Биноминальная модель оценки стоимости опционов

Так как независимо от окончательной цены акции общая  стоимость равна нулю, то при осуществлении  данной стратегии риск для инвестора  отсутствует. Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные  средства до тех пор, пока опцион «колл» стоит $20, так как инвестиционная стратегия не требует в последующем от инвестора больше никаких затрат. Подобная ситуация не может быть равновесной, так как в этом случае любое лицо может получить свободные деньги аналогичным образом

Недооценка стоимости опциона

Представим  теперь, что опцион «колл» продается  за $10 вместо $20, т.е. он недооценен. В  этом случае инвестор решит купить один опцион «колл», получив средства от «короткой» продажи 0,5556 акций, и инвестировать $41,03 под безрисковую ставку. Чистая денежная сумма после этого (т.е. для /= 0) составит $4,53 [-$10 + (0,5556 х $100) - $41,03]. Это означает, что инвестор получит чистый приток денежных средств. В конце года (т.е. для t = 7) инвестор получит следующие средства:

Состав портфеля	Выплата в «верхнем положении»	Выплата в «нижнем положении»
Инвестиции в опцион «колл»	25,00	0,00
Возврат средств по «короткой» продаже акций	-0,5556х $125= -$69,45	-0,5556 х $80 = -$44,45
Безрисковое инвестирование	$41,03х 1,0833 = $44,45	$41,03 х 1,0833 = $44,45
Чистые выплаты	$0,00	$0,00

И снова независимо от итогового курса акции общая  стоимость портфеля paвна нулю. Это  означает, что при осуществлении  данной стратегии для инвестора отсутствует риск потерь. Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные деньги до тех пор, пока опцион «колл» стоит $10. Такая ситуация не может быть равновесной, поскольку любое лицо может получить свободные средства аналогичным образом.

 Коэффициент хеджирования

Допустим, что  мы занимаем $41,03 и покупаем 0,5556 акций компании Wopov и таким образом, воспроизводим опцион «колл» на эти акции. Теперь рассмотрим то влияние которое окажет на стоимость воспроизведенного портфеля изменение курса акций завтра (а не через год). Так как в портфель входит 0,5556 акций, то стоимость портфеля изменится на $0,5556 при изменении курса акций Wopov на $1. Но так как опцион «колл» и портфель должны продаваться по одной цене, то цена опциона «колл» также должна измениться на $0,5556 при изменении курса акции на $1. Данная взаимосвязь называется коэффициентом хеджирования (hedge ratio) опциона. Он равен числу N_s которое было определено в уравнении выше.

Для опциона  «колл» на акции компании Wopov коэффициент хеджирования составлял 0,5556, что равно ($25 - $0)/($125 - $80). Обратите внимание на то, что числитель равен разности между выплатами по опциону в «верхнем» и «нижнем» положениях, а знаменатель - разности между выплатами по акции в этих двух положениях. В общем виде в биноминальной модели:

h=(P_ou-P_od)/(P_so-P_sd)

где P- это цена в конце периода, а индексы обозначают инструмент (о - опцион, s -акция) и положение (и - «верхнее», d - «нижнее»).

Чтобы воспроизвести  опцион «колл» в условиях биноминальной  модели, необходимо купить h акций. Одновременно необходимо получить под ставку без риска средства путем «короткой» продажи облигации. Эта сумма равна:

B=PV(hP_sd- P_od)

где PV- дисконтированная стоимость суммы, указанной в  скобках (стоимости облигации в конце периода). В итоге стоимость опциона «колл» равна:

V₀=hP_s-B

где h и В - это коэффициент хеджирования и текущая стоимость «короткой» позиции по облигации в портфеле, который воспроизводит выплаты по опциону «колл».

Вполне резонно  усомниться в точности модели ВОРМ, когда она основана на предположении, что курс акции компании Wopov может принимать в конце года только одно из двух значений. В действительности курс акции Wopov может принять в конце года любое из множества значений. Однако это не создает проблемы, так как мы можем развить модель.

Для рассматриваемого случая с акциями компании Wopov разделим год на два периода по шесть месяцев. Предположим, что за первый период курс акции Wopov может подняться до $111,80 (рост на 11,80%) или снизиться до $89,44 (падение на 10,56%). За следующие шесть месяцев курс акции Wopov может вновь или возрасти на 11,80%, или уменьшиться на 10,56%. Таким образом, курс акции Wopov будет изменяться в соответствии с одним из направлений «дерева цены» на рис. 2(б) за следующий год. Теперь акция Wopov может в конце года иметь один из следующих курсов: $125, $100 или $80. На рисунке также приводится соответствующая стоимость опциона для каждого значения курса акции.

Как по данным рисунка  можно определить стоимость опциона  «колл» на акции компании Wopov в момент времени 0? Ответ весьма прост. Изменение состоит лишь в том, что проблема разбита на три части, каждая из которых решается таким же образом, как было показано ранее при обсуждении рис. 2(а). Три части должны рассматриваться последовательно в обратном порядке.

