Контрольная работа по "Экономике"

Задача 1.13.Найти величины спроса х и у на две разновидности товара при ценах на них соответственно а и б, если потребитель при бюджете М стремится максимизировать функцию полезности, которая имеет вид U(x, у ) = х^а/(а+б+1) у^б/(а+б+1) . Задайте конкретное значение цен а и б. Изобразите допустимое множество и кривые безразличия. Найдите необходимый размер компенсации дохода при увеличении цены второго товара на 2 д.ед.. Определить предельные полезности благ(товаров) и дохода. Определить эластичности благ и дохода. Используя уравнение Слуцкого, рассчитать частные производные блага по цене при компенсации дохода в оптимальной точке. Какова норма замены второго товара первым в оптимальной точке?

Решение.

Пусть а=5, б=3, а  М=15. Составим модель поведения потребителя по базовой модели.

;

Приведем геометрическую интерпретацию модели, изобразив  кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения. Множество точек треугольника АОВ является допустимым множеством наборов.

 

 

1. Определим функции спроса на товары и максимальную полезность в оптимальной точке.

Составляем функцию  Лагранжа.

L = + λ (15 — 5х — 3y).

Þ Þ Þ Þ

 

Функция полезности в  оптимальной точке равна

U(х,y) = (15/8)^5/9(15/8)^1/3 = 1,749.

 

2. Необходимый размер компенсации дохода при увеличении цены второго товара на ∆р₂ = 2 у.е. равен

(15/8)^8/9= (15 + ∆М)(8+∆р₂))^{(8+∆p2)/(9+∆p2)};

∆М = 10∙(15/8)^44/45 - 15= 3,49.

 

3. Найдем предельные полезности благ (товаров) и дохода:

= ;

= ;

=

 

4. Найдем эластичности благ и дохода:

e_xp1 = ∙ = ∙ ;

e_yp2 = ∙ = ∙ ;

e_xM = ∙ = ∙ ;

e_yM = ∙ = ∙ .

 

5. Найдем частные производные блага по цене при компенсации дохода в оптимальной точке, используя уравнение Слуцкого:

,  i,j=1...n;

= + = 0;

= + = 0.

 

6. Найдем норму замены второго товара первым в оптимальной точке:

: = = 5/3.

 

Задача 2.13. Издатель обратился в отдел маркетинга, чтобы выяснить предполагаемый спрос на книгу. Исследования отдела маркетинга показали:

x	Спрос на книгу в ближайший  год, экз.	2000	3000	4000	5000
р	Вероятность	0,2	0,5	0,1	0,2

 

Контрибуция к капитальным  затратам и прибыли составляет 9 ф.ст. за книгу. Если книга не продается, убытки составляют 4.ф.ст. за штуку. Если издатель не удовлетворяет спрос, убытки по неудовлетворенному спросу составят 1.ф.ст. (для поддержания репутации фирмы и будущего спроса). Определите, сколько книг должно быть издано.

Используйте следующие правила:

1.Максимакса дохода

2.Максимина дохода

3.Минимакса возможных  потерь

4.Максимума ожидаемого  дохода

5.Миниума ожидаемого  риска

Решение.

Составим платежную  матрицу:

 

Предложение	Спрос					max	min
	2	3	4	5
2	18	17	16	15	16,7	18	15
3	14	27	26	25	23,9	27	14
4	10	23	36	35	24,1	36	10
5	6	19	32	45	22,9	45	6

По критерию максимума  среднего выигрыша оптимальной является стратегия 3, т.е. оптимальный объем продаж должен составлять 4000 экземпляров.

 

Составим матрицу рисков:

Предложение	Спрос					max
	2	3	4	5
2	0	10	20	30	13	30
3	4	0	10	20	5,8	20
4	8	4	0	10	5,6	10
5	12	8	4	0	6,8	12

 

По критерию минимума среднего риска оптимальной является стратегия 3, т.е. оптимальный объем продаж должен составлять 4000 экземпляров.

