Аппроксимация кривых разгона методом площадей

 

5.3.6. Расчет настройки реальных ПИД  - регуляторов

 

Часто в регуляторах используют реальное дифференцирование, и передаточная функция ПИД - регулятора имеет вид:

 

(95)

 

где Тд=Кф∙Тф, Кф и Тф - коэффициент передачи и постоянная времени сглаживающего фильтра реального дифференциатора. Такую передаточную функцию имеет, например, регулирующий микроконтроллер ПРОТАР. Разница между идеальным (62) и реальным регуляторами уменьшается с уменьшением Тф и увеличением Кф. Однако из-за действия помех, квантование сигнала по уровню в цифровых регуляторах и т.п. величину Кф на практике приходится выбирать относительно небольшой (обычно не более 5 - 8). При этом расчет настройки по идеальной передаточной функции может иметь значительную погрешность.

Преобразуем Wp.p( p ) следующим образом:

 

(96)

 

где  , , .

(97)

 

- передаточная функция сглаживающего  фильтра.

Передаточная функция реального ПИД - регулятора (95) может быть представлена в виде произведения передаточной функции эквивалентного идеализированного ПИД - регулятора на передаточную функцию сглаживающего фильтра.

Расчет оптимальных  параметров настройки эквивалентного идеализированного регулятора при заданной Тф может производиться вышеприведенным способом по передаточной функции эквивалентного объекта Wo(р) Wф(р) [15]. Переход от полученных таким образом оптимальных параметров Кр.э, Ти.э, Тд.э к параметрам реального регулятора осуществляется по формулам, вытекающим из (97).

 

, , .

 

Получаемые по этим формулам параметры будут положительными, если выполняются условия:

 

, .

(98)

 

На практике чаще задается не значение величины Тф, а значение Кф. В этом случае решение находится методом последовательных приближений.

Задавшись начальным значением Тф(0) = 0 по АФХ  объекта Wo(jω) производят расчет оптимальных параметров идеализированного регулятора. Эти параметры могут считаться начальным приближением и оптимальными параметрами идеализированного эквивалентного регулятора Кр.э(0), Ти.э(0), Тд.э(0) в итерационной процедуре поиска оптимальных настроек реального регулятора. На каждом к-ом шаге (к=1, 2, 3…) выполняются следующие расчеты:

- определяется  величина постоянной времени

;

- по  АФХ эквивалентного объекта

определяются  параметры идеализированного эквивалентного регулятора Кр.э(к), Ти.э(к), Тд.э(к);

• по формулам (97) находятся параметры настройки реального регулятора:

 

(99)

 

Проверяется, соответствует ли полученная величина отношения Тд(k)/Тф(k) ее заданному значению Кф. Если соответствует, производится расчет оптимального коэффициента передачи реального регулятора

и итерационная процедура оканчивается; в противном  случае повторяется расчет по формулам (97) - (99) при увеличении на единицу значения k.

 

5.4. Расчет настройки регуляторов в режиме диалога

 

Изложенную  выше процедуру расчета оптимальных  параметров настроек можно запрограммировать и вычислять на ЭВМ. В [13] предложена методика расчета ПИД - регулятора в диалоговом режиме. Обычно при построении АФХ разомкнутой системы управления W(jω) с ПИД - регулятором фиксируется Тд или Тд/Ти. В диалоговом режиме более удобно фиксировать частоту ω_k, при которой W°(jω), соответствующая единственному Кп, пересекается с АФХ объекта Wo(jω), т.е. выполняется условие:

 

.

(100)

 

Соответственно, задавая одну из постоянных времени, например Ти, вторую определим по формуле

 

.

(101)

 

Вид полученного при этом «пучка»  АФХ W°(jω) изображен на рис.29.

Рис.29

 

Изменяя ω_k и Ти, подбирая Ки на основании условия М<Мдоп (Мдоп - допустимое значение М), можно построить границу области требуемого запаса устойчивости, а затем в пределах этой области найти точку, удовлетворяющую критерию (84).

