Эконометрика

 

Введение

 

Эконометрика – наука, которая дает количественное выражение  взаимосвязей экономических явлений и процессов, т.е. осуществляет количественный анализ  реальных экономических явлений – определение Самуэльсона.  Более широкий подход – эконометрика – это любое приложение математических и статистических методов к изучению экономических процессов.

Эконометрические исследования играют чрезвычайно важную роль –  именно поэтому целый ряд эконометристов был удостоен Нобелевских премий в области экономики. В 1969 году ее получили Р. Фриш и Я. Тинберген («отцы  « эконометрики) за разработку математических методов анализа экономических процессов.  В 1980 году – Л. Клейн – за создание эконометрических моделей и их применение к анализу экономических колебаний и экономической политике. В 1989 году - Т. Хаавельмо разработал вероятностные основы эконометрики и анализ одновременных экономических структур.  В 2000 году премию получили  Д. Хекман и Д. Макфадден за развитие теории и методов анализа селективных выборок и моделей дискретного выбора.  Нобелевской премии был удостоен Джон Нэш – за создание теории равновесия «по Нэшу» - все подробности этой приемии – в фильме «Игры разума» (“Beautiful Mind”).

Самые первые попытки  количественных исследований в экономике  относятся к 17 веку. В книге «Политические  арифметики» использованы количественные оценки при расчете национального дохода, налогообложения, денежного обращения. В это же время были сделаны попытки формулирования законов в экономике – по аналогии с законами физики, которая в это время бурно развивалась. Ньютон открыл свои законы, Олаф Ремер по наблюдениям за спутниками Юпитера в 1675 году рассчитал для скорости света значение 214000 км/сек, что всего на 30% меньше истинного значения.  Наиболее известен закон Кинга, который выявил зависимость спроса на зерно в зависимости от урожая и цен.  Однако существенным отличием экономики от точных наук, таких как  биология, химия и даже физика является то обстоятельство, что экономические данные не являются результатом запланированного и контролируемого эксперимента. Хорошо бы попробовать удвоить к примеру  цены на сахар, оставив все остальные цены неизменными, и исследовать спрос, однако это абсолютно невозможно

Следующий серьезный этап количественных исследований в экономике начался в конце 19 - начале 20 веков. В это время были получены принципиальные результаты в статистике (Пирсон, Гальтон) и их применение позволило Дж. Юлу исследовать связь между уровнем бедности и формами помощи бедным.  Известно также исследование Г. Хукера зависимости между количеством браков и уровнем благосостояния.

Тогда же начали изучать изменение экономических показателей во времени – т.н. временные ряды. Яркий пример таких исследований – барометры.  Наиболее известный среди них – Гарвардский барометр, разработанный У. Персонсом и У. Митчеллом.  Они исследовали целый ряд экономических показателей, которые затем свели в 3 кривые: кривая A характеризовала фондовый рынок, кривая  B – товарный рынок, кривая   C – денежный рынок. Основная идея состояла в том, что каждая из этих кривых повторяет остальные с определенным отставанием.  Поворотные точки на кривой  A на 6-10 месяцев опережают поворотные точки кривой B, те – в свою очередь с известным интервалом опережают повороты на третьей кривой, которая связана со следующим циклом кривой A. Гарвардский барометр в целом представлял собой описание подмеченных эмпирически закономерностей и экстраполяции их на ближайшие месяцы.  Успех Гарвардского барометра породил множество менее удачных барометров.  Гарвардский же потерял чувствительность примерно к 1935 году, когда изменилась экономическая ситуация в целом, поскольку наступали времена великой депрессии.

Эконометрика возникла в 1930 году – 29.12.1930 по инициативе И. Фишера, Р. Фриша, Я. Тинбергена и др. на заседании американской  Ассоциации развития науки  было создано эконометрическое общество. (Название «эконометрика» придумал норвежец  Р. Фриш). С 1933 года издается журнал «Эконометрика», в 1941 году появился первый учебник Я. Тинбергена.  Сейчас эконометрика входит в учебный план всех экономических  специальностей.

1. Основные задачи эконометрики.

1. Построение эконометрической модели, т.е. представление экономических моделей в математической форме, удобной для анализа – проблема СПЕЦИФИКАЦИИ.  Основой для решения проблемы служит экономическая теория, и как правило она может быть решена разными способами. Эйнштейн в связи с этим сказал: «Модели должны быть настолько простыми, насколько можно, но не проще».
2. Оценка параметров построенной модели, делающих выбранную модель наиболее адекватной реальным данным (сравнение нескольких различных моделей) – проблема ПАРАМЕТРИЗАЦИИ.
3. Проверка качества найденных параметров модели и модели в целом - проблема ВЕРИФИКАЦИИ.
4. Использование построенных моделей для объяснения поведения экономических показателей, для прогнозирования, а также для осмысленного  проведения  экономической политики.

2. Регрессионный анализ.

 Основной инструмент эконометрики – регрессионный анализ. Регрессионный анализ в эконометрике – это процедура построения математической функции, связывающей некоторый экономический показатель или группу показателей с одним или более другими экономическими показателями, т.е. получение зависимости вида Y=f(X). Здесь Y – объясняемая переменная, X- объясняющая переменная  или фактор (объясняющих переменных может быть несколько).

3. Виды зависимостей.

