Производственная функция фирмы

Для конкретных наименований ресурсов средние и  предельные величины приобретают смысл  конкретных экономических показателей. Рассмотрим, например, функцию Кобба-Дугласа (1) , где - капитал, а - труд. Средние продукты

имеют смысл  соответственно средней производительности труда и средней производительности капитала (средней фондоотдачи). Видно, что средняя производительность труда убывает с ростом трудовых ресурсов. Это и понятно, так как производственные фонды (K) остаются неизменными, и потому вновь привлекаемая рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производства, что и приводит к снижению производительности труда. Аналогичное рассуждение верно и для фондоотдачи как функции от капитала.

 

Для функции (1) предельные продукты

имеют смысл  соответственно предельной производительности труда и предельной производительности капитала (предельной фондоотдачи). В микроэкономической теории производства считается, что предельная производительность труда равна заработной плате (цене труда), а предельная производительность капитала - рентным платежам (цене услуг капитальных благ). Из условия следует, что при неизменных основных фондах (трудовых затратах) увеличение численности работающих (объема основных фондов) приводит к падению предельной производительности труда (предельной фондоотдачи). Видно, что для функции Кобба-Дугласа предельные продукты пропорциональны средним продуктам и меньше их.

2.7. Изокванта и ее типы

При моделировании потребительского спроса один и тот же уровень полезности различных комбинаций потребительских  благ графически отображается с помощью кривой безразличия.

В экономико-математических моделях производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты  ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Таким образом, производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.

 

Рис.2. Изокванты, соответствующие различному объему производства

 

На рис. 2 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K ₁ единиц капитала и L ₁ единиц труда или K ₂ единиц капитала и L ₂ единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y ₂ = 300.

В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество , называемое изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора справедливо равенство

Таким образом, для всех наборов ресурсов, соответствующих  изокванте, оказываются равными  объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты

Отсюда коэффициент  эквивалентной замены пары факторов j и k равен:

Полученное соотношение  показывает, что если производственные ресурсы замещаются в отношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количество производимой продукции  остается неизменным. Нужно сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции

который вычисляется  вдоль изокванты при неизменном уровне затрат прочих производственных факторов. Величина s_jk представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на s_jk процентов, то коэффициент взаимной замены sjk изменится на один процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность s _jk = 1. Соответственно большие значения s_jk свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо.

Для степенных производственных функций для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливо равенство s _jk = 1. В практике прогнозирования и предплановых расчетов часто используются функции постоянной эластичности замены (СЕS), имеющие вид:

Для такой функции  коэффициент эластичности замены ресурсов

и не меняется в зависимости  от объема и отношения затрачиваемых  ресурсов. При малых значениях s _jk ресурсы могут заменять друг друга лишь в незначительных размерах, а в пределе при s _jk = 0 они теряют свойство взаимозаменяемости и выступают в процессе производства лишь в постоянном отношении, т.е. являются взаимодополняющими. Примером производственной функции, описывающей производство в условиях использования взаимодополняющих ресурсов, является функция выпуска затрат, которая имеет вид

где a _j постоянный коэффициент ресурсоотдачи j -того производственного фактора. Нетрудно видеть, что производственная функция такого типа определяет выпуск по узкому месту на множестве используемых производственных факторов. Различные случаи поведения изоквант производственных функций для различных значений коэффициентов эластичности замены представлены на графике (рис. 3).

Представление эффективного технологического множества с помощью скалярной производственной функции оказывается недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтись единственным показателем, описывающим результаты деятельности производственного объекта, но необходимо использовать несколько (М) выходных показателей. В этих условиях можно использовать векторную производственную функцию

Рис. 3. Различные  случаи поведения изоквант

Важное понятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением

Аналогичное обобщение  допускают все остальные главные  характеристики скалярных производственных функций.

Подобно кривым безразличия  изокванты также подразделяются на различные типы.

Для линейной производственной функции вида

где Y объем производства; A , b ₁ , b ₂ параметры; K , L затраты капитала и труда, и полном замещении одного ресурса другим изокванта будет иметь линейную форму (рис. 4).

Для степенной производственной функции 

изокванты будут иметь  вид кривых (рис. 5).

Если изокванта отражает лишьодин технологический способ производства данного продукта, то труд и капитал  комбинируются в единственно возможном сочетании (рис. 6).

Рис. 4. Изокванты линейного типа

Рис. 5. Изокванты степенной производственной функции

 

 

 

                        Рис. 6. Изокванты при жесткой дополняемости      ресурсов

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7. Ломаные изокванты

 

Такие изокванты иногда называют изоквантами  леонтьевского типа по имени американского  экономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода inputoutput (затраты выпуск).

Ломаная изокванта предполагает наличие ограниченного количества технологий F (рис. 7).

Изокванты подобной конфигурации используются в линейном программировании для  обоснования теории оптимального распределения  ресурсов. Ломаные изокванты наиболее реалистично представляют технологические  возможности многих производственных объектов. Однако в экономической теории традиционно используют главным образом кривые изокванты, которые получаются из ломаных при увеличении числа технологий и увеличении соответственно точек излома.