Поиск частоты  , соответствующий «пучку» АФХ, среди которых находится оптимальная АФХ, нужно вести в небольшом диапазоне вокруг частоты ω_γ, при которой происходит пересечение АФХ с лучом ОЕ. Частоту ω_γ можно найти из условия

 

(102)

 

где φ₀(ω_γ) - фазочастотная характеристика объекта.

Для   этой   частоты   начальные   параметры   системы    находятся    из выражений:

 

(103)

 

Оптимальность параметров проверяется вычислением АЧХ  системы. Если резонансный пик АЧХ принял заданное значение, можно попытаться улучшить настройку, повторив расчет для больших ω_рез. Увеличение ω_рез следует производить до тех пор, пока резонансный пик не начнет превышать допустимое значение. При относительно малом запаздывании в объекте резонансный пик |Wo(jω)| «размывается», а при относительно большом запаздывании появляется второй резонансный пик на более высокой частоте. Появление второго пика в АЧХ замкнутой системы нежелательно, т.к. связано с увеличением чувствительности системы к вариациям параметров, ростом значений и скорости перемещений регулирующих органов, усложнением формы переходных процессов.

Если  резонансный пик при ω_рез = ω_γ превышает значение Мдоп, это свидетельствует о необходимости уменьшения ω_рез. Такая ситуация возникает при относительно большом запаздывании в объекте. При очень больших запаздываниях может оказаться, что условие М≤Мдоп невыполнимо, в связи с чем часто вынуждены переходить к разомкнутому управлению.

В качестве примера рассмотрим расчет настройки  ПИД - регулятора для объекта с передаточной функцией

 

.

(104)

 

при τ = 0,1 мин, T₁ = 1 мин, Т₂ = 0.5 мин. Соответствующая АФХ изображена на рис. 30.

Рис.30

 

Подставив в (102) выражение для ФЧХ объекта

,

получим ω_γ =1.518 рад / мин, Мдоп = 1.5475.

Определив, кроме того производную

 

(105)

 

и используя (103), получим  первое приближение к оптимуму настройки Ти=0.837, Тд=0.518, Ки=3.754. Для этого случая АЧХ приведена на рис.31, а переходный процесс при ступенчатом воздействии на рис.32 (под индексом 2). Для ω_рез = 1.83 рад/мин параметры настройки равны Ти = 0,757, Тд = 0,562, Ки = 4,801. (кривая 1 на графиках рис.31). Здесь же приведены кривые для настройки ПИ - регулятора(кривая 3) и для сравнения АЧХ системы при т = 0,4 (кривая 4).

 

Рис.32

 

5.5. Экспериментальный  метод определения настроек регулятора

 

Как видно из ранее изложенного, графо - аналитические методы определения оптимальных значений параметров настроек регулятора довольно трудоемки, и требуют знания переходной функции объекта регулирования, чего зачастую не бывает. Значительно проще экспериментальный метод.

Экспериментальный метод определения параметров настроек регулятора (метод Циглера - Никольса) заключается в создании в замкнутой САР незатухающих колебаний У(t), нахождении их частоты ω_кр и вычислений по приближенным формулам Кр, Ти, Тд. Полученные настройки регулятора в большинстве случаев обеспечивают удовлетворительное качество регулирования выходной координаты У(t).

Для создания автоколебаний ПИД - регулятора преобразуется в П - регулятор (Ти = ∞, Тд = 0) и постепенно увеличивается коэффициент усиления Кр.

При некотором значении Ккр переходный процесс становится незатухающими с периодом Ткр и частотой ω_кр = 2π/Ткр. По известным Ккр и ω_кр вычисляются в первом приближении оптимальные параметры настроек.

Для П -регулятора Кр = 0.5 Ккр.

Для ПИ - регулятора Кр = 0.45∙Ккр, Ти = Ткр/1.2.

Для ПИД - регулятора Кр = 0.6∙Ккр, Ти = Ткр/2, Тд = Ткр/8.

Затем проверяется качество регулирования  и при необходимости корректировка значений настроек регулятора.

Недостатком данного  метода автоматической настройки является прекращение процесса регулирования объекта на время настройки, при этом наблюдается высокая чувствительность к шумам в канале измерения, возникает опасность срыва автоколебаний при действии возмущений. В работе [7] предложена структурная схема (рис.33) адаптивного ПИД - регулятора с настройкой параметров по методу Циглера - Никольса и с частотным разделением каналов управления и самонастройки, что достигается включением двух заграждающих цифровых фильтров в обратную связь контура регулирования.

