Контрольная работа по дисциплине "Эконометрика"

 

 

Задание 1

По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны значения двух признаков х – выпуск продукции, тыс. ед., у – затраты на производство, млн. руб.

х	3	3.1	2,9	2,8	3,2	3,1	2,7	2,6	3,2	3,3	3,1	3,4	3,2	2,7	2,9
у	4,5	4,7	4,6	4,7	5,2	4,8	4,5	4	4,8	5	4,7	5,5	4,9	4,5	4,5

Требуется:

1. Построить диаграмму рассеивания  и сформулировать гипотезу о  форме связи.

2. Построить модели:

2.1. Линейной парной регрессии;

2.2. Полулогарифмической парной  регрессии;

2.3. Степенной парной регрессии.

3. По значениям характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии;

4. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5 % от его среднего уровня. Для уровня значимости = 0,05 определить доверительный интервал прогноза;

5. Используя метод Гольдфельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность.

 

Решение:

1. Строим диаграмму рассеивания.

 

Анализируя точки диаграммы, предполагаем, что связь между признаками может быть линейная, т. е. .

 

2.1. Модель линейной парной регрессии.

2.1.1. Строим расчетную таблицу

№
1	3	4,5	13,5	9	20,25	4,72	-0,22	4,888889
2	3,1	4,7	14,57	9,61	22,09	4,832	-0,132	2,808511
3	2,9	4,6	13,34	8,41	21,16	4,608	-0,008	0,173913
4	2,8	4,7	13,16	7,84	22,09	4,496	0,204	4,340426
5	3,2	5,2	16,64	10,24	27,04	4,944	0,256	4,923077
6	3,1	4,8	14,88	9,61	23,04	4,832	-0,032	0,666667
7	2,7	4,5	12,15	7,29	20,25	4,384	0,116	2,577778
8	2,6	4	10,4	6,76	16	4,272	-0,272	6,8
9	3,2	4,8	15,36	10,24	23,04	4,944	-0,144	3
10	3,3	5	16,5	10,89	25	5,056	-0,056	1,12
11	3,1	4,7	14,57	9,61	22,09	4,832	-0,132	2,808511
12	3,4	5,5	18,7	11,56	30,25	5,168	0,332	6,036364
13	3,2	4,9	15,68	10,24	24,01	4,944	-0,044	0,897959
14	2,7	4,5	12,15	7,29	20,25	4,384	0,116	2,577778
15	2,9	4,5	13,05	8,41	20,25	4,608	-0,108	2,4
	45,2	70,9	214,65	137	336,81	71,024		46,01987
Сред.	3,01	4,73	14,31	9,133	22,454	4,73		3,068

 

Определим параметры :

Уравнение регрессии , т. е. с увеличением выпуска продукции на 1 тыс. един., затраты на производство увеличиваются в среднем на 1,12 млн. руб.

 

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью коэффициента парной корреляции . Предварительно определим :

Значение близко к 1, следовательно, между выпуском продукции и затратами на производство наблюдается очень тесная корреляционная связь.

 

2.1.3. Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации , т.е. данная модель объясняет 85 % вариации изменений затрат на производство от вариации объема продукции. На долю неучтенных факторов приходится 15 %.

Найдем величину аппроксимации A:

. Тогда  %, т.е. в среднем расчетные значения отклоняются от фактических значений на 3,068%.

 

2.1.4. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

Примем . Найдем табличное значение F-критерия Фишера

. Найдем фактическое значение F-критерия Фишера: .

  поэтому с вероятностью 0,95 выявленная зависимость у от х носит неслучайный характер, полученное уравнение статистически значимо, надежно и может быть использовано для прогноза.

 

2.1.5. Определим средний коэффициент эластичности:

. Он показывает, что с увеличением  выпуска продукции на 1 % затраты  на производство увеличиваются в среднем на 0,71 %.

 

2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии.

2.2.1. Строим расчетную таблицу

№
1	3	4,5	1,1	4,95	1,21	20,25	4,733	-0,233	5,177778
2	3,1	4,7	1,13	5,311	1,2769	22,09	4,8539	-0,1539	3,274468
3	2,9	4,6	1,06	4,876	1,1236	21,16	4,5718	0,0282	0,613043
4	2,8	4,7	1,03	4,841	1,0609	22,09	4,4509	0,2491	5,3
5	3,2	5,2	1,16	6,032	1,3456	27,04	4,9748	0,2252	4,330769
6	3,1	4,8	1,13	5,424	1,2769	23,04	4,8539	-0,0539	1,122917
7	2,7	4,5	0,99	4,455	0,9801	20,25	4,2897	0,2103	4,673333
8	2,6	4	0,96	3,84	0,9216	16	4,1688	-0,1688	4,22
9	3,2	4,8	1,16	5,568	1,3456	23,04	4,9748	-0,1748	3,641667
10	3,3	5	1,19	5,95	1,4161	25	5,0957	-0,0957	1,914
11	3,1	4,7	1,13	5,311	1,2769	22,09	4,8539	-0,1539	3,274468
12	3,4	5,5	1,22	6,71	1,4884	30,25	5,2166	0,2834	5,152727
13	3,2	4,9	1,16	5,684	1,3456	24,01	4,9748	-0,0748	1,526531
14	2,7	4,5	0,99	4,455	0,9801	20,25	4,2897	0,2103	4,673333
15	2,9	4,5	1,06	4,77	1,1236	20,25	4,5718	-0,0718	1,595556
	45,2	70,9	16,47	78,177	18,1719	336,81	70,8741		50,49059
Сред.	3,01	4,73	1,098	5,212	1,211	22,454	4,725		3,366

 

Определим параметры :

Уравнение полулогарифмической регрессии .

