Производственная функция фирмы

б) существует такой номер j ₀ , что x_j0 ⁽¹⁾  <  x_j0 ⁽²⁾

Технологический способ ۷ называется эффективным, если он принадлежит технологическому множеству V и не существует другого вектора  ν Є V который был бы предпочтительнее ۷. Приведенное определение означает, что эффективными считаются те способы, которые не могут быть улучшены ни по одной затратной компоненте, ни по одной позиции выпускаемой продукции, без того чтобы не перестать быть допустимыми. Множество всех технологически эффективных способов обозначим через V* . Оно является подмножеством технологического множества V или совпадает с ним. По существу задача планирования хозяйственной деятельности производственного объекта может быть интерпретирована как задача выбора эффективного технологического способа, наилучшим образом соответствующего некоторым внешним условиям. При решении такой задачи выбора достаточно существенным оказывается представление о самом характере технологического множества V , а также его эффективного подмножества V* .

В ряде случаев оказывается возможным допустить в рамках фиксированного производства возможность взаимозаменяемости некоторых ресурсов (различных видов топлива, машин и работников и т.п.). При этом математический анализ подобных производств основывается на предпосылке о континуальном характере множества V , а следовательно, на принципиальной возможности представления вариантов взаимной замены при помощи непрерывных и даже дифференцируемых функций, определенных на V . Указанный подход получил свое наибольшее развитие в теории производственных функций.

С помощью понятия эффективного технологического множества производственную функцию можно определить как отображение 

y = f(x),

где ν=(х;у) Є V*.

Указанное отображение, вообще говоря, является многозначным, т.е. множество f(x) содержит более чем одну точку. Однако для многих реалистичных ситуаций производственные функции оказываются однозначными и даже, как сказано выше, дифференцируемыми. В наиболее простом случае производственная функция есть скалярная функция  N аргументов:

             y = f(x₁,…,x_N).

Здесь величина y имеет, как правило, стоимостный характер, выражая объем производимой продукции в денежном выражении. В качестве аргументов выступают объемы затрачиваемых ресурсов при реализации соответствующего эффективного технологического способа. Таким образом, приведенное соотношение описывает границу технологического множества V ,поскольку при данном векторе затрат (x₁ , ..., x_N) производить продукции, в количестве большем, чем y , невозможно, а производство продукции в количестве меньшем, чем указанное, соответствует неэффективному технологическому способу. Выражение для производственной функции оказывается возможным использовать для оценки эффективности принятого на данном предприятии методе хозяйствования. В самом деле, для заданного набора ресурсов можно определить фактический выпуск продукции и сравнить его с рассчитанным по производственной функции. Полученная разница дает полезный материал для оценки эффективности в абсолютном и относительном измерении.

Производственная функция представляет собой очень полезный аппарат плановых расчетов, и поэтому в настоящее время развит статистический подход к построению производственных функций для конкретных хозяйственных единиц. При этом обычно используется некоторый стандартный набор алгебраических выражений, параметры которых находятся при помощи методов математической статистики. Такой подход означает, в сущности, оценку производственной функции на основе неявного предположения о том, что наблюдаемые производственные процессы являются эффективными. Среди разнообразных типов производственных функций наиболее часто применяются линейные функции вида

 
поскольку для них легко решается задача оценивания коэффициентов по статистическим данным, а также степенные функции 

 

для которых задача нахождения параметров сводится к оцениванию линейной формы путем перехода к логарифмам.

В предположении о дифференцируемости производственной функции в каждой точке множества X возможных комбинаций затрачиваемых ресурсов полезно рассмотреть некоторые связанные с производственной функцией  величины.

