Биоматричные игры

• в ситуации равновесия ни один из игроков, действуя в одиночку, не может увеличить своего собственного выигрыша;
• в ситуации, оптимальной по Парето, игроки, действуя совместно, не могут (даже нестрого) увеличить выигрыш каждого.

                                      Оптимальность по Парето

 
Содержательные представления об устойчивости, выгодности и справедливости многообразны. Выше мы рассматривали проявление устойчивости через равновесие. Существует и иной вариант устойчивости ситуации, в большей степени, чем равновесность, отражающий черты ее выгодности. Это оптимальность по Парето. 
                                             Множество Парето 
 
Рассмотрим на плоскости (U, V) множество Ω (рис. 8). Каждая его точка обладает одним из следующих свойств: либо все точки, ближайшие к ней, принадлежат множеству Ω (такая точка называется внутренней точкой множества Ω), либо сколь угодно близко от нее расположены как точки множества Ω, так и точки, множеству Ω не принадлежащие (такие точки называются граничными точками множества Ω). Граничная точка может как принадлежать множеству Ω, так и не принадлежать. Здесь мы будем рассматривать только такие множества, которым принадлежат все точки границы. Множество всех граничных точек множества называется его границей. Обозначение: дΩ. 
 
 
 
Рис. 8 Рис. 9 
Пусть М — произвольная точка множества Ω, внутренняя или граничная, и (U, V) —ее координаты. Поставим следующий вопрос: можно ли, оставаясь во множестве Ω, переместиться из точки М в близкую точку так, чтобы при этом увеличились обе ее координаты. Если М — внутренняя точка, то это бесспорно возможно. Если же М — граничная тонка, то такое возможно не всегда (рис. 9). Из точек М₁, М₂, М₃ это сделать можно, но уже из точек вертикального отрезка АВ можно переместиться, увеличивая лишь координату V (координата U при этом остается неизменной). Перемещая точку горизонтального отрезкаPQ вправо, мы увеличиваем координату U (при этом координата V сохраняет свое значение). Что же касается дуги BQ, то перемещение вдоль нее способно увеличить лишь одну из координат при одновременном уменьшении другой. 
 
Тем самым, точки множества Ω можно разбить на три класса: 

•  
  в первый класс относятся точки, которые, оставаясь во множестве и, можно сдвинуть так, чтобы одновременно увеличились обе координаты (в этот класс попадают все внутренние точки множества Ω и часть его граничных точек),
•  
  второй класс образуют точки, перемещением которых по множеству Ω можно увеличить только одну из координат при сохранении значения второй (вертикальный отрезок АВ и горизонтальный отрезок PQ на границе множества Ω),
•  
  в третий класс попадут точки, перемещение которых по множеству Ω способно лишь уменьшить либо одну из координат, либо обе (дуга BQ границыдΩ) (рис. 10).

 
Множество точек третьего класса называется множеством Парето, или границей Парето данного множества Ω (выделено на рис. 10). 
 
 
 
Рис. 10 
 
 
 
Рис. 11 
 
 
                             Метод идеальной точки 
 
Пусть на плоскости (х, у) задано множество ω (рис. 11) и в каждой точке этого множества определены две непрерывные функции 
 
U = Ф(х, у) и V = ψ(х, у) 
 
Рассмотрим следующую задачу. 
 
Во множестве ω найти точку (х_*, у_*), в которой 
 
 и   
 
Обычно это записывается так 
 
Ф(х, у) → max и ψ(х, у) → max 
 
 
 
Сразу же отметим, что в общем случае поставленная задача решения не имеет. В самом деле, нарисуем на плоскости (U, V) все точки, координаты которых вычисляются по формулам 
 
U = Ф(х, у) и V = ψ(х, у),   
 
Из рис. 12 видно, что наибольшее значение U - U_max — и наибольше значение V - V_max — достигаются в разных точках, а точка с координатами 
 
(U_max , V_max) 
 
лежит вне множества Ω. 
 
Тем самым, в исходной постановке задача, вообще говоря, неразрешима — удовлетворить обоим требованиями одновременно невозможно. И, следовательно, нужно искать какое-то компромиссное решение. 
 
Опишем один из путей, использующий множество Парето. 
 
 
 
Рис. 12 Рис. 13 
Сначала на плоскости (U, V) задается целевая точка, в качеств координат которой часто выбирается сочетание наилучших значений обоих критериев U и V. 
 
В данном случае это точка (U_max , V_max). 
 
Вследствие того, что обычно такая точка при заданных ограничениях не реализуется, ее называют точкой утопии. 
 
Затем строится множество Парето и на нем ищется точка, ближайшая к точке утопии — идеальная точка (рис. 13).

 
               Оптимальность по Парето в биматричной игре

2.  
   Обратившись к игре «Дилемма узников», покажем, как практически отыскиваются оптимальные по Парето ситуации. 
    
    
   Рис. 14 
    
   Напомним, что соответствующие платежные матрицы в этой игре имели следующий вид 
    
    
    
   Тем самым, на единичном квадрате 
    
    
    
   (рис. 14) возможных значений вероятностей р и q заданы две функции 
    
    
    
   Точки с координатами (U, V), вычисленными по приведенным формулам, на плоскости (U, V) заполняют четырехугольник с вершинами К(-1, -1), L(-9, 0),М(-6, -6) и N(0, -9) (рис. 15). Граница Парето этого множества — ломаная NKL. 
    
