Контрольная работа по "Эконометрике"

 

 

 

 

 

 

Задача

 

Для анализа зависимости объема потребления Y (у.е.) домохозяйства от располагаемого дохода Х (у.е.) отобрана выборка объема n=12 (помесячно в течение года), результаты которой приведены в таблице:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	105	109	110	113	120	122	123	129	136	140	145	150
y	102	105	109	110	118	115	119	125	132	130	141	150

 

Требуется:

1) Сформулировать гипотезу  о направлении связи.

2) Проверить свое предположение, построив поле корреляции.

3) Оценить тесноту связи  с помощью показателя ковариации и коэффициента корреляции.

4) Рассчитать параметры  уравнения линейной регрессии y на x .

5) Оценить общее качество  полученного уравнения.

6) Проверить значимость  уравнения в целом, используя F- статистику.

7) Проверить значимость  коэффициентов уравнения (t – статистики).

8) Проверить гипотезу  об отсутствии автокорреляции.

9) Оформить вывод по  построенной модели.

10) Спрогнозировать значение  объема потребления, если прогнозное значение располагаемого дохода составит 120% от его средней величины. Рассчитать 95%-й доверительный интервал для данного предсказания.

 

 

 

 

 

Решение.

1. Изучение взаимосвязи между переменными начинается с выдвижения гипотезы о наличии и направлении связи. В нашем примере можно предположить, что объем потребления положительно связан с располагаемым доходом (т.е. с увеличением дохода расходы также увеличиваются).

Проверим наше предположение.

2. Графический метод.

Заметим вначале, что объем выборки n = 12. Представим ряды значений графически. Из рисунка видно, что точки ( xi ; yi ) сосредоточены в области, очерченной вытянутым  эллипсом, поэтому можно предположить наличие сильной положительной линейной связи между показателями. Т.о. анализ графика подтвердил нашу гипотезу.

 

 

 

3. Для определения направления и тесноты взаимосвязи с помощью статистических методов рассчитаем показатель ковариации и коэффициент линейной корреляции. Для сокращения расчетов будем постепенно формировать таблицу.

i	xi	yi	xi -	yi -	(xi - ) (yi - )	(xi - )2	(yi - )2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	105	102	-20,17	-19,33	389,8889	406,6944	373,7778
2	109	105	-16,17	-16,33	264,0556	261,3611	266,7778
3	110	109	-15,17	-12,33	187,0556	230,0278	152,1111
4	113	110	-12,17	-11,33	137,8889	148,0278	128,4444
5	120	118	-5,167	-3,333	17,2222	26,6944	11,1111
6	122	115	-3,167	-6,333	20,0556	10,0278	40,1111
7	123	119	-2,167	-2,333	5,0556	4,6944	5,4444
8	129	125	3,8333	3,6667	14,0556	14,6944	13,4444
9	136	132	10,833	10,667	115,5556	117,3611	113,7778
10	140	130	14,833	8,6667	128,5556	220,0278	75,1111
11	145	141	19,833	19,667	390,0556	393,3611	386,7778
12	150	150	24,833	28,667	711,8889	616,6944	821,7778
∑	1502	1456	-	-	2381,3333	2449,6667	2388,6667

 

Вычислим средние арифметические значения обоих признаков:

 

Найдем отклонения от средних арифметических и и занесем их в 4-й и 5-й столбцы таблицы.

Умножим на и сложим полученные произведения (последняя строка в 6-м столбце).

Возведем отклонения в квадрат и сложим (последняя строка в 7-м и 8-м столбцах).

Тогда показатель ковариации:

 

cov [x,y] > 0. Это подтверждает гипотезу о наличии положительной связи между показателями.

Найдем средние квадратические отклонения, пользуясь формулой:

 

Исходя из формулы коэффициенты линейной корреляции, получим:

 

Полученный коэффициент корреляции близок к  +1, это указывает на сильную положительную линейную связь между объемом потребления и располагаемым доходом.

Проверим значимость полученного коэффициента корреляции.

Для этого рассчитаем t – статистику:

 

Зададим уровень значимости коэффициента корреляции (вероятность ошибки): = 0,01. По формуле находим число степеней свободы: v = 122 = 10.

Из таблицы критических значений распределения Стьюдента следует: tкр (0,01;10) = 3,169.

Т.к. |t| > tкр (17,68 > 3,169), следовательно, мы можем отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве теоретического коэффициента корреляции нулю, и, как следствие, гипотезу об отсутствии связи между показателями. Т.е. связь между показателями, выраженная коэффициентом корреляции, статистически значима с вероятностью 0,99 (риск ошибки 0,01 или 1%).

