Статистика, основные поняти

4. Средние  величины в экономическом анализе

Если совокупность величин состоит из множества  единиц какого либо свойства, то средняя, отвлекаясь от их индивидуальных различий, характеризует то общее, типичное, что  присуще всей совокупности в целом.

В средней величине компенсируется, погашаются случайные  отклонения, присущие индивидуальным значениям, отражаются те общие свойства, под влиянием которых формировалась  вся совокупность. В этом проявляется  в самом общем виде закон больших  чисел. Сам закон больших чисел  состоит в постоянном погашении  элемента случайности в сводных  характеристиках совокупности по мере увеличения ее численности.

Вместе с тем, средняя величина, являясь обобщенной характеристикой совокупности в  целом, не изменяет конкретных индивидуальных величин.

Средние величины имеют  следующие виды: средняя арифметическая, средняя геометрическая, другие средние  величины.

Средняя арифметическая величина представляет собой самый  распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается  именно средняя арифметическая.

Чтобы рассчитать среднюю  арифметическую, складывают величины всех вариантов и делят эту  сумму на общее число единиц. Пусть, например, в бригаде насчитывается 5 рабочих имеющих различный возраст - 50 лет, 46 лет, 58 лет, 42 года, 44 года. Надо определить средний возраст работника  данной бригады. Для этого суммируются  все варианты возраста рабочих и  делят на общее число единиц, т.е. 5 - численный состав самой бригады.

В общем виде, если имеется n вариантов

х1,х2... хn,...

то средняя

где -  средняя арифметическая,  
Хi - варианты,  
n - число единиц.  

формула простой  средней арифметической.

Средняя величина в  нашем примере характеризует  средний возраст членов данной бригады, который составляет 48 лет.

Если перед нами встанет вопрос об определении среднего возраста рабочих другой бригады  в составе 10 человек, с набором  рабочих тех же возрастов, что  и в предыдущей, но с тем отличием, что в этой бригаде рабочих  в возрасте 42 года было 6 человек  тогда средняя арифметическая получит  общий вид средней взвешенной величины в таком выражении

т.е. около 45 лет  будет средний возраст работников данной бригады. "Омоложение" состава  данной бригады объясняется тем, что удельный вес лиц в возрасте 42 лет оказался выше других вариантов  возраста членов бригады.

Легко заметить, что средняя арифметическая взвешенная не имеет принципиальных отличий от простой средней арифметической, просто суммированием одного из повторяющихся  вариантов, заменив его на частоту  повторения данного вариантов (6 х 42) в нашем примере.

Естественно, что  при этом величина средней зависит  уже от соотношения их весов. Чем  больше веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней  и наоборот.

Например, общественно  необходимое рабочее время, как  средняя величина затрат на производство товара, определяет величину стоимости  товара. Но это вовсе не значит, что  если на одних предприятиях затрачивается 1 час труда, на других - 2 часа и на третьих - 3 часа, общественная стоимость  товара определяется путем сложения указанных индивидуальных затрат (1+2+3) и деления их на три (6 : 3=2).

При определении  общественно необходимого рабочего времени необходимо учитывать удельный вес различных категорий предприятий  во всем общественном производстве. Представим предыдущий пример с использованием весов, в % чтобы определить средневзвешенную величину общественно необходимого времени затрат на производство соответствующего товара. Двадцать процентов производителей имели затраты 1 час, 15% соответственно имели затраты 2 часа, и 65% предприятий  имели затраты в 3 часа.

Средняя взвешенная величина (общественно необходимое  рабочее время) определяется следующим  образом:

Кроме средней арифметической величины существует средняя гармоническая, которая определяется на основе показателей, обратно пропорционального содержания. Например, производительность труда  можно выразить в натуральных  показателях выработки продукции  в штуках или наоборот, в показателях  времени, затраченного на единицу произведенной  продукции.

На основе указанных  выше показателях производительности труда можно определить среднюю  выработку (производительность труда) в штуках или в часах, минутах, затраченных на выполнение работы в  течение смены. Тоже можно сказать  о выполнении в процентах дневного задания отдельного цеха и в целом  предприятия. Например, предприятия  А, В, С произвели продукции на 102%, 104%, 98%. Средняя арифметическая величина, полученная на основе сложения указанных  величин и деления на 3, объективно не будет соответствовать состоянию  дел. В этом случае необходимо использовать среднегармоническую величину. Средний  процент выполнения плана по трём предприятиям составит по нашему примеру  следующий вид

вместо

Наряду с рассмотренными выше различными средними величинами существуют еще и средняя геометрическая величина, которая высчитывается  путем извлечения корня степени  n из произведения отдельных значений признака

Г - средняя геометрическая;

L1, Ln - значение признака.

Основная область  применения этого вида средней - это  исчисление средних темпов роста  показателей за различные промежутки времени.

Например, выпуск продукции  предприятия в течение последовательных четырех лет составил 500, 650, 780 и 920 тыс. руб. Средний темп роста выпуска  продукции за четырехлетие составит

Подобный способ исчисления среднего за период темпа  роста означает линейное выравнивание динамического ряда.