    
   Рис. 15 Рис. 16 
   Каждый из игроков заинтересован в наибольшем значении своего среднего выигрыша 
    
    
    
   Нетрудно заметить, что в данном случае 
    
   U_max = 0 и V_max = 0. 
    
   Тем самым, точкой утопии в этой задаче является начальная точка О (0, 0). Ближайшая к ней точка множества Парето — К (-1, -1) (рис. 16). 
    
   Идеальная точка К (-1, -1) — точка с наибольшими выигрышами для каждого из игроков — оказывается лучше, чем равновесная точка М(-6, -6), и ей соответствуют чистые стратегии обоих игроков 
    
   p = 1, q = 1. 
    
    
   10. ЗАКЛЮЧЕНИЕ [Воробьев Н.Н. Название: Матричныеигры.] 
   На анализе полученных результатов стоит остановиться чуть подробнее. 
    
   Из приведенных примеров видно, что числа С и D из соотношений (**) могут быть как положительными, так и отрицательными. Они могут, в частности, даже обращаться в нуль. 
    
   Рассмотрим однако наиболее интересный в приложениях случай, когда ни С ни D нулю не равны, т. е. 
    
   CD ≠ 0. 
    
   Тогда, как нетрудно видеть, точка равновесия определяется парой 
    
    
    
   Эти формулы являются весьма примечательными: в равновесной ситуации выбор игрока ^ А полностью определяется элементами платежной матрицы игрока В, 
    
    
    
   (и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы), а выбор игрока ^ В в равновесной ситуации полностью определяется элементами платежной матрицы игрока А 
    
    
    
   (и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы). 
    
   Иными словами, равновесная ситуация обоих игроков определяется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько желанием держать под контролем выигрыш другого игрока (минимизировать этот выигрыш). И если, например; заменить в биматричной игре матрицу выплат игроку А, а матрицу выплат игроку В оставить прежней, то игрок А никак не изменит своего «равновесного» поведения (просто не обратит внимания на эту замену), в то время как игрок В изменит свою стратегию на новую, равновесную. 
    
   Таким образом, в биматричной (неантагонистической) игре мы вновь встречаемся с антагонизмом. Правда, теперь это уже не антагонизм интересов (как это было в антагонистической, матричной игре), а антагонизм поведения. 
    
   Отметим, что в биматричными играх (в отличие от матричных) при наличии не 
   скольких ситуаций равновесия средний выигрыш игрока в разных равновесных ситуациях различен (напомним, что в матричной игре выигрыш игрока один и тот же вне зависимости от количества точек равновесия). 
    
   Но если средние выигрыши разнятся, то какую равновесную ситуацию следует считать оптимальной? 
    
   Наконец, еще одно, не менее интересное. Вспомним, с какими трудностями мы столкнулись, пытаясь перевести эмоциональные оценки результатов общения студент-преподаватель в количественные показатели. В целом сохраняя основные соотношения, эти количественные оценки могут, конечно, изменяться как от студента к студенту, так и от преподавателя к преподавателю. Однако, если эти изменения будут не слишком значительными — элементы платежной матрицы пошевельнутся «слегка» — то слегка пошевелятся и зигзаги, не изменяя ни своей общей формы, ни взаимного расположения, а, значит, число равновесных ситуаций не изменится. Впрочем, сказанное относится лишь к случае, когда множество ситуаций равновесия конечно и состоит из нечетного числа точек (одной или трех). Как принято говорить в подобных случаях, это число устойчиво относительно малых шевелений. 
    
   Конечно, в некоторых биматричных играх равновесные ситуации случаются и в чистых стратегиях (в последнем из разобранных примеров таких ситуаций даже две). И (в принципе это совсем нетрудно) можно дать определение ситуации равновесия в чистых стратегиях. Найти ее (если она, конечно, существует) — дело довольно простое. Но, как показывают приведенные примеры, во-первых, чистой ситуации равновесия может вовсе не быть, а, во-вторых, даже при ее наличии не исключено существование равновесных ситуаций в смешанных стратегиях. И желая найти их все, неизбежно приходится обращаться к описанному выше подходу. 
    
   Реальные конфликтные ситуации приводят к разным видам игр. Различны и способы их анализа и разрешения.

3. http://math.semestr.ru/games/bgame.php
4. http://economuch.com/predpriyatiya-ekonomika/111-dopolnenie-reshenie-bimatrichnyih-igr.html
5. Воробьев Н.Н. Название: Матричныеигры.

¹ Минимаксная стратегия - выбор из максимальных (наихудших) проигрышей минимальных (наилучших). (2.Общее введение в теорию игр.)

² Максиминная стратегия -  выбор из минимальных (наихудших) выигрышей максимальных (наилучших). (2.Общее введение в теорию игр.)

³ Антагонизм интересов – противобортсвующие интересы. (Воробьёв Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. - М: «Наука», 1985. - 272с.)

⁴ Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя.( Воробьёв Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. - М: «Наука», 1985. - 272с.)

⁵ Стратегией называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. (Аркин П.А., Межевич К.Г., Исследование операций/ учебное пособие.-СПб.:СПбГТИ(ТУ), 2008.-333с.)