1. –функциональная  - задается точной формулой и проявляется определенно и точно при каждом наблюдении; описывается с помощью функции одной или нескольких переменных Y=f(x) илиY=f(x₁,x₂,… ,x_n)

2. -стохастическая  - проявляется в массе наблюдений, когда изменение независимой величины приводит к изменению среднего  значения зависимой величины.  Именно такого сорта зависимости изучаются в экономике

ПРИМЕР.  Требуется исследовать  зависимость себестоимости единицы  продукции Y от объема выпускаемой продукции X.  При этом общие затраты составляют Y*X.

Y*X=b + a*X     (1),

 

где b – постоянные затраты, a – затраты, зависящие от объема.

Из (1) делением на X#0 получаем

Y=a + b/X – уравнение связи между себестоимостью и объемом (этап спецификации). В этом уравнении a и b –параметры, которые следует определить по имеющемуся набору статистических данных – этап параметризации.   Далее – допустим, что имеется несколько сотен однотипных предприятий, тогда как параметры модели мы определяли по нескольким десяткам (по выборке).  Следует оценить, насколько полученная модель адекватна (что будет, если выборка изменится)  - этап верификации.  Наконец, после всего этого можно использовать полученную модель для прогноза себестоимости продукции, если объем выпуска будет изменяться.

4. Модели в эконометрике.

В зависимости от количества факторов различают ПАРНУЮ регрессию – зависимость вида Y=f(X) и МНОЖЕСТВЕННУЮ регрессию – зависимость вида Y=f(X₁, X₂,…X_n).  (В примере рассмотрена зависимость себестоимости только от объема – это парная регрессия. Если рассмотреть зависимость себестоимости от объема X₁, энерговооруженности X₂ и количества квалифицированных сотрудников X₃ – получим множественную регрессию.

В зависимости от вида функции f(X) различают линейную и нелинейную регрессию.

 Парная линейная регрессия: Y=a + b*X.

Множественная линейная регрессия:

 Y=a + b₁*X₁.+_b2*X₂+b₃*X₃+…+b_n*X_n.

В примере рассмотрена  парная нелинейная регрессия.

В случае, когда объясняемых  переменных несколько – рассматриваются  так называемые системы одновременных уравнений.

5. Типы данных.

При моделировании экономических  процессов встречаются два типа данных:

1. Временные ряды - при исследовании зависимости некоторого экономического показателя от времени, например, динамики курса валют, динамики зарплаты и т.д. 
2. Пространственные данные -  все остальные ситуации (в примере рассмотрены пространственные данные).

2. Основные понятия теории вероятностей.

1. Случайные величины, их числовые характеристики.

Случайной величиной (СВ) называется числовая величина, которая  в результате испытания принимает некоторое заранее неизвестное значение.   Прибыль фирмы, себестоимость продукции, объем выпуска, оценка на экзамене – все это СВ.

Различают дискретные и  непрерывные СВ.   Дискретной наз. СВ, которая принимает конечное количество различных значений (оценка на экзамене). Непрерывной наз. СВ, которая может принимать любое значение из конечного или бесконечного промежутка.  Большинство СВ, исследуемых в экономике представляют как непрерывные – курс валют, доход и т.д.  Основное отличие дискретной СВ от непрерывной состоит в том, что для дискретной СВ, принимающей значения  X₁, X₂,…X_n, можно указать ненулевую вероятность того, что она принимает конкретное значение X_i. Для непрерывной СВ, принимающей значения из некоторого интервала [a,b], вероятность того, что она принимает конкретное значение равна нулю. Однако при работе с непрерывными СВ их как правило приходится преобразовывать в дискретные.

1. Способы представления дискретной СВ.

1. Ряд значений. Пусть в результате первого испытания СВ принимает значение X₁, в результате второго – X₂ и т.д.   Получаем ряд: X₁, X₂,…X_n, где n – количество испытаний. (Элементов ряда ровно столько же, сколько испытаний). Пример - На экзамене 10 человек получили следующие оценки: пятерок – 2, четверок – 4, троек -3 и один – не сдал.

СВ оценка  в виде ряда значений: 5, 4, 3, 5, 4, 3, 3, 4, 2, 4.

2. Вариационный ряд получится, если ряд значений упорядочить (по возрастанию).  В нашем случае для СВ оценка: 
   2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5.
3. Таблица частот - для каждого из возможных значений СВ указывается, сколько раз оно встречается. Пусть СВ принимает в результате N испытаний m различных значений X₁,X₂,…X_m. Тогда таблица частот имеет вид

X1	X2	..	Xn
n1	n2	..	nm

 

 

 

N = n₁+n₂+…+n_m

Для СВ оценка таблица  частот выглядит следующим образом:

5	4	3	2
2	4	3	1

 

 

 

4. Таблица вероятностей.   Для каждого из возможных значений СВ X_i указывается его вероятность p_i

X1	X2	..	Xm
p1	p2	..	pm

 

 

 

p_i=n_i/N;  p₁+p₂+…+p_m=1.

Для СВ оценка таблица  вероятностей выглядит следующим образом:

5	4	3	2
0,2	0,4	0,3	0,1

 

 

 

ДСВ задана, если задан  ряд значений или вариационный ряд, или таблица вероятностей, или  таблица частот. Любой из этих вариантов  задания можно преобразовать  во все остальные! (Именно это только что и проделано с «оценкой»!

При исследовании НСВ для наглядности ее можно преобразовывать в ДСВ.   Пример – исследуется СВ прибыль ЧП (в тыс.руб.) по 10 наблюдениям.  Данные:  (мин. – 1,5, максимум  -5,5)