Контрольная работа по "Эконометрике"

Содержание

Задание №1. Линейный парный регрессионный анализ   3

Задание №2. Множественный регрессионный анализ    12

Список литературы           19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 91

Задание № 1

На основе данных, приведенных в  Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (признаки 1 и 3, начиная с 46 по 95 наблюдения), требуется:

1. Построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения;
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации. Сделать выводы;
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и коэффициента корреляции с уровнем значимости 0,05;
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95;
5. Дать оценку полученного уравнения с помощью общего F-критерия Фишера.

Исходные данные представлены в  таблице 1.

Таблица 1 – Показатели деятельности производственных предприятий за 2006 год

№ наблюдения	Собственные оборотные средства, млн. руб.	Дебиторская задолженность по результатам деятельности, млн. руб.		№ наблюдения	Собственные оборотные средства, млн. руб.	Дебиторская задолженность по результатам деятельности, млн. руб.
46	1416	58		71	484	69
47	1185	44		72	1060	62
48	1220	68		73	1612	36
49	1311	64		74	1120	42
50	1288	25		75	947	52
51	918	54		76	1102	56
52	809	70		77	1302	66
53	1188	19		78	1477	32
54	1394	28		79	820	68
55	1435	54		80	1231	47
56	1514	48		81	1311	59
57	1577	44		82	1843	29
58	1579	39		83	1215	36
59	1210	26		84	1284	36
60	1448	58		85	1336	54
61	1468	28		86	1412	60
62	1661	47		87	1447	45
63	989	58		88	1593	54
64	1007	62		89	1663	49
65	1030	62		90	1114	81
66	1099	42		91	863	61
67	1197	67		92	932	49
68	1386	72		93	978	68
69	1498	45		94	1621	53
70	1672	35		95	1199	39

Решение:

Пусть признак Y – дебиторская задолженность по результатам деятельности, млн. руб., а X – собственные оборотные средства, млн. руб. В нашем распоряжении имеется 50 наблюдений.

Построим поле корреляции – множество точек (X, Y) на плоскости OXY (см. рис. 1). Из рис. 1 видно, что между признаками имеет место обратная зависимость: при росте значений признака X наблюдается уменьшение значений признака Y. То есть рост собственных оборотных средств вызывает уменьшение дебиторской задолженности, и наоборот.

Рис. 1 – Поле корреляции

Вычислим значение коэффициента линейной корреляции с помощью следующей  формулы:

где - среднее значение зависимой переменной Y;

 - среднее значение независимой переменной X;

- среднее значение произведения  индивидуальных значений X и Y;

- среднее значение квадрата  независимой переменной X;

- - среднее значение квадрата  зависимой переменной Y;

n – число наблюдений.

 

Так как  (см. таблицу 2), то коэффициент корреляции r_XY  есть:

r_XY = -0,443.

 

Линейный коэффициент корреляции r_XY отрицательный, что свидетельствует о наличии обратной связи между признаками (см. также рис. 1). При этом коэффициент корреляции достаточно близок к единице, что свидетельствует о наличии достаточно тесной линейной связи между признаками.

Вероятностная оценка существенности коэффициента корреляции при малой выборке предпочтительно осуществляется на основе расчета значения t - критерия Стьюдента:

,

где r - коэффициент корреляции;

n - число наблюдений.

Полученное  расчетное значение t - критерия Стьюдента (по абсолютной величине) сравнивают с его теоретической величиной в зависимости от 5% и 1% уровень значимости и (n-1) числа степеней свободы.

Если |t_расч.| > t_табл., то связь между фактором и результатом существенная и наоборот, если |t_расч.| < t_табл., то связь несущественная и данный фактор исключается из дальнейшего исследования.

Определим значимость коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента. Так расчетное значение t-статистики составит:

Табличное значение критерия при уровне значимости 0,95 составит: t_{0,95; 48} = 2.01. Так как |t_расч.| =| -3,42| = 3,42 > t_табл. = 2.01, то связь между фактором и результатом существенная.

 

Построим уравнение  линейной регрессии вида Y = a + bX, , где a, b – неизвестные параметры. Оценивание будем производить с использованием метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов состоит в нахождении таких значений параметров a и b, при которых значение величины:

минимально,

где Y_k – исходные значения зависимой переменной;

X_k – исходные значения независимой переменной;

k = 1, 2, 3, …, n – порядковый номер наблюдения;

n – общее число наблюдений.

Таким образом, требуется решить задачу минимизации  функции  . Данная задача может быть решена следующим образом:

_{Таким образом, мы имеем  систему линейных уравнений с двумя  неизвестными a и b:}

_{Решив систему уравнений, получим формулы  для вычисления параметров регрессии:}

,

где - среднее значение зависимой переменной Y;

- среднее значение независимой  переменной X;

- среднее значение произведения  индивидуальных значений X и Y;

- среднее значение квадрата независимой переменной X;

n – число наблюдений.

