Шпаргалка по "Эконометрике"

Воп. 31

На этом этапе исследования определяются параметры различных  видов аппроксимирующих функций. Наиболее распространенными методами оценки параметров аппроксимирующих зависимостей являются метод наименьших квадратов (МНК) и его модификации, метод  экспоненциального сглаживания, метод  вероятностного моделирования, метод  адаптивного сглаживания. 
Рассмотрим для примера МНК и метод экспоненциального сглаживания. 
Метод наименьших квадратов состоит в определении парамет-ров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда: 
S=1 (у і - у і)2 -> min, (6.31) 
/=і 
где у і — расчетные (теоретические) значения исходного ряда; 
у і — фактические значения исходного ряда; 
п — число наблюдений. 
Классический метод наименьших квадратов предполагает равноценность исходной информации в модели. В реальной же практике будущее поведение процесса в большей степени определяется поздними наблюдениями, чем ранними. Речь идет о дисконтировании, т. е. уменьшении ценности более ранней информации. 
Дисконтирование учитывают путем введения в модель (6.31) некоторых весов Р/ < 1. Тогда 
/=1 
Коэффициенты Р/ могут быть заданы в числовой форме или в виде функциональной зависимости таким образом, чтобы по мере продвижения в прошлое веса убывали. 
Метод наименьших квадратов широко применяется при прогнозировании, что объясняется его простотой и легкостью реализации на ЭВМ. К недостаткам МНК можно отнести следующее. 
Во-первых, модель тренда жестко фиксируется, и с помощью МНК можно получить прогноз на небольшой период упреждения. Поэтому МНК относят к методам краткосрочного прогнозирования. 
Во-вторых, значительную трудность представляет правильный выбор вида модели, а также обоснование и выбор весов во взвешенном методе наименьших квадратов. 
Наконец, МНК очень просто реализуется только для линейных и линеаризуемых зависимостей, когда для получения оценок коэффициентов моделей решается система линейных уравнений. Задача значительно усложняется, если для прогноза используется функци-ональная зависимость, не сводимая к линейной. 
Метод экспоненциального сглаживания является эффективным и надежным методом среднесрочного прогнозирования. 
Здесь следует остановиться более подробно на учете важности ретроспективной информации. 
Практически большее значение для построения прогноза имеет информация, описывающая процесс в моменты времени, стоящие ближе к настоящему (нулевому) моменту времени. Чем дальше мы углубляемся в ретроспекцию, тем менее ценной для прогно- за становится информация. Это можно учесть, придавая членам исходного динамического ряда некоторые веса, тем большие, чем ближе находится точка к началу периода прогноза. 
Это положение лежит в основе метода экспоненциального сгла-живания. Сущность метода заключается в сглаживании исходного динамического ряда взвешенной скользящей средней, веса которой (со,) подчиняются экспоненциальному закону (рис. 6.1).