 

5. Мода  и медиана как разновидность  средних величин в вариационных  рядах

Средние величины, о которых шла речь в данной главе, является своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что  присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что  величина средней не имеет равенства  ни с одним из конкретных вариантов  встречающихся в рассматриваемой  совокупности вариантов.

Например, среднее  число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе исчисления соответствующей  совокупности данных, ничего общего с  конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в  данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое  центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты.

Кроме рассмотренных  средних, когда определяется некая  абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов  имеющихся в рассматриваемой  совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном  ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.

Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо.

Мода как величина в дискритном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей.

Распределение числа  мужчин по размеру используемой обуви

Таблица 2

Размер обуви	Число мужчин старше 16 лет % к итогу	Накопление частности
До 37	1	1
38	5	6
39	12	18
40	23	41
41	28	69
42	21	90
43	8	98
44	2	100
и более	-
Всего	100

В распределении  мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41, т.е. модой является 41-й размер обуви.

Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных  вариантов рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным  вариантом будет находиться в  центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100 : 2 = 50.

Затем по накопленным  частотам определяем величину 50-го члена  ряда. В нашем примере он будет  находиться между 41 и 69 накопленной  частности (см. 3-ий столбец таблицы 2), 50-ый член ряда имеет величину 41, т.е. Ме = 41-му размеру обуви.

В практике мода и  медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого  продукта, т.е. определяют моду цены. Тем  не менее наилучшей характеристикой  величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, о которых было сказано  раньше, главное из которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих  практических задач.

6. Ряды  динамики

Динамическими рядами принято называть числовые показатели представленные в виде статистического  ряда, характеризующего изменение (развитие) социально-экономических и других явлений в движении, времени и  пространстве. Например, данные о развитии производства различных товаров, услуг  в различных отраслях народного  хозяйства по годам.

Динамические ряды, представляя развитие изменения  в состоянии изучаемого явления, могут характеризовать прогрессивные  или регрессивные направления движения изучаемого предмета (объем производства, уровень цен, рождаемость, смертность и т.д.).

Числовые значения того или иного статистического  показателя, составляющие динамический ряд называется уровнями ряда.

Уровни динамического  ряда могут характеризовать величину явлений за некоторый отрезок  времени или на определенную дату. В первом случае динамический ряд  называется интервальным, во втором - моментным. Анализ данных динамических рядов состоит  в определении скорости, интенсивности (насыщенности, напряженности) рассматриваемого в них явлений, нахождении основных тенденций его развития.

Следующая таблица  дает представление о содержании динамического ряда

Таблица 3

	1940	1960	1970	1980	1985	1986
Все денежные накопления	14,3	65,2	139,7	232,0	295,5	301,0

Источник: Народное хозяйство СССР за 70 лет. Москва. "Финансы  и статистика" 1987, с. 620.

Каждое число  денежных накоплений представленных в  таблице характеризует уровень  наполнения денежных накоплений на определенный момент, имея в виду указанный год. А поскольку эти уровни представлены в динамическом ряду с 20, 10, 5 и 1 год (85 - 86 гг.) динамический ряд является интервальным и моментным, имея в виду год на котором фиксируется уровень  денежных накоплений в стране.

В зависимости от вида показателей уровней ряда сами динамические ряды обычно подразделяются на ряды абсолютных, относительных  и средних величин (показателей  характеризующих различные виды средних).

Для анализа динамических рядов определяются статистические показатели: абсолютного прироста значения уровня динамического ряда, темпа  роста и прироста, средние уровни ряда, средние величины абсолютного  прироста и т.д.

Например, абсолютный прирост денежных накоплений в народном хозяйстве за период с 1940 г. по 1986 г. составит разность между числовыми  значениями уровня накоплений указанных  лет, т.е. 301,0 - 14,3 = 286,7 млрд. руб. Абсолютный прирост денежных накоплений за 1940 - 1960 гг. составил разность чисел 65 - 14,3 = 50,7.

Таким же образом  можно вычислить абсолютный прирост  денежных накоплений между любыми интервалами  представленной таблицы.

Темп роста определяется путем сопоставления величины денежных накоплений различных лет, которые  представляют для нас научный  или практический интерес. Он может  выражаться в относительных величинах  или процентных соотношениях.

В нашем  примере темп прироста денежных накоплений за 20 лет с 1940 по 1960 год составлял 16/14,3 = 4,54 или 454%.

Таким же образом  происходит вычисление темпа прироста, средний рост и прирост уровня динамического ряда

7. Индексы

Ранее шла о динамических рядах, в рамках которых был рассмотрен вопрос о темпах роста статистических показателей, отражающих определенные социально-экономические явления. Относительные  величины получаемые путем сравнения  одноименных показателей во времени  в практике экономических исследований и сравнений, часто называют индексами, индексами также называют относительные  величины, характеризующие соотношения  показателей в пространстве, времени  или темпах изменений экономических  показателей, которые представляют практический интерес.

С помощью индексов можно определить количественные изменения  самых различных показателей  функционирования народного хозяйства, развития социально-экономических  процессов и т.п.