Определим оптимальную стратегию по другим критериям

• критерий максимакса: М = max_imax_ja_ij= 45.
• критерий максимина: W = max_imin_ja_ij= 15.
• критерий минимакса: S = min_imax_jr_ij= 10.

 

Общий вывод – с  точки зрения всех критериев оптимальной является изготовление 3000 программок.

Задача 3.13. Найти оптимальное распределение ресурсов s₀ между двумя отраслями производства в течение  n лет, если даны функции доходов f₁(x) f₂(x) для каждой отрасли, функции возврата j₁(x) и j₂ (x). По истечении года только все возвращенные средства перераспределяются, доход в производство не вкладывается.  

s₀= 20000 ед.; n= 4; f₁(x)=0.4 x; f₂(x)=0.3 x;j₁(x)=0.5 x;j₂ (x)=0.8 x

Решение.

Процесс распределения  средств между двумя отраслями  производства разворачивается во времени, решения принимаются в начале каждого года, следовательно, осуществляется деление на шаги: номер шага – номер года. Управляемая система – две отрасли производства, а управление состоит в выделении средств каждой отрасли в очередном году. Параметры состояния к началу k–го года — s_k–1 (k = 1,…,n) – количество средств, подлежащих распределению. Переменных управления на каждом шаге две: х_k — количество средств, выделенных 1 отрасли, и y_k — 2 отрасли. Но так как все средства s_k–1 распределяются, то у_k = s_k–1 – x_k, и поэтому управление на k–м шаге зависит от одной переменной x_n, т.е. Х_k (х_k, s_k–1 – x_k).

Уравнения состояний  выражают остаток средств, возвращенных в конце k–го года s_k = j₁(x_k) + j₂(s_k–1 – x_k).

Показатель эффективности k–го шага — прибыль, полученная в конце k–го года от обеих отраслей: f₁(x_k) + f₂(s_k–1 – x_k).

Суммарный показатель эффективности  — целевая функция задачи —  прибыль за n лет: Z = + f₂(s_k-1 - x_k).

Пусть ZÍ_k(s_k–1) — условная оптимальная прибыль за n – k + 1 лет, начиная с k–го года до n–го года включительно, при условии, что имеющиеся на начало k–го года средства s_k–1 в дальнейшем распределялись оптимально. Тогда оптимальная прибыль за n лет Z_max = ZÍ₁(s₀).

Уравнения Беллмана имеют вид:

ZÍ_n(s_n–1) = max {f₁(x_n) + f₂(s_n–1 – х_n)},  0£ х_n £ s_n–1;

ZÍ_k(s_k–1) = max {f₁(x_k) + f₂(s_k–1 – х_k) + ZÍ_k+1(s_k)} , 0£ х_k £ s_k–1, 

(k = n–1, n–2, …, 2).

Используем конкретные данные.

Уравнение состояний  примет вид

s_k = 0,5x_k + 0,8(s_k–1 – x_k) или s_k = 0,8s_k–1 –0,3x_k.

Целевая функция k–го шага 0,4x_k + 0,3(s_k–1 – x_k) = 0,1x_k + 0,3s_k–1.

Целевая функция задачи Z = + 0,1x_k..

Функциональные  уравнения

ZÍ₄(s₃) = max {0,3s₃ + 0,1x₄} 0£ х₄ £ s₃;

ZÍ_k(s_k–1) = max {0,1x_k + 0,3s_k–1 + ZÍ_k+1(s_k)}, 0£ х_k £ s_k–1.

 

Проводим условную оптимизацию.

 

4 шаг. Используем уравнение ZÍ₄(s₃) = max {0,3s₃ + 0,1x₄},  0£ х₄ £ s₃. Обозначим Z₄ = 0,1х₄ + 0,3s₃; Z₄ линейная, возрастающая, так как угловой коэффициент 0,1 больше нуля. Поэтому максимум достигается на конце интервала [0;s₃]. Следовательно, ZÍ₄(s₃) = 0,4s₃ при хÍ₄(s₃) = s₃.