Пусть исходный динамический ряд описывается полиномом следующего вида: 
2! pi j=o Jl 
где Z>o> ^і» —> bp - коэффициенты; p — порядок полинома; 
є, — случайная ошибка. 
Метод экспоненциального сглаживания позволяет построить такое описание процесса (6.32), при котором более поздним наблюдениям придаются большие веса по сравнению с ранними наблюдениями, причем веса наблюдений убывают по экспоненте. 
Slk\y) = a%(l-ayslk_?\y) (6.33) 
/=0 
называется экспоненциальной средней k-го порядка для ряда уи где а - параметр сглаживания. 
В расчетах экспоненциальную среднюю определяют, пользуясь рекуррентной формулой, полученной Брауном: 
St[k](y) = a if"11 (у) + (1 - a)S,Jf](y). (6.34) 
Использование соотношения (6.34) предполагает задание начальных условий 50t2J, которые могут быть определены по формуле Брауна—Мейера: 
sP(y)= І ? j>{І-а^-^Д (6.35) 
р=О Р! (л-1)! У=О 
где /7 = 1,2, ..., л + 1; 
b — оценки коэффициентов. 
Оценки коэффициентов прогнозирующего полинома определяют через экспоненциальные средние по фундаментальной теореме Брауна—Мейера. В этом случае коэффициенты bj находят решением системы (р — I) уравнений с (р + 1) неизвестными, связывающей параметры полинома с исходной информацией. 
Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания для двух наиболее употребительных случаев, когда тренд опи-сывается линейной функцией и параболой. Линейная модель Брауна 
yt = b0 + bxt + є,. (6.36) 
Начальные приближения для случая линейного тренда равны (по формуле (6.35)): 
экспоненциальная средняя 1-го порядка: 
экспоненциальная средняя 2-го порядка: 
Зная начальные условия So'1' и и значение параметра а, вычисляют экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядка: 
S,w(y) = су, + (1 - СО^ДЧОО; (6.39) 
5,[210') = а.?/11 + (1 - cOS^Cy). (6.40) 
Оценки коэффициентов линейного тренда: 
Ь0 = 25/400 - S,l2i 
(6.42) 
А А 
Прогноз на 1 шагов (на время tx) равен: yt = b0 + Ьх • /. Ошибка прогноза 
(6.43) 
a = аЄ/а ^ [l+4(1 - а) + 5(1 - а)2 + 2а(4 - За)/, + 2а2/,2 
Параболический тренд 
^(У)^—^ ^ (6-45) 
Начальные приближения 
a 2a 
СІ21/.Л а 2(1-а) (1-а)(3-2а) 
а 2а 
•^^¦за^^о-^-за) (647) 
а 2а 
Экспоненциальные средние 
= цу, + (1 - aJ^J/'C); (6.48) 
•S^OO = aS/11 С) + (1 - а^ОО; (6.49) 
5/31(у) = aS,[2] (у) + (1 - а)^.1!31^). (6.50) 
Оценки коэффициентов параболической зависимости для тренда 
b0 = 3[5/"(у) - 5,[2!(у)] + S,[310); (6.51) 
bi =-^Г(6-5а)^1,(у)-2(5-4а)5'Р(у)+(4-За)6,Р(у)1; (6.52) (l-arL J 
^ + (6.53) Прогноз на момент 
y^k+ke+fol (6'54) 
Ошибка прогноза 
G*y - oEj д/га + ЗаЧза3/!. (6-55) 
Для метода экспоненциального сглаживания основным и наиболее трудным моментом является выбор параметра сглаживания а, начальных условий и степени прогнозирующего полинома.

