Математические методы в экономике

 

 

 «Экономико-математические методы»

Контрольная работа

 

Задание 1 «Производственные функции»

 

1. Дайте понятия производственной  функции и изокванты. Что означает  взаимозаменяемость ресурсов?

 

Производственные функции -  Функция f в явном виде выраженная зависимостью y=f

Изоквантаf уровня у0 – множество в n-мерном пространстве, определяемое равенством:

 

 

 

 

Взаимозаменяемость ресурсов – процесс обеспечения ресурсами и

производства одним и тем же количеством продукта у0

 

2.Производственная функция для  райпо имеет вид:

 

,

 где f-товарооборот, млн. руб.;

х1-производственная площадь, тыс. м2;

х2- численность работников, сотни чел.

Рассмотрите изокванту уровня δ + 100=у0 и найдите на ней точку С1 с координатами  где и точку С2 с координатами   ,  где

.

Сделайте вывод о возможной замены ресурсов  и .

Полученные результаты изобразите графически.

 

Решение

 

δ=541

Уравнение изокванты:

Возводим обе части в квадрат и делим на 100, получаем:

 

 

Найдем координаты точки С1:

 

,

 

Найдем координаты точки С2:

 

 

Строим график.

Вывод: 145 работников, используя 4,41 тыс. м2 производственной площади, обеспечивает товарооборот  млн. руб. и такой же товарооборот могут обеспечить 241 работник, используя площадь 2,66 тыс. м2.

 

 

 

Задание 2 «Классификация товаров»

 

1. Понятие малоэластичных, среднеэластичных, высокоэластичных товаров.

Какие товары взаимозаменяемы?

 

1. если < 1, то i-й товар называется малоэластичным;
2. если ≈1, то i-й товар называется среднеэластичным;
3. если >1, то i-й товар называется высокоэластичным.

Если увеличение цены на i-й товар приводит к увеличению спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми.

 

2. Произведите классификацию товаров  последующей таблице эластичностей:

 

Товар	Первый	Второй	Третий
Первый
Второй
Третий

 

 

Решение

 

 

 

Поскольку в нашем случае δ=541, то таблица эластичностей принимает вид:

 

Товар	Первый	Второй	Третий
Первый
Второй
Третий

 

Так как │ε11│ =0,69‹ 1, то 1 товар малоэластичный;

так как │ε22│=0,99≈1, то 2 товар среднеэластичный;

так как │ε33│=1,39 ›1, то 3 товар высокоэластичный.

Поскольку ε12 =0,095› 0 и ε21=0,079 › 0, то 1 и 2 товары взаимозаменяемые.

Поскольку ε13 =0,295› 0 и ε31=0,246 › 0, то 1 и 3 товары взаимозаменяемые.

Поскольку ε23 =-0,205‹ 0 и ε32=-0,228 ‹ 0, то 2 и 3 товары взаимодополняемые.

 

Задание 3. «Межотраслевой баланс»

 

1. Дайте определение коэффициента прямых затрат. Где они могут быть использованы?

Отношение  называется коэффициентом прямых затрат

и  содержательно  означает  объем  продукции i-й  отрасли,  который

требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу

своей валовой продукции.

 

Коэффициенты прямых затрат представлены в модели межотраслевого баланса.

Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если

технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты

прямых затрат остаются неизменными.

Используя  систему  уравнений  межотраслевого  баланса  при  известном плановом значении конечной продукции y отраслей, можно вычислить плановое производство валовой продукции х этих отраслей.

 

2. За отчетный период имел  место следующий баланс продукции:

 

а) Вычислите коэффициенты прямых затрат.

б) Вычислите плановый объем валовой продукции отраслей, если план выпуска конечной продукции при условии неизменности технологии производства.

 

Решение

 

 

 

а) Вычислим коэффициенты прямых затрат:

 

 

б) Вычислим плановый объем валовой продукции отраслей:

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4. «Системы массового обслуживания»

 

1.Дайте описание входящего потока  требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели  характеризуют работу СМО?

 

Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина Х с показательным законом распределения, т.е. ее интегральная функция F (t) имеет вид:

 

F(t) = 1-eλt, t ≥0

Число λ(треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

 

Параметр загрузки СМО:

При этом выполняется условие стационарности:

Это условие  означает,  что  интенсивность  входящего  потока

меньше, чем суммарная интенсивность обслуживания.

При сформулированных предположениях можно рассчитать не-

которые экономические показатели работы СМО, такие, например,

как Рк – доля времени работы К – каналов, К=0,1,…,n; L – средняя

длина очереди и другие. Формулы для вычисления p0,…,pn, L в об-

щемслучае довольно громоздки, поэтому приведем их для случая

n=2:

2. В магазине самообслуживания  работают две кассы с интенсивностью  μ=(δ+300)/100 (треб./мин.).

Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(δ+400)/100 (треб./мин.).