 

 

Рис.33

 

Основной контур системы состоит из настраиваемого регулятора Р, собственно объекта управления ОУ и двух заграждающих фильтров (основного ЗФО и дополнительного ЗФД). Дополнительный фильтр с помощью переключателя П1 включается лишь на первом этапе, либо периодически для определения требуемых по методу Циглера - Никольса настроек. Блоки синхронного детектирования СД1, СД2 вычисляют установившиеся значения амплитуд Аб, Ао и фаз Фб, Фо пробных составляющих в выходных сигналах основного заграждающего фильтра У₁ и объекта управления У. Отслеживание заданного фазового сдвига Фз осуществляется с помощью блока фазовой автоподстройки частоты БФАЧ. Путем сравнения установившегося значения фазового сдвига Фо с заданным Фз блок корректирует частоты пробных синусоидальных колебаний первого П и второго Г2 генераторов. Причем частота генератора Г2 выбрана вдвое больше частоты генератора П. Вычислительные блоки ВБ1, ВБ2, ВБЗ по командам блока управления БУ проводят вычисление поправочного коэффициента С, параметров настройки регулятора и коэффициентов заграждающих фильтров. В запоминающих устройствах ЗУ1, ЗУ2 хранятся значения коэффициента С и фазового сдвига Фо в объекте управления в момент расчета требуемых настроек. По командам блока управления с помощью переключателей ПЗ, П4, П5, П6 происходит коммутация входных сигналов соответствующих блоков на разных этапах работы системы.

Процесс самонастройки  состоит из двух этапов: двухчастотного, в конце которого вычисляются требуемые настройки и коэффициент С; основного, в котором процесс самонастройки происходит уже на одной повышенной частоте пробных колебаний с одним заграждающим фильтром ЗФО в контуре обратной связи. Именно определение критической частоты и соответствующей амплитуды колебаний для блока ОУ + ЗФО позволяет работать с нужными параметрами настроек на втором этапе. Достигается это с помощью поправочного коэффициента С, устанавливающего связь между требуемыми по методу Циглера -Никольса настройками на первом и втором этапах работы системы.

В [16] предложен алгоритм настройки регулятора в замкнутом контуре путем подачи на вход системы пробного синусоидального сигнала. Изложенный в главе 5.4 метод настройки системы в диалоговом режиме позволяет сформулировать удобные для автоматизированной настройки действующих систем косвенные неэкстремальные критерии. Для объекта с передаточной функцией

 

 

при заранее  зафиксированных значениях параметров р и п эти критерии следующие: [13]

 

(106)

 

а ω_γТ определяется решением уравнения

.

(107)

 

Задача  оптимизации может, например, решаться подачей на систему синусоидальных колебаний с некоторой частотой со при одновременной установке в регуляторе Ти, Тд, Кп, найденных из (106) и изменением со до тех пор, пока фазовый угол и модуль АЧХ разомкнутой системы не достигнут значений γ и . Значения β и n для каждой конкретной системы могут быть уточнены оценкой АФХ системы на двух частотах - ω_γ и близкой к ней.

 

5.6. Расчет параметров настройки  микропроцессорных систем автоматического регулирования

 

Современные системы автоматического регулирования технологических процессов строятся на базе микропроцессорной техники. Их принципиальное отличие от традиционных аналоговых заключается в том, что они являются цифровыми (дискретными). Структура такой системы регулирования изображена на рис. 34.

Рис.34

 

Здесь О- объект регулирования, ЦР - цифровой регулятор, состоящий из квантователя KB, цифрового вычислительного устройства ЦВ, фиксатора Ф; у - регулируемая величина, х - задающее воздействие, μ -регулирующее воздействие, υ - приведенное к выходу возмущающее воздействие, ε - ошибка регулирования, ε(к) - последовательность чисел, определяющих значение ε в моменты квантования К, μ(к) - последовательность чисел, определяющих значения μ в эти моменты.