Параметр сглаживания  а определяет оценки коэффициентов  модели, а следовательно, результаты прогноза. 
В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по- разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше а, тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий убывает быстро. При малом а прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более ранней информации происходит медленно. 
Для приближенной оценки а известны два основных соотношения: 
• соотношение Брауна, выведенное из условия равенства скользящей и экспоненциальной средней 
где N — число точек ряда, для которых динамика ряда считается однородной и устойчивой (число точек в интервале сглаживания). 
2 
Иногда а = —где п — число наблюдений (точек) в ретро- п +1 
спективном динамическом ряду; 
соотношение Мейера 
а=—, (6.57) 
где ап — средняя квадратическая ошибка модели; 
ае — средняя квадратическая ошибка исходного ряда. 
Однако достоверно определить оп и аЕ из исходной информации очень сложно, поэтому использование соотношения (6.57) затруднено. 
Очевидно, что выбор параметра а нужно связывать с точностью прогноза, поэтому для более обоснованного выбора а можно использовать процедуру обобщенного сглаживания. 
В этом случае получаются следующие соотношения, связывающие дисперсию прогноза о\ и параметр сглаживания а: для линейной модели 
а 
а? = 
" (1-Р)2 
(6.58) 
1 + 4(3+5(32 + 2а(1 + 3(3)т + 2а V 
для квадратичной модели 
а2?т = [2а + За3 + За2т]ае2, (6.59) 
где Р = 1 - а; 
т — период прогноза; 
ое — средняя квадратическая ошибка аппроксимации исходного динамического ряда. 
При а = 0 выражения, стоящие в правых частях формул (6.58), (6.59), обращаются в нуль, следовательно, для уменьшения ошибки прогноза необходимо выбирать минимальное а. 
В то же время, чем меньше а, тем ниже точность определения начальных условий, а следовательно, ухудшается и качество прогноза. 
Таким образом, использование формул (6.58), (6.59) приводит к противоречию при определении параметра сглаживания. В ряде случаев параметр а выбирают так, чтобы минимизировать ошибку прогноза, рассчитанного по ретроспективной информации. 
Качество прогноза во многом зависит от выбора порядка прогнозирующего полинома. Известно, что превышение второго порядка модели не приводит к существенному увеличению точности прогноза, но значительно усложняет расчет. 
Отметим в заключение, что метод экспоненциального сглажи-вания является одним из наиболее эффективных, надежных и ши- 
роко применяемых методов прогнозирования. Он позволяет получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уро-вень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения, и при этом отличается простотой вычислительных операций. 
Пример 6.5. Пусть задан временной ряду,: Год 1997 1998 1999 2000 t 1 2 3 4 У/ 40 43 46 48  
Можно считать, что аппроксимирующая функция (тренд) описывается линейной функцией (рис. 6.2). 
Таблица 6.3 
Расчетная таблица 
Факти Расчетные значения Год Период, t ческое значение У, /2 У = 37,5 + + 2,7 • / АУ =У-Уг 1997  
3 1 2 
40 43 46 48 1 4 9 16 40 86 138 192 40,2 42,9 45,6-48,3 0,2 -0,1 -0,4 0,3 Итого 10 177 30 456 - -  
1. Определим коэффициенты прямой у = а0 + а^ по методу наименьших квадратов. Для этого вычислим ряд промежуточных значений и их суммы. Результаты занесем в табл. 6.3. Далее найдем 
А) = п It і 4 10 2'І S/,2 10 30 = 120-100 = 20; 
ІУі Itj 
Ем- It? 
Z>2 = 
И 2', 4 177 2// 10 456 = 54; 
177 10 456 30 
А = 
= 750; 
«о 
A> 20 
D2 54 
D0 20 
Окончательно уравнение прямой имеет вид у = 37,5 + 2,7/. 
Подставив в него значения t = 1, 2, 3, 4, получим расчетные значения тренда (табл. 6.3). Основная ошибка 
а = 
= 0,4. 
N +1 4 + 1 
4"= 37,5-^^-2,7 = 33,45; 
3. Начальные условия 
сИ >0 
л /0.22 +(-0,1)2 + (-0,4)2 + 0,32 a, =J =0,3. 
=37,5-^^.2,7 = 29,4. 
4. Для t = 2 вычислим экспоненциальные средние: Jjin = 0,4 • 40 + 0,6 • 33,45 = 36; Яг12' = 0,4 • 36 + 0,6 • 29,4 = 32; значения коэффициентов: 
а0 = 2 • 36 - 32 = 40, 
«і=Г^ї(36-32) = 2,6; 
прогнозируемые значения: 
у\ = 40 + 2,6 • 1 = 42,6; отклонения от фактического значения: 
АУ2 = 42,6 - 43 = -0,4. Аналогичные вычисления выполним для t = 3, 
/ = 4, / = 5. Результаты представим в табл. 6.4. 
Таблица 6.4 
Типовая таблица для построения прогноза по методу экспоненциального сглаживания Год Период, t Факти-ческое значение У, Расчетные значения S,™ St[2] До А 0\ * 
У$ АУ = У* ~ УІ 1997  
3 1 2 
40 43 46 48 36 38,6 41,6 32 34,6 37,4 40 42,6 45,8 2.7 2,6 
42,6 45,3 48,6 -0,4 -0,7 0,6 2001 і = 1 - 44,2 40,1 48,3 2,7 51 -  
Для t = 3: 
S3 = 0,4 • 43 + 0,6 • 33 = 38,6; S3[2] = 0,4 • 38,6 + 0,6 • 32 = 34,6; o0 = 42,6; а і = 2,7; 
= 42,6 + 2,7 • 1 = 45,3; Д/ = - 0,7. 
Для t = 4: 
$im = 0,4 • 46 + 0,6 • 38,6 = 41,6; S4121 = 0,4 • 41,6 + 0,6 • 34,6 = 37,4; a0 = 45,8; 5, = 2,8; У4 = 45,8 + 2,8 • 1 = 48,6; Ay; = 0,6. 
Для построения модели прогноза (? = 1) определим 
= о,4 • 48 + 0,6 • 41,6 = 44,2; = 0,4 • 44,2 + 0,6 • 37,4 = 40,1; а0 = 48,3; а, = 2,7. 
Окончательная модель прогноза имеет вид 
ум = 48,3 + 2,7 • (, где ^=1,2, ... (что соответствует t = 5, / = 6 и т. д.). 

Воп. 31

Явление гетероскедастичности возникает, как правило, при анализе неоднородных объектов. Например, при построении зависимости прибыли фирмы от размера основного фонда (или каких-либо других факторов) гетероскедастичность вызвана тем, что у больших фирм колебания прибыли будут выше, чем у малых.