 

2.2.2. Тесноту связи оценим с помощью индекса парной корреляции . Предварительно определим :

Значение близко к 1 , следовательно, между выпуском продукции и затратами на производство наблюдается очень тесна корреляционная связь вида .

 

2.2.3. Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации . т. е. данная модель объясняет 73 % вариации изменений затрат на производство от вариации объема продукции. На долю неучтенных факторов приходится 27 %.

Найдем величину аппроксимации A:

. Тогда  %, т.е. в среднем расчетные значения отклоняются от фактических значений на 3,366 %.

 

2.2.4. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

Примем . Найдем табличное значение F-критерия Фишера

. Найдем фактическое значение F-критерия Фишера: .

  поэтому с вероятностью 0,95 выявленная зависимость у от х носит неслучайный характер, полученное уравнение статистически значимо, надежно и может быть использовано для прогноза.

 

2.2.5. Определим средний коэффициент эластичности:

. Он показывает, что с увеличением  выпуска продукции на 1 % затраты  на производство увеличиваются в среднем на 0,85 %.

 

2.3. Модель степенной парной регрессии.

2.3.1. Строим расчетную таблицу

№
1	3	4,5	1,099	1,504	1,208	1,653	4,709	0,044	4,644444
2	3,1	4,7	1,131	1,548	1,279	1,751	4,836	0,018	2,893617
3	2,9	4,6	1,065	1,526	1,134	1,625	4,58	0	0,434783
4	2,8	4,7	1,03	1,548	1,061	1,594	4,45	0,063	5,319149
5	3,2	5,2	1,163	1,649	1,353	1,918	4,963	0,056	4,557692
6	3,1	4,8	1,131	1,569	1,279	1,775	4,836	0,001	0,75
7	2,7	4,5	0,993	1,504	0,986	1,493	4,32	0,032	4
8	2,6	4	0,956	1,386	0,914	1,325	4,189	0,036	4,725
9	3,2	4,8	1,163	1,569	1,353	1,825	4,963	0,027	3,395833
10	3,3	5	1,194	1,609	1,426	1,921	5,09	0,008	1,8
11	3,1	4,7	1,131	1,548	1,279	1,751	4,836	0,018	2,893617
12	3,4	5,5	1,224	1,705	1,498	2,087	5,215	0,081	5,181818
13	3,2	4,9	1,163	1,589	1,353	1,848	4,963	0,004	1,285714
14	2,7	4,5	0,993	1,504	0,986	1,493	4,32	0,0324	4
15	2,9	4,5	1,065	1,504	1,134	1,602	4,58	0,0064	1,777778
	45,2	70,9	16,501	23,262	18,243	25,661	70,85	0,4268	47,65945
Сред	3,01	4,73	1,1	1,551	1,216	1,711	4,723	0,028	3,177

 

Определим параметры :

Уравнение степенной регрессии .

 

2.3.2. Тесноту связи оценим с помощью индекса парной корреляции . Предварительно определим , тогда

Значение близко к 1 , следовательно, между выпуском продукции и затратами на производство наблюдается очень тесна корреляционная связь вида .

 

2.3.3. Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации . т.е. данная модель объясняет 74 % вариации изменений затрат на производство от вариации объема продукции. На долю неучтенных факторов приходится 26 %.

Найдем величину аппроксимации A:

 Тогда  %, т.е. в среднем расчетные значения отклоняются от фактических значений на 3,18 %.

 

2.3.4. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

Примем . Найдем табличное значение F-критерия Фишера

. Найдем фактическое значение F-критерия Фишера: .

  поэтому с вероятностью 0,95 выявленная зависимость у от х носит неслучайный характер, полученное уравнение статистически значимо, надежно и может быть использовано для прогноза.

 

2.3.5. Определим средний коэффициент эластичности:

. Он показывает, что с увеличением  выпуска продукции на 1 % затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,817 %.

 

3. Выбор наилучшей модели

Составим таблицу полученных результатов исследований

Уравнение			А, %
	0,92	0,85	3,068	0,71
	0,855	0,73	3,366	0,85
	0,86	0,74	3,177	0,817

Выводы:

Все три уравнения оказались статистически значимыми и надежными, имеют близкий к 1 коэффициент (индекс) корреляции, высокий коэффициент (индекс) детерминации и ошибку аппроксимации в допустимых пределах. Характеристики линейной модели указывают, что она несколько лучше  полулогарифмической и степенной описывает связь между признаками х и у.

В качестве уравнения регрессии выбираем линейную модель .

 

4. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5 % от его среднего уровня.

Т. Е. для величины выпуска продукции равной 3,16 тыс. единиц прогнозное значение затрат на производство составляет 4,90 млн. руб.

 

Для уровня значимости определим доверительный интервал прогноза.

. Подставим числовые данные

,

Табличное значение

№
1	3	4,5	4,72	0,048	0
2	3,1	4,7	4,832	0,017	0,008
3	2,9	4,6	4,608	0	0,012
4	2,8	4,7	4,496	0,042	0,044
5	3,2	5,2	4,944	0,066	0,036
6	3,1	4,8	4,832	0,001	0,008
7	2,7	4,5	4,384	0,013	0,096
8	2,6	4	4,272	0,074	0,168
9	3,2	4,8	4,944	0,021	0,036
10	3,3	5	5,056	0,003	0,084
11	3,1	4,7	4,832	0,017	0,008
12	3,4	5,5	5,168	0,11	0,152
13	3,2	4,9	4,944	0,002	0,036
14	2,7	4,5	4,384	0,013	0,096
15	2,9	4,5	4,608	0,012	0,012
	45,2	70,9	71,024	0,439	0,796
Ср.	3,01	4,727	4,73