Сущность предельных показателей в микроэкономике

Оглавление

Введение ...................................................................................................................................2 стр.

Глава 1. Математический анализ .......................................................................................... 3 стр.

1.1 Понятие предела ................................................................................................................3 стр.

1.2 Предел последовательности .............................................................................................3 стр.

1.3 Предел функции ................................................................................................................ 4 стр.

Глава 2.  Сущность предельных показателей  в микроэкономике .......................................7 стр.

2.1 Понятие термина "предельный" в микроэкономике ......................................................7 стр.

2.2 Предельный анализ ........................................................................................................... 7 стр.

2.3 Предельные издержки .......................................................................................................8 стр.

2.4 Эластичность ..................................................................................................................... 9 стр.

2.5 Нахождение предельных показателей  в микроэкономике ..........................................11 стр.

Заключение ............................................................................................................................ 15 стр.

Список использованной литературы ...................................................................................16 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.                                                                                                                      

 

Экономику традиционно относят  к гуманитарным дисциплинам, так  как предмет её изучения – хозяйственная  деятельность человека, направленная на создание товаров и услуг, удовлетворяющих  его потребности; формы организации  этой деятельности; отношения между  хозяйствующими субъектами и многое другое. В то же время эта наука  оперирует преимущественно количественно  измеряемыми величинами – экономическими показателями и величинами (ВВП, коэффициент  инфляции, цена, выручка и т.п.), расчетными формулами (TR=P*Q, MR=(TR)¢ и др.) и экономическими законами. На сегодняшний день около 85% экономических статей и программ основываются на использовании математических методов. Поэтому можно утверждать, что современная экономика больше относится к точным наукам.                                                               

 

Математика и экономика  связаны  между собой уже тысячелетия. Само появление чисел, их названий и  обозначений  систем и способов счета  было обусловлено, прежде всего, потребностями  экономической сферы общественной жизни. И, с течением времени, связи  между математической и экономической  науками только укрепляются.

Математические методы являются важнейшим  инструментом анализа экономических  явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих  отобразить существующие связи в  экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов  и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной  экономической теории, одинаково  понятным для учёных всех стран мира.

Математика как основа теории принятия решений широко применяется для  управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами  и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития РФ, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе  ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т. д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный  анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т. д.

Как мы видим, математика и экономика  очень тесно взаимосвязаны между  собой. Цель этой работы рассмотреть  предельные показатели в микроэкономике, показать связь между вычислением  этих показателей и математическими  методами (в частности, вычисление предела) для этого мы:

1) Дадим понятие математического  предела и рассмотрим его виды.

2) Рассмотрим, какими могут быть  предельные экономические показатели, и как математически их можно  вычислить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1.  Математический предел.

 

1.1 Понятие предела

 

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Краткие определения этих двух пределов выглядят так:

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Предел функции - Функция   имеет предел   в точке  , если для всех значений  , достаточно близких к  , значение   близко к  .

Теперь рассмотрим эти  пределы более подробно.

 

1.2 Предел последовательности.

 

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно.

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки  (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.

 

 

 

Определение предела посоедовательности

Пусть дано топологическое пространство  и последовательность   Тогда, если существует элемент   такой, что

,

где   — открытое множество, содержащее  , то он называется пределом последовательности  . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент   такой, что

,

где   — метрика, то   называется пределом  .

 

1.3 Предел функции.

 

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной  вещественной прямой можно построить  базу окрестностей бесконечно удалённой  точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а  также описание ситуации, когда функция  сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет  пример сходимости по базе «стремление  аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для  любого заранее заданного значения области значений и всякой его  окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке  области определения функции  существует предел и этот предел равен  значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

 

Определения предела функции

Рассмотрим функцию   , определённую на некотором множестве  , которое имеет предельную точку   (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции  по Гейне

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой последовательности точек  , сходящейся к  , но не содержащей   в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности   ), последовательность значений функции   сходится к  .

Предел функции  по Коши

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любого наперёд взятого положительного числа   найдётся отвечающее ему положительное число   такое, что для всех аргументов  , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  .

Окрестностное определение  по Коши

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой окрестности   точки   существует выколотая окрестность   точки   такая, что образ этой окрестности   лежит в  .

Предел по базе множеств

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть   — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

• число   называется пределом функции по (при) базе  , если для всякого   найдётся такой элемент   базы, что для любого   выполнено  .

Если   — предельная точка множества  , то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве   не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке  . Эта база имеет специальное обозначение « » и читается «при  , стремящемся к   по множеству  ». Если область определения функции   совпадает с  , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто « » и читается «при  , стремящемся к  ».

При рассмотрении только числовых функций  вещественного переменного также  рассматриваются и базы односторонних  окрестностей. Для этого рассматриваются  два множества:

• , где  ;
• , где  .

Соответственно этому вводятся две базы:

• « », которая коротко обозначается в виде « » или ещё проще « »;
• « », которая коротко обозначается в виде « » или ещё проще « ».

Примечание: Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.^[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.  Сущность предельных показателей  в микроэкономике.

2.1 Понятие термина  "предельный" в микроэкономике.

 

Прежде всего данный термин связан с математическим определением "предела", который был введён для учёта очень малых изменений. И вот анализ хозяйственной деятельности как раз показывает, что мы принимаем  решения в таком пределе.

Предельной величиной  является изменение одного показателя в результате увеличения другого  на единицу.

То есть если у нас трое рабочих изготавливают 150 деталей, то наняв к ним четвёртого, мы сможем получить 210 деталей. Один новый рабочий  обеспечил прирост на 60 штук. Это  и есть дополнительная, предельная величина.