Временные ряды

Лабораторная работа

Прогнозирование временных рядов

 

Задание 1. По данным о средних доходах на конечное потребление за десять лет, которые представлены в табл. 1, оцените наличие тренда и в случае положительного ответа постройте трендовую модель.

 

Таблица 1

Расходы на конечное потребление, тыс. у.е.

Год (t)	Расходы (yt)
	7
	8
	8
	10
	11
	12
	14
	16
	17
	19

 

Решение. Для формального определения структуры временного ряда проводится автокорреляционный анализ уровней временного ряда. С этой целью рассчитываются коэффициенты автокорреляции уровней временного ряда. Расчет автокорреляционной функции можно осуществлять на компьютере средствами Excel: Анализ данных / Корреляция.

 

На рис. 2 представлены диалоговые окна расчета коэффициентов автокорреляции первого и второго порядков временного ряда yt.

 

Рис. 2. Диалоговые окна расчета коэффициента автокорреляции первого и второго порядков ряда yt

 

На рис. 3 представлены результаты расчетов.

	Столбец 1	Столбец 2			Столбец 1	Столбец 2
Столбец 1	1			Столбец 1	1
Столбец 2	0,986854	1		Столбец 2	0,981221	1

 

Рис. 3. Результаты расчетов коэффициентов автокорреляции.

 

Поскольку коэффициенты автокорреляции первых порядков (r1, r2) являются высокими, можно предположить наличие линейного тренда Т = а + bt.

Определите уравнение линейного тренда. Для этого:

1. Постройте диаграмму по значениям  временного ряда yt. (тип Точечная).

2. Нажмите правой кнопкой мыши  на одной из точек данных  на диаграмме. В открывшемся меню  необходимо выбрать команду Добавить линию тренда. На экране появится диалоговое окно Линия тренда.

 

3. Выберете тип регрессии. Например, линейная.

4. Переключитесь на вкладку Параметры. В разделе Название аппроксимирующей (сглаженной) кривой установите переключатель автоматическое, установите отображение на диаграмме уравнения и величины достоверности аппроксимации.

 

Аналогично постройте линию тренда, в качестве функции выбрать степенную.

 

Замечание: Уравнение линейного тренда можно получить, используя инструмент Регрессия Пакета анализа.

 

Задание 2. Провести сглаживание данных задачи 1 и выполнить прогноз на период t=11.

Скопируйте условие предыдущего примера на Лист 2. (Диапазон A1:B11)

С помощью пакета анализа рассчитайте значения скользящего среднего (инструмент «скользящее среднее»).

Заполните диалог следующим образом:

• входной интервал - $В$2:$В$11,
• интервал - 3,
• выходной интервал -$С$3,
• установите флажок Вывод графика.

Удалите значения равные #Н/Д. Результаты оформите в таблицу с тремя столбцами: t, yt, Прогноз (скользящ.)

Скорректируйте построенный график таким образом, чтобы по оси X были значения t (от 1 до 11), по оси У – значения скользящего среднего. График фактических значений yt должен быть построен для дней, начиная с 1-го по 10-ый, график прогнозируемых значений должен быть построен для дней начиная с 4-го по 11-ый.

С помощью пакета анализа рассчитайте значения экспоненциального сглаживания (инструмент «экспоненциальное сглаживание»).

Заполните диалог следующим образом:

• входной интервал - $В$2:$В$11,
• фактор затухания - 0,25,
• выходной интервал - $D$2,
• установите флажок Вывод графика.

Удалите значения равные #Н/Д.

Продлите значения рассчитанного столбца для получения прогноза на 11-й день. Назовите столбец Прогноз (экспоненц.). Скорректируйте построенный график таким образом, чтобы по оси X были значения дней (от 1 до 11), по оси У – спрогнозированные значения. График фактических значений yt должен быть построен для дней, начиная с 1-го по 10-ый, график прогнозируемых значений должен быть построен для дней начиная с 2-го по 11-ый.

Сформулируйте экономический смысл полученных моделей. Объясните механизм прогнозирования в каждой их них.

 

 

Задание 3. По данным табл. 2 исследуйте структуру временного ряда по квартальным данным потребления электроэнергии за 2011 – 2014 гг. Оцените уровень и структуру потребления электроэнергии в 2015 г.