Подставляя  численные значения (см. таблицу 2), получим: b = -0.023; a = 79,852, откуда уравнение регрессии принимает вид:

Y = 79,852– 0.023·X.

Дадим экономическую  интерпретацию полученных коэффициентов  регрессии Y = a + b·X:

• коэффициент регрессии b = -0,023 показывает, что при изменении значения переменной X на единицу значение переменной Y уменьшается на 0,023 единиц. Таким образом, видно, что переменные X и Y связаны обратной зависимостью. То есть при увеличении величины собственных оборотных средств на 1 млн. руб. следует ожидать уменьшения дебиторской задолженности на 0,023 млн. руб.;
• коэффициент a = 79,852 отражает влияние на результативный признак Y факторов, неучтенных в рассматриваемой модели.

Уравнение регрессионной  линии и множество исходных точек  представлено на рис. 2.

Рис. 2 – Поле корреляции между X и Y и уравнение регрессии

 

Коэффициент детерминации R² может быть определен как квадрат коэффициента корреляции:

R² = r_XY² = 0,196,

или с использованием следующей формулы:

Коэффициент детерминации показывает, что лишь 19,6% вариации результативного признака Y объясняется вариацией фактора X. Таким образом, построенное уравнение регрессии не обладает достаточно хорошей объясняющей силой.

 

Величина остаточной (необъясненной) дисперсии составит:

Проверим гипотезу о значимости уравнения регрессии в целом. Нулевая гипотеза H₀ – гипотеза о том, что уравнение регрессии в целом статистически незначимо, альтернативная гипотеза H₁ – гипотеза о том, что уравнение регрессии в целом статистически значимо.

Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с использованием F-критерия Фишера. Сперва вычисляется фактическое значение F-критерия Фишера по следующей формуле:

или

где - факторная (или объясненная регрессией) и остаточная сумма квадратов, n – число наблюдений.

Далее следует  сравнить вычисленное фактическое  значение F-критерия Фишера с табличным значением соответствующего критерия. Если фактическое значение используемого критерия превышает табличное, то нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) (выбранный уровень значимости) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости регрессии в целом. Если же фактическое значение F-критерия Фишера меньше табличного, то говорят, что нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, то есть регрессия в целом не значима.

Проверим значимость уравнения регрессии на уровне α = 0,05.

Вычислим фактическое  значение F-критерия Фишера. В нашем случае, m = 1 (рассматривается лишь один регрессор в модели – переменная X), n = 50 (имеем 50 наблюдений). F_факт = 11,73.

Для определения табличного значения F-критерия Фишера воспользуемся таблицами распределения Фишера для заданного уровня значимости (0.95), число степеней свободы (m, n-m-1). Таким образом, F_табл = F_{0.95; 1; 48} = 4.04.

Так как F_факт = 11,73 > F_табл = 4.04, то нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью 0.95 принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения регрессии в целом.

Следовательно, допуская ошибку 5%, можно считать построенное уравнение пригодным для дальнейшего исследования и прогнозирования.

 

Выполним прогноз ожидаемого значения признака-результата Y при прогнозном значении признака-фактора X, составляющим 105% от среднего уровня X. Так среднее значение признака X составляет 1269,30 млн. руб., тогда прогноз нужно построить для значения X* = 1269,30 · 105% = 1332,77 млн. руб. Используя уравнение регрессии, будем иметь:

Y* = 79,852 – 0,023 · X* = 79,852 – 0,023 · 1332,77 = 48,93 млн. руб.

 

Оценим точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Прогнозируемое  значение признака-результата c доверительной вероятностью равной (1-a) принадлежит интервалу прогноза:

(

-t·m_p; +t·m_p),

где - точечный прогноз (Yth);

t – коэффициент доверия, определяемый по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от уровня значимости a и числа степеней свободы (n-2);

m_p- средняя ошибка прогноза.

Средняя ошибка прогноза определяется по формуле:

.

И составит в нашем случае:

Коэффициент доверия t составит t_{0.95; 48} = 2.01. Таким образом, доверительный интервал будет иметь вид:

48,93 – 13,19 · 2.01 ≤ Y* ≤ 48,93 + 13,19 · 2.01

 

22,41 ≤ Y* ≤ 75,44

 

Таким образом, было получено, что между признаками наблюдается обратная зависимость. Однако уравнение регрессии линейного вида не достаточно точно отражает действительную ситуацию, возможно, что требуется усложнение вида зависимости или добавление дополнительных признаков, оказывающих влияние на результативный признак.

Однако, не смотря на это  согласно критерию Фишера уравнение  регрессии может быть использовано для прогнозирования. Но ошибка прогнозирования при этом достаточно велика! То есть наши предположения с экономической точки зрения, а точнее с точки зрения, бухгалтерского учета, подтвердились: между показателями, предложенными для анализа, нет какой-либо значимой связи – собственные оборотные средства не оказывает какого-либо существенного влияния на величину дебиторской задолженности.

