Контрольная работа по "Эконометрике"

Т.о. в итоге проведения тестов можно сделать вывод о значимости отличия от нуля оценки коэффициента регрессии b, одновременно можно предложить исключить свободный член а из уравнения регрессии, т.е. рекомендуется оценить новое уравнение в виде у = bx, где . (Новое уравнение имеет вид Y = 0,969·xi).

8. Проверка предпосылок МНК. Автокорреляция ошибок регрессии.

Следующим этапом оценивания качества построенного уравнения является проверка предпосылок, лежащих в основе метода расчёта параметров МНК. Для проверки каждой из предпосылок применения МНК имеются специальные тесты. Реализация многих из этих тестов предполагает значительный объём исходных данных, поэтому мы проверим четвёртую предпосылку – отсутствие автокорреляции первого порядка ошибок регрессии.

Эта проверка может быть осуществлена двумя способами:

А) Графический.

Заключается в построении графика зависимости остатков (ошибок регрессии) от времени и визуальном определении наличия или отсутствия автокорреляции.

Б) Использование статистики Дарбина-Уотсона DW.

А) Построим график поведения ошибок регрессии во времени (на основании столбца 10):

 

Анализ графика не позволяет выявить закономерность поведения ошибок. Т.е. можно предположить, что ошибки распределены независимо (автокорреляция отсутствует).

Б) Эта проверка проводится с помощью расчёта и анализа значения коэффициента Дарбина-Уотсона:

 

Для расчетов продолжим формировать таблицу:

 

i	ei		(ei – ei-1)2
1	10	11	12
1	0,2740	0,075076	-
2	-0,6144	0,377487	0,7893
3	2,4135	5,824982	9,1682
4	0,4972	0,247208	3,6722
5	1,6925	2,864556	1,4287
6	-3,2517	10,57355	24,4451
7	-0,2238	0,050086	9,1682
8	-0,0564	0,003181	0,0280
9	0,1389	0,019293	0,0381
10	-5,7495	33,05675	34,6733
11	0,3900	0,1521	37,6935
12	4,5295	20,51637	17,1355
∑	-	73,76064	138,2400127

 

Статистика Дарбина-Уотсона применяется для проверки нулевой гипотезы H0 об  отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы H1 и H1*состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона dL (- нижняя граница признания положительной автокорреляции) и dU (-верхняя граница признания отсутствия положительной автокорреляции) для заданного числа наблюдений n = 12, числа независимых переменных модели m =1 и уровня значимости α = 0,05.

dL = 0,97; dU =1,33.

Т.к. du ≤ DW ≥ 4 – du (1,33 ≤ DW = 1,67 ≤ 2,67) автокорреляция отсутствует с вероятностью 1 – α = 0,95.

(Замечание: Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0 .)

9. Вывод:

Уравнение линейной зависимости объема потребления от величины располагаемого дохода приведём вместе с показателями его качества:

 

Sa,b [8,7171]  [ 0,0691]

ta,b (0,3673)  (13,70)

R2 = 0,9443;  F = 169,53;  DW = 2,18.

Коэффициент детерминации R2 свидетельствует о высокой доле объяснённой дисперсии (около 94 %) зависимой переменной и о высокой степени приближения исходных данных к построенному уравнению.

Величина F – критерия свидетельствует о значимости уравнения в целом, т.е. о наличии значимой статистической связи между переменными.

Значения t – статистик для оценок коэффициентов уравнения могут свидетельствовать о значимом отличии от нуля коэффициента регрессии b и о возможности исключения из уравнения свободного члена а.

Статистика Дарбина-Уотсона позволяет принять гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка ошибок регрессии и может свидетельствовать об отсутствии зависимости между ними.

Общим итогом анализа качества построенного уравнения может стать вывод о его хорошем качестве и возможности переоценки на тех же данных с исключением из него свободного члена.

10. Так как полученное уравнение регрессии имеет хорошее качество, то его можно использовать для построения прогнозов.

Спрогнозируем значение объема потребления, если прогнозное значение располагаемого дохода составит 120% от его средней величины.

Для этого подставим заданное значение х в уравнение и подсчитаем значение зависимой переменной у. Получим значение =116,78.

Рассчитаем 95%-й доверительный интервал для данного предсказания по формуле:

 

Для этого вычислим стандартную ошибку прогноза:

 

где n = 12;

 

 

Получим:

 

 

Подставим найденные значения в формулу стандартной ошибки прогноза:

 

Критическое значение распределения Стьюдента tкр(0,05;10) = 2,228.

Тогда границы доверительного интервала:

 

 

Вывод. Интервал, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений объема потребления при неограниченно большом числе наблюдений и уровне располагаемого дохода xр = 120, имеет вид: (108,827; 124,739).