Контрольная работа по "Основы математического моделирования социально-экономических процессов "

Контрольная работа по дисциплине:

Основы математического моделирования социально-экономических процессов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Попова Д.Ю

Группа: 213гз

№ зач.кн.:4172

 

 

Задание 4.

Матричная игра задана своей платежной матрицей A. Требуется:

1) Исследовать  игру на разрешимость в чистых  стратегиях. Вычислить нижнюю и  верхнюю цену игры. В случае  неразрешимости игры в чистых  стратегиях выполнить пункты 2)-5).

2) С  помощью принципа доминирования  упростить игру;

3) Найти  оптимальные стратегии игроков  графическим методом, если это  возможно.

5.3. а) б)

 

1. А. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку.

Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. 
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I. 

Игроки	B1	B2	B3	B4	a = min(Ai)
A1	3	4	2	1	1
A2	2	-2	3	-3	-3
A3	3	-1	2	0	-1
A4	2	3	5	2	2
b = max(Bi)	3	4	5	2

 
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A4. 
Верхняя цена игры b = min(bj) = 2. 
Седловая точка (4, 4) указывает решение на пару альтернатив (A4,B4). Цена игры равна 2.

 

1.Б. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. 
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

 

 

 

 

Игроки	B1	B2	B3	B4	a = min(Ai)
A1	4	1	-6	-3	-6
A2	5	-3	-2	0	-3
A3	7	-1	2	1	-1
b = max(Bi)	7	1	2	1

 
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = -1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3. 
Верхняя цена игры b = min(bj) = 1. 
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах -1 ≤ y ≤ 1. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии). 
Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получитьмаксимальный средний выигрыш. 
Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I. 

 

2. Проверяем платежную  матрицу на доминирующие строки  и доминирующие столбцы.  
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.  
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех jЭ N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая. 

Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M  aij ≤ ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой. 

 

Стратегия A1 доминирует над стратегией A2 (все элемент строки 1 больше или равны значениям 2-ой строки), следовательно исключаем 2-ую строку матрицы.  
Стратегия A3 доминирует над стратегией A4 (все элемент строки 3 больше или равны значениям 4-ой строки), следовательно исключаем 4-ую строку матрицы.

 

 

3	4	2	1
3	1	2	0

 

В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.  
В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.  
Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получитьмаксимальный средний выигрыш.  
Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

 

3. Находим решение игры  в смешанных стратегиях. 
Запишем систему уравнений. 
Для игрока I 
4p1+5p2+7p3 = y 
p1-3p2-p3 = y 
-6p1-2p2+2p3 = y 
-3p1+p3 = y 
p1+p2+p3 = 1 
Для игрока II 
4q1+q2-6q3-3q4 = y 
5q1-3q2-2q3 = y 
7q1-q2+2q3+q4 = y 
q1+q2+q3+q4 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5.

Решить задачу распределения инвестиций по следующим исходным данным:

• Начальный капитал 50 млн. руб.;
• 3 предприятия;
• средства выделяются только в размерах, кратных 10 млн. руб.;
• функции дохода заданы таблично.

5.3
x	10	20	30	40	50
f1(x)	3	5	6	7	9
f2(x)	3	3	4	7	10
f3(x)	4	5	6	8	9

 

 

I этап. Условная оптимизация. 
1-ый шаг. k = 3. 
Предположим, что все средства в количестве x3 = 50 отданы предприятию №3. В этом случае, максимальный доход, как это видно из таблицы, составит f3(u3) = 9, следовательно, F3(e3) = f3(u3) 

e2	u3	e3 = e2 - u3	f3(u3)	F*3(e3)	u3(e3)
10	0	10	0
	10	0	4	4	10
20	0	20	0
	10	10	4
	20	0	5	5	20
30	0	30	0
	10	20	4
	20	10	5
	30	0	6	6	30
40	0	40	0
	10	30	4
	20	20	5
	30	10	6
	40	0	8	8	40
50	0	50	0
	10	40	4
	20	30	5
	30	20	6
	40	10	8
	50	0	9	9	50

 
 
2-ый шаг. k = 2. 
Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между предприятиями №2, 3. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид: F2(e2) = max(x2 ≤ e2)(f2(u2) + F3(e2-u2)) 

e1	u2	e2 = e1 - u2	f2(u2)	F*2(e1)	F1(u2,e1)	F*2(e2)	u2(e2)
10	0	10	0	4	4	4	0
	10	0	3	0	3
20	0	20	0	5	5
	10	10	3	4	7	7	10
	20	0	3	0	3
30	0	30	0	6	6
	10	20	3	5	8	8	10
	20	10	3	4	7
	30	0	4	0	4
40	0	40	0	8	8
	10	30	3	6	9	9	10
	20	20	3	5	8
	30	10	4	4	8
	40	0	7	0	7
50	0	50	0	9	9
	10	40	3	8	11	11	10
	20	30	3	6	9
	30	20	4	5	9
	40	10	7	4	11
	50	0	10	0	10

 
 
3-ый шаг. k = 1. 
Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между предприятиями №1, 2, 3. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид: F1(e1) = max(x1 ≤ e1)(f1(u1) + F2(e1-u1)) 

e0	u1	e1 = e0 - u1	f1(u1)	F*1(e0)	F0(u1,e0)	F*1(e1)	u1(e1)
10	0	10	0	4	4	4	0
	10	0	3	0	3
20	0	20	0	7	7	7	0
	10	10	3	4	7
	20	0	5	0	5
30	0	30	0	8	8
	10	20	3	7	10	10	10
	20	10	5	4	9
	30	0	6	0	6
40	0	40	0	9	9
	10	30	3	8	11
	20	20	5	7	12	12	20
	30	10	6	4	10
	40	0	7	0	7
50	0	50	0	11	11
	10	40	3	9	12
	20	30	5	8	13	13	20
	30	20	6	7	13
	40	10	7	4	11
	50	0	9	0	9