой цифры «по месту» при переходе от младшего разряда к старшему увеличивается вдвое.

История развития двоичной системы счисления – одна из ярких  страниц в истории арифметики.  Ее зачатки наблюдаются у многих народов. Например, у древних египтян  широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе удвоения. Изобретение  двоичного способа нумерации  приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Оказывается, к открытию двоичной системы счисления имели отношение многие математики, в частности, Фибоначчи. В своей книге "Liber abaci" он сформулировал "задачу о выборе наилучшей системы весовых гирь для взвешивания грузов на рычажных весах". В русской историко-математической литературе эта задача известна под названием Баше-Менделеева в честь французского математика 17-го века Баше де Мезириака, поместившего ее в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.), и выдающегося русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который к концу жизни стал директором Главной Палаты мер и весов России и интересовался этой задачей по долгу своей службы.

Известно два варианта решения задачи Баше-Менделеева. Первый предполагает, что гири разрешается класть только на одну, свободную от груза чашу весов; при этом оптимальным решением является "двоичная система гирь": 1, 2, 4, 8, 16,   которая при взвешивании "порождает" двоичный способ представления чисел. При втором варианте гири разрешается класть на обе чаши весов; оптимальным решением при этом является "троичная система гирь": 1, 3, 9, 27 , которая при взвешивании "порождает" троичную симметричную систему счисления, которая и была положена Н. П. Брусенцовым в основу троичного компьютера "Сетунь".

Но автор двоичной арифметики в истории науки доподлинно известен: это известный немецкий математик  Лейбниц (1646-1716), который в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Лейбниц  настолько был восхищен

6

своим открытием, что в  его честь выпустил специальную  медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных  чисел - возможно, это был тот редкий случай в истории математики, когда  математическое открытие было удостоено  такой высокой почести.

Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что "вычисление с  помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки  основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными  впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок".

Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через два с  половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, физик и математик  Джон фон Нейман предложил использовать именно двоичную систему счисления  в качестве универсального способа  кодирования информации в электронных  компьютерах ("Принципы Джона фон  Неймана").

Таким образом, как подчеркивают многие выдающиеся математики, открытие вавилонянами позиционного принципа, а затем индусами десятичной системы  счисления, основанной на позиционном  принципе, а также разработку Лейбницем  двоичной арифметики по праву можно  отнести к разряду действительно  эпохальных математических открытий, существенно повлиявших на развитие материальной культуры, в частности, на развитие компьютерной техники.

До начала тридцатых годов XX  века двоичная система счисления  оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании надежных и простых по конструкции  счетных механических устройств  и простота выполнения действий над  двоичными числами привели к  более глубокому и активному  изучению особенностей двоичной системы  как системы, пригодной для аппаратной реализации. Первые двоичные механические вычислительные машины были построены  во Франции и Германии. Утверждение  двоичной арифметики в качестве общепринятой основы при конструировании ЭВМ  с программным управлением состоялось под несомненным влиянием работы А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж. Фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой,

 

7

написанной в 1946 году. В этой работе наиболее аргументированно обоснованы причины отказа от десятичной арифметики и перехода к двоичной системе счисления как основе машинной арифметики.

В двоичной системе счисления  используются только два символа, что  хорошо согласуется с техническими характеристиками цифровых схем. Действительно  очень удобно представлять отдельные  составляющие информации с помощью двух состояний:

• Отверстие есть или отсутствует (перфолента или перфокарта);
• Материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски);
• Уровень сигнала большой или маленький.

Существуют специальные  термины, широко используемые в вычислительной технике: бит, байт и слово.

Битом называют один двоичный разряд. Крайний слева бит числа  называют старшим разрядом (он имеет  наибольший вес), крайний справа –  младшим разрядом (он имеет наименьший вес).

Восьмибитовая единица носит  название байта.

Многие типы ЭВМ и дискретных систем управления перерабатывают информацию порциями (словами) по 8, 16 или 32 бита (1, 2 и 4 байта).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

ГЛАВА 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ  ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ И ПЕРЕВОД ИХ В ДЕСЯТИЧНЫЕ

Совершенно очевидно, что  двоичное число представляется последовательностью  нулей и единиц – разрядов. Как  и в любой позиционной системе, каждому разряду присвоен определенный вес – показатель степени основания  системы.

Для позиционной системы  соответствия между позицией и весом следующее:

... pn pn-1  … p1  p0 ,  p-1   p-2 …

... bn bn-1  … b1  b0 ,  b-1   b-2 …

Веса первых 10 позиций  двоичной системы счисления представлены в таблице:

Позиция	9	8	7	6	5	4	3	2
148	- 74	2
1	74	- 37	2
	0	36	- 18	2
		1	18	- 9	2
			0	8	- 4	2
				1	4	- 2	2
					0	2	- 1	2
						0	0	0
							1