МНК при наличии гетероскедастичности позволяет получить несмещенные оценки параметров модели, но оценка дисперсии ошибки, и, следовательно, границы доверительных интервалов оценок параметров модели и прогноза зависимой переменной будут неверными, т.к. они вычисляются на основании предположения гомоскедастичности ошибок.

Для проверки на гетероскедастичность существует большое число тестов. Мы остановимся на тсте Голдфельда-Квандта.

Тест Голдфелъда-Квандта применяется в том случае, когда имеются предположения:

1.        о прямой зависимости дисперсии σt, ошибки регрессии εt от величины некоторой независимой переменной X в наблюдении t;       

2.        случайный член εt, распределен нормально и не подвержен автокорреляции.

Алгоритм теста:       

1.        Упорядочивание n данных в выборке по величине независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.        

2.        Исключение с средних наблюдений в этом упорядочении в целях построения двух независимых "частных" регрессий по данным n' = (n-с)/2 в начале выборки и по данным n' = (n - с)/2 в конце выборки       

3.        Проведение двух независимых "частных" регрессий - первых n' и последних n' наблюдений и построение соответствующих остатков е1 и е2;       

4.        Вычисление сумм квадратов остатков "частных" регрессий: е1'е1, е2'е2. Если предположение относительно природы гегероскедастичности верно, то дисперсии ошибок регрессии в последних n' наблюдениях будут больше (меньше), чем в первых n' наблюдениях при прямой (обратной) пропорциональной зависимости между σt и Xt и это скажется на сумме квадратов остатков в рассматриваемых частных регрессиях. Поэтому в качестве теста на выявление гетероскедастичности остатков регрессии предлагается использовать статистику F, вид которой определяется предположением зависимости между дисперсией ошибок регрессии σt и регрессором Xt:          

F = е1'е1 / е2'е2- в случае обратной пропорциональности          

F = е2'е2 / е1'е1- в случае прямой пропорциональности.

Статистика F имеет распределение  Фишера с (n'- k- 1) степенями свободы, где k- число объясняющих переменных в регрессионном уравнении. Если значение статистики превышает критически значение при определенном уровне значимости, то нулевая гипотеза Н0 об отсутствии гетероскедастичности отвергается.

Тест ранговой корреляции Голдфелда-Квандта позволяют обнаружить лишь само наличие гетероскедастичности, но они не дают возможности проследить количественный характер зависимости дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров и, следовательно, не представляют каких-либо способов устранения гетероскедастичности.

При использовании этого теста  предполагается, что дисперсии ошибок регрессии представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых  значений регрессоров, т.е.

s2 = fi (xi),                                                     (1)

Чаще всего функция f выбирается квадратичной, что соответствует тому, что средняя квадратичная ошибка регрессии зависит от наблюдаемых значений регрессоров приближенно линейно. Гомоскедастичной выборке соответствует случай f = const.

Идея теста Уайта заключается в оценке функции (1) с помощью соответствующего уравнения регрессии для квадратов остатков:

   , где ui – случайный член.          (2)

Гипотеза H0 об отсутствии гетероскедастичности (условие f = const) принимается в случае не значимости  регрессии (2) в целом.

a)     Итак, сначала к исходной модели применяется обычный МНК;

b)     Находятся остатки ei,  регрессии;

c)     Осуществляется регрессия квадратов этих остатков ei на все регрессоры x вида (2);

d)     Осуществляется регрессия квадратов этих остатков ei на квадраты регрессоров x2;

e)     Осуществляется регрессия квадратов этих остатков ei на попарные произведения регрессоров;

Для пунктов c) – e) считается F – статистика, если где p – количество регрессоров, то гипотеза H0 об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Заметим, что на практике применение теста Уайта с включением и  не включением попарных произведений дают, как правило, один и тот же результат.

Привлекательной чертой теста является его универсальность. Однако, если гипотеза H0 об отсутствии гетероскедастичности отклоняется, этот тест не дает указания на функциональную форму гетероскедастичности.

Воп. 32

Смысл мультиколлинеарности.

Слово «коллинеарность» описывает линейную связь между двумя независимыми переменными, тогда как «мультиколлинеарность» – между более чем двумя переменными. На практике всегда используется один термин. Термин «мультиколлинеарность» введен Рагнаром Фришем.

Виды мультиколлинеарности

1. Строгая (perfect) мультиколлинеарность – наличие линейной функциональной связи между независимыми переменными (иногда также и зависимой).