Таблица 2

Исходные данные

Период	Потребление электроэнергии, млрд. кВт - ч
I кв. 2001 г.	6,0
II кв. 2001 г.	4,4
III кв. 2001 г.	5,0
IV кв. 2001 г.	9,0
I кв. 2002 г.	7,2
II кв. 2002 г.	4,8
III кв. 2002 г.	6,0
IV кв. 2002 г.	10,0
I кв. 2003 г.	8,0
II кв. 2003 г.	5,6
III кв. 2003 г.	6,4
IV кв. 2003 г.	11,0
I кв. 2004 г.	9,0
II кв. 2004 г.	6,6
III кв. 2004 г.	7,0
IV кв. 2004 г.	10,8

 

Решение. В данной задаче в качестве зависимой переменной у выступает потребление электроэнергии, в качестве независимой переменной — время t ( ). Проверим наличие сезонности в ряде yt.

Первоначально изобразите ряд графически. Постройте диаграмму по исходным данным задачи. Тип диаграммы – график с маркерами. Периоды от 1 до 16 использовать в качестве подписи по оси Х.

Попробуйте пообобрать линию тренда на построенном графике.

 

Рис. 4. График потребления электроэнергии за I кв. 2011 г. - IV кв. 2014 г.

 

Из рис. 4 видно, что в IV кв. потребление электроэнергии каждый год возрастает, поэтому есть подозрение на наличие сезонной компоненты в ряде. Визуально также Видно, что амплитуда сезонных колебаний постоянна, что позволяет предположить аддитивную структуру временного ряда у = Т + S + Е.

 

Решение задачи (с расчетом сезонных компонент). Для расчета сезонных компонент воспользуемся методом скользящей средней. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 4). Полученные суммы разделим на длину периода (в нашем случае на 4) и найдем скользящие средние, которые уже не зависят от сезонности (гр. 4 табл. 4). Чтобы привести эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, найдем средние значения из каждых двух соседних скользящих средних (гр. 5 табл. 4). Оценку сезонной компоненты найдем, вычитая из фактического значения уровня ряда у, центрированную скользящую среднюю (гр. 6 табл. 4).

 

Таблица 4

Исходные данные

Номер периода (t)	Потребление электроэнергии (yt)	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	6	-	-	-	-
2	4,4	24,4	6,1	-	-
3	5	25,6	6,4	6,25	-1,25
4	9	26	6,5	6,45	2,55
5	7,2	27	6,75	6,625	0,575
6	4,8	28	7	6,875	-2,075
7	6	28,8	7,2	7,1	-1,1
8	10	29,6	7,4	7,3	2,7
9	8	30	7,5	7,45	0,55
10	5,6	31	7,75	7,625	-2,025
11	6,4	32	8	7,875	-1,475
12	11	33	8,25	8,125	2,875
13	9	33,6	8,4	8,325	0,675
14	6,6	33,4	8,35	8,375	-1,775
15	7	24,4	-	-	-
16	10,8	-	-	-	-

 

На следующем этапе подготовим вторую вспомогательную табл. 5. Занесем в нее оценки сезонных компонент, распределив их по кварталам. За каждый квартал найдем среднюю оценку сезонной компоненты. Например, для I кв. = (0,575 + 0,55 + 0,675) / 3 = 0,6.

Сезонные воздействия за период должны взаимно погашаться. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма всех сезонных компонент за период должна быть равна нулю. Рассчитаем корректирующий коэффициент по формуле , где п — длина периода.

Для нашего примера k = (0,6 - 1,958 - 1,275 + 2,708) / 4 = 0,01875.

Скорректированные значения сезонной компоненты рассчитываем как разность между средним значением сезонной компоненты и корректирующим коэффициентом , (табл. 5).

Таблица 5

Квартал	Год				Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала ( )	Скорректированная сезонная компонента ( )
	2001	2002	2003	2004
I	-	0,575	0,55	0,675	0,6	0,6
II	-	-2,075	-2,025	-1,775	-1,95833	-2,0
III	-1,25	-1,1	-1,475	-	-1,275	-1,3
IV	2,55	2,7	2,875	-	2,708333	2,7
Корректирующий коэффициент					0,01875

Элиминируем сезонную компоненту из исходного ряда, т.е. рассчитаем у - S. С этой целью заполним рабочую табл. 6.:

Таблица 6

Номер периода (t)	Исходный ряд (y)	Сезонная компонента (S)	Преобразованный ряд (у -S)
1-й	6,0	0,6	5,4
2-й	4,4	-2,0	6,4
3-й	5,0	-1,3	6,3
4-й	9,0	2,7	6,3
5-й	7,2	0,6	6,6
6-й	4,8	-2,0	6,8
7-й	6,0	1,3	7,3
8-й	10,0	2,7	7,3
9-й	8,0	0,6	7,4
10-й	5,6	-2,0	7,6
11-й	6,4	-1,3	7,7
12-й	11,0	2,7	8,3
13-й	9,0	0,6	8,4
14-й	6,6	-2,0	8,6
15-й	7,0	-1,3	8,3
16-й	10,8	2,7	8,1