Итогом проведённых расчётов может стать вывод о том, что объем потребления действительно линейно положительно связан с величиной располагаемого дохода, и связь эта является статистически значимой. Т.о., проверяемая нами гипотеза получила свое подтверждение на выбранном массиве данных.

4. Т.к. объем потребления действительно линейно положительно связан с величиной располагаемого дохода, то можно построить уравнение линейной регрессии.

Для составления уравнения регрессии находим коэффициенты b и a:

 

Тогда уравнение регрессии принимает вид:

 

Проинтерпретируем построенное уравнение регрессии.

В нашем примере коэффициент регрессии b = 0,9721 показывает, на какую величину изменится объем потребления, если располагаемый доход возрастёт на одну единицу.

Свободный член уравнения  a = -0,3445 определяет прогнозируемое значение объема потребления при величине располагаемого дохода, равному нулю.

5. Анализ общего качества.

Самым простым способом оценить качество полученного уравнения является графический способ: Строим линию регрессии на корреляционном поле. Для этого берем любые две точки значения признака X, удобные для вычислений:

 

По данным точкам проводим линию регрессии.

Анализ графика показывает, что уравнение достаточно точно описывает исследуемую зависимость, т.е. разброс точек, представляющих исходные данные, вокруг линии регрессии невелик.

Для анализа общего качества оценённой зависимости на количественном уровне используют коэффициент детерминации R2 (который в случае парной регрессии равен коэффициенту линейной корреляции).

Формула коэффициента детерминации с поправкой на число степеней свободы имеет вид:

 

 

 

Для расчета коэффициента детерминации сначала необходимо найти ошибку регрессии ei для каждого года исследуемого периода: ei = yi – ŷi, где ŷi – теоретические значения зависимой переменной y, которые рассчитываются по уравнению регрессии:

 

Продолжим формировать таблицу:

i	xi	yi	ŷi	ei
1	2	3	9	10	11
1	105	102	101,7260	0,2740	0,075076
2	109	105	105,6144	-0,6144	0,377487
3	110	109	106,5865	2,4135	5,824982
4	113	110	109,5028	0,4972	0,247208
5	120	118	116,3075	1,6925	2,864556
6	122	115	118,2517	-3,2517	10,57355
7	123	119	119,2238	-0,2238	0,050086
8	129	125	125,0564	-0,0564	0,003181
9	136	132	131,8611	0,1389	0,019293
10	140	130	135,7495	-5,7495	33,05675
11	145	141	140,6100	0,3900	0,1521
12	150	150	145,4705	4,5295	20,51637
∑	1502	1456	-	-	73,76064

 

Среднеквадратическая ошибка:

 

Выборочная исправленная дисперсия зависимой переменной:

 

Тогда значение скорректированного коэффициента детерминации:

 

Замечание. Коэффициент без поправки равен:

 

Значение рассчитанного коэффициента детерминации близко к 1, это свидетельствует о достаточно высоком качестве построенного уравнения. Около 96% разброса зависимой переменной объясняется с помощью данного уравнения.

6. Оценка значимости уравнения регрессии в целом.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включённых в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Оценка значимости уравнения проводится с помощью F- критерия Фишера.

Величина F – критерия связана с коэффициентом детерминации и рассчитывается по формуле:

 

F – критерий служит для проверки нулевой гипотезы H0 о том, что все коэффициенты регрессии, за исключением свободного члена а, равны нулю и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат            y (R2 = 0) или (b = 0).

Находим табличное критическое значение F-критерия, зададим уровень значимости 0,01: Fкр (1;10) = 10,04.

Т.к. Fнабл =284,12 > Fкрит =10,04, то H0 можно отклонить и сделать вывод о существенности статистической связи между y и x.

7. Проверим значимость коэффициентов уравнения зависимости объема потребления от располагаемого дохода.

Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии b, которая определяется по формуле:

 

где S2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:

 

Далее рассчитаем t – статистики:

 

 

Они служат для проверки нулевых гипотез о том, что истинное значение коэффициента регрессии b или свободного члена a равно нулю:

H0 : β = 0 (α = 0).

Альтернативная гипотеза имеет вид: H1 : β ≠ 0 (α ≠ 0).

t – статистики имеют t – распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. По таблицам распределения Стьюдента при выбранном уровне значимости α = 0,01 и (n-2) = 10 степенях свободы находят критическое значение tкр (0,01;10) = 3,169.

Т.к. |tb| = 17,71 > tкр = 3,169, то нулевая гипотеза должна быть отклонена, коэффициент b является статистически значимым.

Т.к., |ta| = 0,0498 < tкр = 3,169 то нулевая гипотеза не может быть отклонена. Коэффициент а статистически незначим.