Эконометрика

 

Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 90,0%	Верхние 90,0%
Интервальные оценки для коэффициентов регрессии  при указанных уровнях надежности.

 

9. Точечный и интервальный прогноз для объясняемой переменной.

Пусть построено статистически  значимое  уравнение регрессии 

Y=a + b*X +E.  Пусть прогнозное значение объясняемой переменной требуется посчитать для точки x*.

Точечный прогноз:  Y(x*)=a + b*x*.

При этом Y(x*) –есть СВ, т.к. a и b – СВ.

Для дисперсии Y(x*) имеем:

Дисперсия точечного  прогноза  минимальна, если .  Чем дальше удалена точка, в которой строится прогноз, от  точки , тем больше дисперсия прогноза.

Для среднего квадратического отклонения (стандартной ошибки) прогноза получим:

.

Интервальный прогноз  для объясняемой переменной строится для выбранного уровня значимости α:

 где  ,  

Пример задачи ( аналог лабораторной работы №4).

На предприятии изучается  зависимость затрат Z (в миллионах рублей) от объема выпускаемой продукции V (в тысячах штук). Имеются наблюдения:

V	1	2	4	3	5	3	4
Z	30	70	150	100	170	100	150

M(V)=3,14;D(V)=1,55

M(Z)= 110

На предприятии провели  модернизацию и оказалось, что при  объеме выпуска 8 тысяч штук затраты  не превысили 250 миллионов рублей. Означает ли это, что в результате модернизации затраты снизились или полученное значение затрат укладывается в прежнюю модель?

Построим корреляционное поле:

Коэффициент корреляции очень высокий: - 0,98.  Строим  регрессию:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,991189
R-квадрат	0,982456
Нормированный R-квадрат	0,978947
Стандартная ошибка	7,254763
Наблюдения	7

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	14736,84211	14736,84211	280	1,39294E-05
Остаток	5	263,1578947	52,63157895
Итого	6	15000

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-5,78947368	7,443229276	-0,777817459	0,47185877
Выпуск  V	36,84210526	2,201736912	16,73320053	1,39294E-05

 

Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 90,0%	Верхние 90,0%
-24,92287239	13,34392503	-20,78794671	9,208999337
31,1823696	42,50184093	32,40549711	41,27871341

 Значимость F и P-значение для b значительно меньше, чем 1%, это означает, что с надежностью более 99%  можно объяснить изменение затрат объемом выпускаемой продукции.   Эмпирическая модель:  Z=-5,8 + 36,8*v.

Строим точечный прогноз, v*=8:

Z(v*)=-5,8+36,8*8=288,9.

Стандартная ошибка прогноза 

Выберем уровень значимости α =0,01=1%.

СТЬЮДРАСПОБР(0,01; 5)=4,03;  доверительный интервал для Z(8):

z₁=288,9-4,03*13,2=235,65;     z₂= 288,9+4,03*13,2=342,2.

Полученное реально  значение затрат Z=250 попадает в доверительный интервал (250>235,65), т.е. соответствует прежней модели, поэтому нельзя с надежностью 99% утверждать, что реорганизация привела к снижению затрат.

Теперь выберем уровень  значимости α=0,05=5%.

СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 5)=2,57;  доверительный интервал для Z(8):

z₁=288,9-2,57*13,2=255;     z₂= 288,9+2,57*13,2=322,9.

Полученное реально  значение затрат Z=250 НЕ попадает в доверительный интервал для объясняемой переменной при v=8, следовательно с надежностью 95% можно утверждать, что реорганизация привела к изменению модели, т.е. к снижению затрат.

6. Нелинейная регрессия.

Во многих случаях  при анализе экономических процессов  удается  получить удовлетворительные результаты  при использовании линейных моделей, однако бывают ситуации, когда линейная модель оказывается неадекватной. Такая ситуация возникла, например,  при исследовании  зависимости между уровнем безработицы и темпом прироста зарплаты. Эти исследования на основании данных за 100 лет провел Филлипс.

Аналогичная ситуация возникает  при изучении зависимостей расходов на питание, на товары длительного потребления (не роскошь) и на предметы роскоши от доходов. Такими исследованиями занимались Энгель и Торнквист.

Совершенно  очевидно, что во всех рассмотренных примерах линейные модели являются неприемлемыми.

Типы нелинейных моделей.

Рассматриваются два  типа нелинейных моделей.

Первый тип – это модели нелинейные по переменным, но линейные по параметрам.  К такому типу относятся модели:

1. Y=a + b*X + c*X² – полиномиальная модель  (пример – зависимость урожайности от количества внесенных в почву удобрений);
2. Y = a + b/X – гиперболическая модель;
3. Y= a + b*lnX  -логарифмическая модель.

Второй тип – модели, нелинейные по переменным и по параметрам:

2.1 Y=a * X^b – самая «известная»  степенная модель;

2.2  Y=a * e^x – экспоненциальная модель;

2.3  Y=1/(a + b*X) – обратная модель.

Степенная  модель используется для изучения зависимости спроса от цены при b<0 и спроса от дохода при b>0. Степенная модель также задействована в производственной функции Кобба-Дугласа.  (Кобб – математик, Дуглас – экономист). Производственная функция связывает Y – объем общественного продукта, т.е. национальный доход, с L –затратами на труд и K – затратами производственных фондов, т.е. капитала:   Y=a*L^α*K^β. Здесь факторов два – труд и капитал, a, α, β –параметры степенной регрессии.

Степенная модель называется моделью постоянной эластичности.

Напомним, что коэффициент  эластичности - характеризует относительное изменение Y в процентах при изменении X на один процент.

Для степенной модели .  Для случая функции Кобба-Дугласа α, β – эластичности национального дохода по труду и капиталу, т.е. если затраты на оплату труда увеличатся на 1%, то объем национального дохода увеличится на α%, увеличение затрат капитала на 1% повлечет увеличение национального дохода на β %.