 

3 шаг. Уравнение ZÍ₃(s₂) = max {0,1x₃ + 0,3s₂ + 0,4s₃}, 0£ х₃ £ s₂.

Найдем s₃ из уравнений состояний: s₃ = 0,8s₂ – 0,3x₃ и, подставив его выражение в правую часть уравнения, получим

ZÍ₃(s₂) = max {0,1x₃ + 0,3s₂ + 0,4(0,8s₂ – 0,3x₃)} = max {-0,02x₃ + 0,62s₂},    0£ х₃ £ q₂.

Максимум достигается при х₃=0; т.е. ZÍ₃(s₂) = 0,62s₂ при хÍ₃(s₂) = 0.

 

2 шаг. Из уравнения состояния: s₂ = 0,8s₁ – 0,3x₂. Уравнение при k=2 примет вид ZÍ₂(s₁) = max {0,0796s₁ – 0,086x₂},  0£ х₂ £ s₁. Линейная функция ZÍ₂ = 0.796s₁ – 0,086x₂ относительно х₂ убывает на отрезке [0;s ₁], и поэтому ее максимум достигается при х₂=0: ZÍ₂(s₁) = 0.796s₁ при хÍ₂(s₁) = 0.

   

1 шаг. s₁ = 0,8s₁ – 0,3x₁. Уравнение при k=1 имеет вид

ZÍ₁(s₀) = max {0.9368s₀ – 0,1388x₁}, 0£ х₁ £ s₀.

Как и в предыдущем случае, максимум достигается в начале отрезка, т.е. ZÍ₁(q₀) = 0.9368s₀ при хÍ₁(s₀) = 0.

На этом условная оптимизация  заканчивается. Используя ее результат и исходные данные, получим Z_max = ZÍ₁(20000), Z_max = 18736.

хÍ₁ = 0, уÍ₁ = s₀  =20000 ®

sÍ₁ = 0,8Í20000 –0,3Í0 = 16000 Þ хÍ₂ = 0, уÍ₂ = 16000 ®

sÍ₂ = 0,8Í16000 –0,3Í0 = 12800 Þ хÍ₃ = 0, уÍ₃ =12800 ®

sÍ₃ = 0,8Í12800 –0,3Í0 = 10240 Þ хÍ₄ = 10240, уÍ₄ =0.

Оптимальная прибыль  за 4 года, полученная от двух отраслей производства при начальных средствах 20000 у.е., равна 18736 у.е. при условии, что 1 отрасль получает по годам (0;0;0;10240), а 2 отрасль – соответственно (20000;16000;12800;0).

 

 

Задача 4.13. Решить задачу о поиске максимального потока в сети (в скобках указана пропускная способность дуги), если начальный поток w_o = 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Распределим начальный  поток следующим образом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем увеличивающий  поток.

 

 

 

 

 

 

 

 

Перераспределение потока w₁ = w₀+e_t = w₀+3 = 6+3=9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перераспределение потока w₂ = w₁+e_t = w₁+2 =9+2=11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перераспределение потока w₃ = w₂+e_t = w₂+3 =11+3=14. Окончательный вид сети представлен ниже. Максимальный поток равен 14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5.13. Состояния банка s_1,s₂ , s₃ , s₄ , s₅ характеризуются соответственно процентными ставками 4%, 6%, 10%, 11%, 14%, которые устанавливаются в начале каждого квартала и не изменяются на всем его протяжении. Переходные вероятности не изменяются. Охарактеризуйте процесс, протекающий в банке, и определите вероятности состояний банка через два года, если в первом квартале первого года вероятности состояний имели следующие значения:

р₁ (t₀)=0,04, р₂ (t₀)=0,2, р₃ (t₀)= 0, 45, р₄ (t₀) =0,25, р₅ (t₀)=0,06.

Размеченный граф состояний  изображен на рисунке

 

Решение.

Так как множество  состояний, в которых может находиться система S, конечно (три состояния), то протекающий в системе S случайный процесс – дискретный.