 

Таблица 2 – Вспомогательная таблица

Номер наблюдения	Y	X	X2	Y2	XY	Yth	(Y-Yth)2
46	58	1416	2005056	3364	82128	47	121,09	57,76	11,59	21520,89
47	44	1185	1404225	1936	52140	52	69,82	40,96	3,83	7106,49
48	68	1220	1488400	4624	82960	52	270,80	309,76	1,31	2430,49
49	64	1311	1718721	4096	83904	49	212,21	184,96	0,94	1738,89
50	25	1288	1658944	625	32200	50	623,31	645,16	0,19	349,69
51	54	918	842724	2916	49572	59	20,72	12,96	66,45	123411,69
52	70	809	654481	4900	56630	61	79,56	384,16	114,08	211876,09
53	19	1188	1411344	361	22572	52	1107,99	985,96	3,56	6609,69
54	28	1394	1943236	784	39032	48	380,50	501,76	8,37	15550,09
55	54	1435	2059225	2916	77490	47	55,43	12,96	14,78	27456,49
56	48	1514	2292196	2304	72672	45	10,74	5,76	32,24	59878,09
57	44	1577	2486929	1936	69388	43	0,55	40,96	50,98	94679,29
58	39	1579	2493241	1521	61581	43	17,76	129,96	51,64	95914,09
59	26	1210	1464100	676	31460	52	664,40	595,36	1,89	3516,49
60	58	1448	2096704	3364	83984	46	137,98	57,76	17,19	31933,69
61	28	1468	2155024	784	41104	46	316,46	501,76	21,26	39481,69
62	47	1661	2758921	2209	78067	41	32,36	11,56	82,61	153428,89
63	58	989	978121	3364	57362	57	1,20	57,76	42,30	78568,09
64	62	1007	1014049	3844	62434	56	30,40	134,56	37,04	68801,29
65	62	1030	1060900	3844	63860	56	36,57	134,56	30,83	57264,49
66	42	1099	1207801	1764	46158	54	152,56	70,56	15,61	29002,09
67	67	1197	1432809	4489	80199	52	222,68	275,56	2,81	5227,29
68	72	1386	1920996	5184	99792	48	590,87	466,56	7,33	13618,89
69	45	1498	2244004	2025	67410	45	0,01	29,16	28,16	52303,69
70	35	1672	2795584	1225	58520	41	36,67	237,16	87,31	162167,29
71	69	484	234256	4761	33396	69	0,14	345,96	332,03	616696,09
72	62	1060	1123600	3844	65720	55	45,47	134,56	23,59	43806,49
73	36	1612	2598544	1296	58032	42	41,58	207,36	63,23	117443,29
74	42	1120	1254400	1764	47040	54	140,76	70,56	12,00	22290,49
75	52	947	896809	2704	49244	58	34,56	2,56	55,93	103877,29
76	56	1102	1214404	3136	61712	54	2,95	31,36	15,07	27989,29
77	66	1302	1695204	4356	85932	50	267,61	243,36	0,58	1069,29
78	32	1477	2181529	1024	47264	46	184,43	338,56	23,23	43139,29
79	68	820	672400	4624	55760	61	51,47	309,76	108,69	201870,49
80	47	1231	1515361	2209	57857	51	18,39	11,56	0,79	1466,89
81	59	1311	1718721	3481	77349	49	91,54	73,96	0,94	1738,89
82	29	1843	3396649	841	53447	37	65,42	457,96	177,21	329131,69
83	36	1215	1476225	1296	43740	52	245,23	207,36	1,59	2948,49
84	36	1284	1648656	1296	46224	50	197,65	207,36	0,12	216,09
85	54	1336	1784896	2916	72144	49	26,50	12,96	2,40	4448,89
86	60	1412	1993744	3600	84720	47	166,70	92,16	10,96	20363,29
87	45	1447	2093809	2025	65115	46	1,63	29,16	17,00	31577,29
88	54	1593	2537649	2916	86022	43	123,45	12,96	56,42	104781,69
89	49	1663	2765569	2401	81487	41	59,83	1,96	83,45	154999,69
90	81	1114	1240996	6561	90234	54	728,81	936,36	12,99	24118,09
91	61	863	744769	3721	52643	60	1,37	112,36	88,88	165079,69
92	49	932	868624	2401	45668	58	85,13	1,96	61,26	113771,29
93	68	978	956484	4624	66504	57	117,52	309,76	45,69	84855,69
94	53	1621	2627641	2809	85913	42	115,79	6,76	66,60	123692,89
95	39	1199	1437601	1521	46761	52	169,81	129,96	2,66	4942,09
Сумма	2520,00	63465,00	84266275,00	137182,00	3112547,00	2520,00	8176,42	10174,00	1997,58	3710150,50
Среднее значение	50,40	1269,30	1685325,50	2743,64	62250,94	50,40