Работать непосредственно  с нелинейными моделями сложно, поэтому  их необходимо предварительно преобразовать.

Линеаризация – это преобразование нелинейной модели к линейной путем замены переменных.

1. Линеаризация моделей первого типа.

1. Полиномиальная модель.  Введем новую переменную:  v=x²,

в результате этой замены получим:

Y=a + b*x + c*v – линейную модель с двумя факторами: x и v. Параметры этой множественной линейной регрессии определяются через МНК для множественной регрессии.

2. Y = a + b/X – гиперболическая модель.  Введем замену v=1/X, т.е. вместо двумерной СВ будем рассматривать СВ (V,Y). В результате такой замены получим обычную линейную модель  Y=a + b*V +ε, параметры которой определяются стандартным образом через МНК (например в Excel). Пусть a₀ и b₀ –искомые параметры линейной модели.  Возврат к гиперболической модели осуществляется обратной заменой:  Y = a₀ + b₀/X+ ε.

1.3 Y= a + b*lnX  -логарифмическая модель. Введем  замену  v= lnX, т. е вместо СВ (X,Y)  рассмотрим СВ (lnX,Y).  Получим обычную линейную модель  Y=a + b*V + ε, параметры которой определяются стандартным образом через МНК. Пусть a₀ и b₀ –искомые параметры линейной модели.  Возврат к логарифмической  модели осуществляется обратной заменой:  Y = a₀ + b₀*lnX + ε.

2.    Линеаризация в моделях второго типа.

2.1 Y=a * X^b – самая «известная»  степенная модель.  Прологарифмируем обе части:  ln(Y)=ln(a) +b*ln(X).  Введем замену:  Z=ln(Y),  V=ln(X), т.е. вместо СВ (X,Y) рассмотрим СВ (V,Z), и построим линейную регрессию Z = a₀ + b₀*V +ε, т.е. ln(Y)= a₀ + b₀*ln(x) + e.  Потенцируем: Y=e^a0*x^b0*e^ε.  Заметим, что если в линейной  модели ошибки относительно велики, то в степенной модели будут серьезные искажения.

2.2 Y=a * e^x – экспоненциальная модель. Для логарифмируем обе части:  ln(Y) = ln(a) + X. Введем замену:   Z=ln(Y) и рассмотрим СВ (X,Z).

Построим модель Z = a₀ + b₀*X +ε. Возвращаясь к прежним переменным, получим:  ln(Y)=ln e^{a0 + b0*X +ε}= ln(e^a0*e ^b0*^X*e^ε).  Отсюда  Y= e^a0*e ^b0*^X*e^ε

3. Y=1/(a + b*X) – обратная модель.  Для линеаризации введем замену: Z=1/Y.  Строим модель Z = a₀ + b₀*X +ε. Возвращаясь к старым переменным, получим: Y=1/( a₀ + b₀*X +ε ).

3. Оценка качества нелинейных моделей.

При исследовании нелинейных моделей в любом случае сначала  следует построить корреляционное поле для заданных СВ и попытаться построить ПЛР.  Если  корреляционное поле явно не соответствует линейной модели,  имеет смысл перейти к нелинейным моделям. Обычно подбор модели осуществляется  визуально по расположению точек на корреляционном поле, хотя это не всегда однозначно.   При рассмотрении нелинейной модели

1. проводим линеаризацию и строим новое корреляционное поле;
2. определяем  параметры ПЛР для линеаризованной модели;
3. оцениваем качество линеаризованной модели (коэффициент детерминации, значимость F-критерия);
4. возвращаемся к исходным переменным и строим для них TSS, RSS, ESS. 
5. Качество регрессии оценивается по значению ИНДЕКСА ДЕТЕРМИНАЦИИ  . 
6. Важное замечание:  для моделей первого типа индекс детерминации для нелинейной модели и коэффициент детерминации для линеаризованной модели совпадают.  Для моделей второго типа это НЕВЕРНО!

4. Признаки «хорошей» модели.

При работе с нелинейными  моделями далеко не всегда ясно, какая  модель лучше.  Для линейных моделей  проблемы нет – чем больше коэффициент  детерминации, тем лучше. (В нелинейных моделях, если линеаризация коснулась  только фактора, то оценивать  нелинейную модель можно также.) 

Иногда рассматривается  еще так называемая средняя ошибка аппроксимации:

;  или   .

Кроме того, необходимо учитывать  следующие критерии:

1. Простота – модель должна быть максимально простой. Поскольку любая модель-упрощение действительности, то чем меньше переменных и чем проще – тем лучше.
2. Максимальное соответствие.   Уравнение регрессии тем лучше, чем большую часть вариации зависимой переменной  оно может объяснить.
3. Согласованность с теорией. Никакое уравнение регрессии не может быть признано качественным, если оно не соответствует известным теоретическим предпосылкам.
4. Прогнозные качества. Модель может быть признана качественной, если полученные на ее основе прогнозы подтверждаются реальностью. (При этом следует помнить,  что период прогнозирования должен быть по крайней мере в три раза короче периода, по которому строилось уравнение регрессии.

7. Множественная линейная регрессия.

Совершенно очевидно, что как правило на объясняемую  переменную оказывают воздействие сразу несколько факторов.  К примеру – мы исследовали зависимость дохода от возраста – ясно, что доход зависит также от уровня образования (число лет «за партой»), количества иждивенцев,  материального уровня семьи и пр.  Можно рассмотреть несколько ПЛР – доход – образование, доход – количество иждивенцев и пр.  Однако безусловный интерес представляют модели, позволяющие учитывать влияние на объясняемую переменную нескольких факторов совместно.