В частности, дифференциал

 

 

представляет собой  изменение стоимости выпускаемой  продукции при переходе от затрат набора ресурсов x=(x₁ , ..., x_N) к набору x+dx=(x₁+dx₁,..., x_N +dx_N) при условии сохранения свойства эффективности соответствующих технологических способов. Тогда величину частной производной

 

можно трактовать как  предельную (дифференциальную) ресурсоотдачу  или, иными словами, коэффициент  предельной продуктивности, который  показывает, на сколько увеличится выпуск продукции в связи с увеличением затрат ресурса с номером j на малую единицу. Величина предельной продуктивности ресурса допускает истолкование как верхний предел цены p_j , которую производственный объект может уплатить за дополнительную единицу j -того ресурса с тем, чтобы не оказаться в убытках после ее приобретения и использования. В самом деле, ожидаемый прирост продукции в этом случае составит

и, следовательно, соотношение

позволит получить дополнительную прибыль.

В коротком периоде, когда один ресурс рассматривается как постоянный, а другой как переменный, большинство производственных функций обладают свойством убывающего предельного продукта. Предельным продуктом переменного ресурса называют прирост общего продукта в связи с увеличением применения данного переменного ресурса на единицу.

Предельный продукт  труда можно записать как разность

MPL = F ( K , L + 1) - F ( K , L ),

где MPL предельный продукт труда.

Предельный продукт  капитала можно также записать как  разность

MPK = F ( K + 1, L ) - F ( K , L ),

где MPK предельный продукт капитала.

Характеристикой производственного  объекта является также величина средней ресурсоотдачи (продуктивности производственного фактора)

 

имеющего ясный экономический  смысл количества выпускаемой продукции в расчете на единицу используемого ресурса (производственного фактора). Величина, обратная к ресурсоотдаче

обычно называется ресурсоемкостью, поскольку она выражает количество ресурса j , необходимое для производства одной единицы продукции в стоимостном выражении. Весьма употребительны и понятны такие термины, как фондоемкость, материалоемкость, энергоемкость, трудоемкость, рост которых обычно связывают с ухудшением состояния экономики, а их снижение рассматривается как благоприятный результат.

Частное от деления дифференциальной продуктивности на среднюю 

 

называется коэффициентом  эластичности продукции по производственному  фактору j и дает выражение относительного прироста продукции (в процентах) при относительном приросте затрат фактора на 1%. Если E_j 0, то происходит абсолютное снижение выпуска продукции при увеличении потребления фактора j; такая ситуация может иметь место при использовании технологически неподходящих продуктов или режимов. Например, излишнее потребление топлива приведет к излишнему повышению температуры и необходимая для производства продукта химическая реакция не пойдет. Если 0 < E_j  1, то каждая последующая дополнительная единица затрачиваемого ресурса вызывает меньший дополнительный прирост продукции, чем предыдущая.

Если E_j > 1, то величина приростной (дифференциальной) продуктивности превосходит среднюю продуктивность. Таким образом, дополнительная единица ресурса увеличивает не только объем выпускаемой продукции, но и среднюю характеристику ресурсоотдачи. Так процесс повышения фондоотдачи происходит, когда вводятся в действие весьма прогрессивные, эффективные машины и приборы. Для линейной производственной функции коэффициент a_j численно равен величине дифференциальной продуктивности j-того фактора, а для степенной функции показатель степени a_j имеет смысл коэффициента эластичности по j-тому ресурсу.

 

 

2. ВИДЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ.

 

2.1. Производственная  функция Кобба-Дугласа.

Первый успешный опыт построения производственной функции, как уравнения регрессии на базе статистических данных, был получен американскими учеными - математиком Д. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 году. Предложенная ими функция изначально имела вид:

                   (1)

где Y - объем  выпуска, K - величина производственных фондов (капитал), L - затраты труда, - числовые параметры (масштабное число и показатель эластичности). Благодаря своей простоте и рациональности, эта функция широко применяется до сих пор, и получила дальнейшие обобщения в различных направлениях. Функцию Кобба-Дугласа иногда мы будем записывать в виде

Легко проверить, что    и

 

Кроме того, функция  (1)  линейно-однородна:

Таким образом, функция Кобба-Дугласа (1) обладает всеми  вышеуказанными свойствами.

