Вероятностная постановка принятия предпочтительных решений в условиях экономического риска

Московский  гуманитарно-экономический институт

Чувашский филиал 
 

Факультет: Экономики  и управления

Дисциплина: Математика  
 
 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ 

На тему: Вероятностная постановка принятия предпочтительных решений в условиях экономического риска 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                           Выполнила студентка:

                                                                           IІ курса гр. 12ФЭС – 5/07Д

                                                                           Никитина Олеся 

                                                                           Руководитель:

                                                                           Светлова Н. И. 
 
 
 
 

      Чебоксары 2009

Вероятностная постановка принятия предпочтительных решений.

       Риск — категория вероятностная, поэтому в процессе оценки неопределенности и количественного определения риска используют вероятностные расчеты.

       Вероятностные задачи характеризуются тем, что эффективность принимаемых решений зависит не только от детерминированных факторов, но и от вероятностей их появления, т.е. известен закон распределения управляемых факторов X в виде:

где Р_i есть вероятность появления управляемого фактора х_i, i = .

       Каждой паре (х_i, P_i) соответствует значение функции эффективности E(x_i, P_i). В качестве показателей эффективности могут выступать математическое ожидание Е, дисперсия D среднее квадратическое отклонение и другие вероятностные характеристики.

Е = Σx_ip_i, D = σ² =Σ(х_i-E)² • Р_i= ~(E)²,V = ± •100%  (1)

где -среднее ожидаемое значение квадрата рассматриваемой величины.

       Средняя величина Е представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принять решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

       Среднее квадратическое отклонение σ является именованной величиной и указывается в тех же единицах, в каких измеряется варьирующий признак. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мерами абсолютной колеблемости.

       Дисперсия не дает полной картины линейных уклонений ∆Х = X - Е, более наглядных для оценивания рисков. Тем не менее, задание дисперсии позволяет установить связь между линейным и квадратичными отклонениями с помощью известного неравенства Чебышева.

       Вероятность Р того, что случайная величина X отклоняется от своего математического ожидания больше, чем на заданный допуск ε > 0, не превосходит ее дисперсии, деленной на ε², т.е.

       Р(\Х-Е\>ε)

       Отсюда видно, что незначительному риску по среднеквадратическому отклонению соответствует малый риск и по линейным отклонениям: точки X с большой вероятностью будут располагаться внутри ε — окрестности ожидаемого значения Е.

       Все более признанным становится оценка рискованности посредством среднего квадратического отклонения σ.

       Итак, будем считать, что риском операции называется число σ — среднее квадратическое отклонение управляемого фактора (например, дохода) X операции, которое обозначим r = σ.

       Если, например, под X понимать случайный доход Q, то E_q представляет собой средний ожидаемый доход, или эффективность, а среднее квадратическое отклонение σ_Q является оценкой рискованности, риском и обозначается r_Q.

       Коэффициент вариации V — безразмерная величина. С его помощью можно сравнивать даже колеблемость признаков, выраженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации изменяется от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Установлена следующая качественная оценка различных значений коэффициента вариации: до 10% — слабая колеблемость, 10—25% — умеренная колеблемость, свыше 25% — высокая колеблемость.

       С помощью этого метода оценки риска, т.е. на основе расчета дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента вариации можно оценить риск не только конкретной сделки, но и предпринимательской фирмы в целом (проанализировав динамику ее доходов) за некоторый промежуток времени.

       Преимуществом данного метода оценки предпринимательского риска является несложность математических расчетов, а явным недостатком — необходимость большого числа исходных данных (чем больше массив, тем достовернее оценка риска). Рассмотрим  данный метод на конкретном примере. Сравним по риску вложения в акции трех типов А, В, С, если каждая из них по своему откликается на возможные рыночные ситуации, достигая   известными вероятностями определенных значений доходности.

 

       По формулам (1) находим для акции А:

                       Е_А =20 • 0,5 + 10 • 0,5 = 15%,

   D_A = (20 - 15)² • 0,5 + (10 - 15)² • 0,5 = 25,

   σ_А =

= 5%,

   V_A =

• 100% = • 100% = 33,3%;

для акции В:

Е_В=15,1 • 0,99 + 5,1 • 0,01 = 15%,

D_B = (15,1 - 15)² • 0,99 + (5,1 - 15)² • 0,01 = 0,99,

σ_В =0,995%,

V_B=

•100% = 6,63%; 

для акции С:

Е_С=13•0,7 + 7•0,3 = 11,2%,

D_С = (13 - 11,2)² • 0,7 + (7 - 11,2)² • 0,3 = 7,56,

σ_С =2,75%,

V_С =

•100% = 24,6%

       Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтительны, тем более, что и σ_В = r_B = 0,995% наименьшее.

       Особый вариант риска связан с разорением. Так называется вероятность столь больших потерь (х < Е), которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению.

       Пример 1. Пусть случайный доход операции О имеет следующий ряд распределения:

       

        

       О: 
 

и потери 30 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, вероятность возникновения риска разорения в результате данной операции равна 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.

       Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают (в конце концов, вероятность разорения отлична от нуля почти в любой сделке – из-за весьма маловероятных катастрофических событий на финансовых рынках, в масштабах государства, из-за природных явлений и. т. п.).

       Определим вероятностную меру разорения,  приписывая ей вероятность осуществления подобного события. 

       Пример 2. Предположим, что на рынке могут возникнуть только два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности задаются в таблице.

 

       Ожидаемые доходности акций:

       Е_А = 6 • 0,3 + 2 • 0,7 = 3,2%,

       Е_В = -1 • 0,2 + 4,25 • 0,8 = 3,2 %

значения совпадают, а дисперсии Квадратичные характеристики рисков) равны:

       D_A = (6 – 3,2)² • 0,3 + (2 – 3,2)² • 0,7 = 3,35,

       σ_А = r_A = 1,83

       D_B = (-1 - 3,2)² • 0,2 + (4,25 - 3,2)² • 0,8 = 3,14

       σ_В = r_B = 1,85

       Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожидаемой доходности по акциям, которые будут приобретены на заемные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.

       Однако, если инвестор вложил деньги в акции А, то при исходе 1 он выиграет (6 - 2,5) = 3,5%, а при исходе 2 проиграет (2 - 2,5) = - 0,5%, причем с вероятностью Р₂ = 0,7. Напротив, если он вложит деньги в актив В, то разорение ему грозит с вероятностью Р₁ = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет (- 1 - 2,5) = - 3,5%.

       Подсчитаем ожидаемые потери (П) при покупке акций А и В соответственно: П_А = 0,5 • 0,7 = 0,35, П_В = 3,5 • 0,2 = 0,7.

       Как видим, в первом случае они меньше. Зато риски разорения, оцениваемые через вероятность наступления события, наоборот, при приобретении акций А будут больше (0,7 > 0,2). Это превышение возможности банкротства должно отпугивать осторожного вкладчика, который к тому же «играет» на заемном капитале, от акции А в пользу бумаг В.