6.2. Для опционов «пут»

Можно ли использовать модель ВОРМ для оценки стоимости опционов «пут»? Так как формулы охватывают любой набор выплат, то их можно использовать для этой цели. Рассмотрим еще раз акции компании Wopov в случае годичного периода, при этом цена исполнения опциона «пут» — $100, дата истечения — один год с сегодняшнего числа. «Дерево цены» будет выглядеть следующим образом:

$125             Р₀ = 0

$80               Р₀ = $20

Коэффициент хеджирования для опциона «пут» -0,4444 [($0-$20) /($125 - $80)]. Это отрицательная величина. Она означает, что повышение курса акции приведет к уменьшению цены опциона.

В равно - $51,28. Это - дисконтированная стоимость величины, которая в конце года составляет - $55,55. Так как это отрицательные величины, то они означают сумму, которую надо заплатить за облигации (т. е. отрицательная стоимость «короткой» позиции может рассматриваться как стоимость «длин ной» позиции).

Чтобы воспроизвести  опцион «пут», следует осуществить  «короткую» продажу 0,4444 акций Wopov и предоставить кредит (т.е. инвестировать в безрисковую облигацию) $51,28. Так как «короткая» продажа принесет $44,44, а за облигацию будет уплачено $51,28, то чистая стоимость воспроизведения портфеля составит $6,84 [($51,28 – (-$44,44))]. Таким образом,,это и есть действительная цена опциона «пут».

Это та же цена, что и полученная из уравнения (20.7): $6,84 [0,4444 х $100 -(-$51,27)] где h = 0,4444, В = -$51,28 и P_s= $100. Таким образом, полученные выше уравнения для опциона «колл» можно использовать применительно к опционам «пут».

 

Заключение

Опцион — это контракт между двумя инвесторами, который предоставляет одному инвестору право (но не обязательство) продать или купить у другого инвестора определенный актив по определенной цене в течение определенного периода времени. Существует два основных вида опционов. Это опцион «колл» и опцион «пут».

Опцион «колл» на акции дает право покупателю приобрести определенное количество акций определенной компании у продавца опциона по определенной цене в любое время до определенной даты включительно.

Опцион «пут»  на акции дает его покупателю право продать определенное количество акций определенной компании продавцу опциона по определенной цене в любой момент времени до определенной даты включительно.

Общими для  обоих видов опционов являются параметры:

• Компания, акции которой могут быть куплены.
• Число приобретаемых акций.
• Цена приобретения акций, именуемая ценой исполнения (exercise price), или цена «страйк».
• Дата, когда право купить утрачивается, именуемая датой истечения (expiration date).

Существуют  два стиля опциона: европейский и американский. Европейский стиль означает, что опцион может быть использован только в фиксированную дату; американский стиль - в любой момент в пределах срока опциона.

Опционная торговля на биржах облегчается благодаря  стандартному характеру контрактов. Данные биржи пользуются услугами клиринговой корпорации, которая регистрирует все сделки и выступает покупателем опционов для всех продавцов опционов и продавцом для всех покупателей опционов.

Продавцы опционов должны вносить маржу для обеспечения исполнения своих обязательств. Сумма и форма маржи зависят от конкретного опциона и осуществляемой стратегии.

Внутренняя  стоимость опциона «колл» равна  разности между курсом акции и  ценой исполнения опциона при  условии, если эта разность положительна. В противном случае внутренняя стоимость опциона равна нулю.

Внутренняя  стоимость опциона «пут» равна  разности между ценой исполнения и курсом акции при условии, если эта разность положительна. В противном  случае внутренняя стоимость опциона  равна нулю.

Опционы «колл» и «пут» не могут стоить меньше их внутренней стоимости. Однако они  могут продаваться по более высокой  цене, чем их внутренняя стоимость, в результате наличия временной  стоимости.

Биноминальная модель оценки премии опциона может  использоваться для определения действительной стоимости опциона при предположении, что базисный актив равен одной из двух возможных известных цен по истечении каждого из ограниченного числа периодов и при условии, что известна его цена в начале каждого периода.

Коэффициент хеджирования опциона показывает изменение стоимости опциона при изменении цены базисного актива на $1.

В соответствии с моделью оценки стоимости опциона Блэка-Шоулза стоимость опциона определяется пятью факторами: рыночным курсом акции, ценой исполнения, сроком действия опциона, ставкой без риска и риском обыкновенной акции (при этом предполагается, что ставка без риска и риск обыкновенной акции - постоянные величины в течение всего времени действияопциона).  
Список Литературы

1. Бердникова Т.Б.   Рынок  ценных бумаг и биржевое дело. М.: ИНФРА – М, 2003.
2. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки.: Тривола, 2008.
3. Чесноков. А.С.  Инвестиционная стратегия, опционы и фьючерсы. НИИ  Управления Мин. Экономики РФ, 2009.
4. Четыркин Е.Н. Финансовая математика: Учебник, М., 2003.
5. Архив журнала "Рынок ценных бумаг" (www.rbc.ru)
6. Материалы издания «Корпоративный менеджмент» (www.cfin.ru)