Для многофакторного  производства функция Кобба-Дугласа  имеет вид:

Для учета технического прогресса в функцию Кобба-Дугласа  вводят специальный множитель (технического прогресса) , где t - параметр времени,   - постоянное число, характеризующее темп развития. В результате функция принимает "динамический" вид:

где не обязательно  . Как будет показано в следующем параграфе, показатели степени в функции (1) имеют смысл эластичности выпуска по капиталу и труду.

 

 

2.2. Производственная  функция CES (с постоянной эластичностью замещения)

Имеет вид:

                   (2)

Где - коэффициент шкалы, - коэффициент распределения,  - коэффициент замещения, - степень однородности. Если выполнены условия:

то функция (2) удовлетворяет неравенствам и . С учетом технического прогресса функция CES записывается:

Название данной функции следует из того факта, что  для нее эластичность замещения постоянна.

2.3. Производственная  функция с фиксированными пропорциями. Эта функция получается из (2) при   и имеет вид:

}                                 (3)

2.4. Производственная  функция затрат-выпуска (функция Леонтьева) получается из (3) при :

Содержательно эта функция задает пропорцию, с  помощью которой определяется количество затрат каждого вида, необходимое  для производства одной единицы  выпускаемой продукции. Поэтому в литературе часто встречаются другие формы записи:

или

Здесь - количество затрат вида k, необходимое для производства одной единицы продукции, а y - выпуск.

 

2.5. Производственная  функция анализа способов производственной  деятельности.

Данная функция  обобщает производственную функцию затрат-выпуска на случай, когда существует некоторое число (r) базовых процессов (способов производственной деятельности), каждый из которых может протекать с любой неотрицательной интенсивностью. Она имеет вид "оптимизационной задачи"

Где                                                                     (5)

 Здесь  - выпуск продукции при единичной интенсивности j-го базового процесса, - уровень интенсивности, - количество затрат вида k, необходимых при единичной интенсивности способа j. Как видно из (5) , если выпуск, произведенный при единичной интенсивности и затраты, необходимые на единицу интенсивности, известны, то общий выпуск и общие затраты находятся путем сложения выпуска и затрат соответственно для каждого базового процесса при выбранных интенсивностях. Заметим, что задача максимизации функции f по в (5) при заданных ограничениях-неравенствах является моделью анализа производственной деятельности (максимизация выпуска при ограниченных ресурсах).

2.6. Линейная  производственная функция (функция с взаимозамещением ресурсов)

Применяется при  наличии линейной зависимости выпуска  от затрат:

                                                                 (6)

Где - норма затрат k-го вида для производства единицы продукции (предельный физический продукт затрат).

Среди приведенных  здесь производственных функций  наиболее общей является функция CES.

Для анализа  процесса производства и различных его показателей наряду с предельными продуктами,

(верхние черточки  обозначают фиксированные значения  переменных), показывающими величины  дополнительных доходов, получаемых  при использовании дополнительных  количеств затрат, применяются понятия  средних продуктов.

Средним продуктом  по k-му виду затрат называется объем выпуска, приходящийся на единицу затрат k-го вида при фиксированном уровне затрат других видов:

Зафиксируем затраты  второго вида на некотором уровне и сравним графики трех функций:

Рис.1. Кривые выпуска.

Пусть график функции  имеет три критические точки (как это показано на рис.1 ): - точка перегиба, - точка касания с лучом из начала координат,        - точка максимума. Эти точки соответствуют трем стадиям производства. Первая стадия соответствует отрезку и характеризуется превосходством предельного продукта над средним: Следовательно, на этой стадии осуществление дополнительных затрат целесообразно. Вторая стадия соответствует отрезку и характеризуется превосходством среднего продукта над предельным:   (дополнительные затраты не целесообразны). На третьей стадии и дополнительные затраты приводят к обратному эффекту. Это объясняется тем, что является оптимальным объемом затрат и дальнейшее увеличение их неразумно.