Рассчитать долю времени простоя касс и среднюю длину очереди.

Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности?

Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

 

Решение

 

 

 

δ=541   =>  μ=(541+300)/100=8,41 (треб./мин.)

                    λ=(541+400)/100=9,41 (треб./мин.)

 

При интенсивности обслуживания μ=8,41 (треб./мин.) и интенсивности входа λ=9,41 (треб./мин.) доля времени простоя касс составляет 28,2% времени, а средняя длина очереди равна 0,510 (треб.) Если же интенсивность входа станет равной 15,9 ( треб./мин.),условие стационарностибудет  выполненои средняя длина очереди увеличится в 31,271 раз.

 

 

 

 

Задание 5. Модели управления запасами

 

1. Сформулируйте задачу оптимального  управления запасами.

2. Дайте экономическую интерпретацию предельной арендной платы.

 

Задача  оптимального  управления  запасами  будет  формулироваться следующим образом: определить объем q заказываемой партии товара, при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму спроса на него.

Аналитически это выражается следующей моделью:

 

                                                                (1)

Из которой максимальный объем заказа q рассчитывается по формуле:

 

   (2) 

А максимальный заказ на складе S*:

 

(3) 

Однако в рассмотренной модели не учитывается ограниченность складских емкостей. Пусть емкость склада Q. Если  S/u ≤ Q, то задача

решена. В противном случае необходимо минимизировать выражение (1) при ограничении на емкость склада следующего типа:

, (4)

Наряду с этим определяется показатель:

 

    (5)

 

 

где величина q берется вычисленной по формуле (5).

Экономически λ интерпретируется как предельная (максимальная)  арендная  плата  за  использование  дополнительных  складскихемкостей. Если фактическая арендная плата α ( руб./кг.*сут.)меньше, либо равна предельной  λ (руб./кг. * сут.), т.е. α ≤ λ, то аренда выгодна и объемзаказываемой партии вычисляется по формуле (2). Если же α ≥ λ, то аренда невыгодна и тогда объем заказа надо уменьшать, и он рассчитывается в этом случае по формуле (5).

3. Сделайте вывод о целесообразности  аренды дополнительных складских  емкостей или о необходимости сокращения объема заказываемой партии товара с учетом имеющихся складских емкостей при сравнении фактической  α (руб./кг.*сут.), и предельной  λ(руб./кг.*сут.) арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

 

 

 

Решение

 

δ=541

 

Вывод:фактическая арендная плата больше предельной арендной платы. Следовательно, аренда дополнительных складских емкостей невыгодна, и тогда объем заказываемой партии следует сократить до таких пределов, чтобы возникший товарный запас можно было разместить в имеющихся складских емкостях.

 

Задание 6. «Использование метода теории игр в торговле»

 

1. Объяснить смысл теории платежной  таблицы и способы выбора стратегий  с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма, крайнего оптимизма-пессимизма.

Элементы платежной таблицы помогают принять решение в условиях непреодолимости.

При этом используются методы теории игр.

Подход с позиций крайнего пессимизма заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии Аi эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка αiбудет минимально взаимной, т.е.

 

αi=min(αi1,αi2 …, αim)

 

Подход с позиции крайнего оптимизма заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии Аi эластичность будет наиболее благоприятной и выручка βi наибольшая, т.е.

 

βi=min(αi1,αi2 …, αim)

 

Подход с позиции оптимизма-пессимизма предполагает выбирать стратегию, соответствующую величине Н:

 

Н=max[‹1-λ›αi+λβi],

где λ-числовой параметр, 0≤λ≤1.

При λ=0, Н=max, αi=α и этот подход превращается в подход  позиции крайнего пессимизма.

При λ=1, Н=max, βi=β, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма.

Величина Н при изменении λ от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии.

2. Выбрать стратегии с позиций  крайнего пессимизма, крайнего оптимизма, оптимизма-пессимизма для платежной таблицы.

Указать соответствующие выигрыши.

 

А ε	ε1	ε2	ε3
А1	δ-490	δ-480	620-δ
А2	610-δ	620-δ	630-δ
А3	|550-δ|+10	|560-δ|+10	640-δ

 

Решение

 

δ=541

541 – 490= 51

541 – 480 = 61

620 – 541 = 79

610– 541 = 69

620 – 541 =79

630 – 541 =89

|550 – 541|+10 = 19

|560 – 541|+10 = 29

640 – 541 =99

 

Для числа δ=541 таблица приобретает вид:

 

А ε	ε1	ε2	ε3
А1	51	61	79
А2	69	79	89
А3	19	29	99

 

Выберем по каждой строке таблицы минимальное из чисел αi, максимальное βi, а затем вычислим их полусумму γi.

А ε	ε1	ε2	ε3	αi,	βi	γi
А1	51	61	79	51	79	65
А2	69	79	89	69	89	79
А3	19	29	99	19	99	59