Моделювання і прогнозування змін викидів шкідливих речовин в атмосферу

+( ) +( ) =

(

) +( ) +( ) =

(

) +( ) +( ) =

Очевидно, що для побудови цієї системи рівнянь необхідно накопичити наступні суми: ; ; ; ; ; ; .

Вирішувати отриману систему зручно методом Гауса чи на ЕОМ.

=1+2+3+4+5+6+7=28

=90+183+325+430+387+190+192=1797

=1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²=140

=1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³=784

=1⁴+2⁴+3⁴+4⁴+5⁴+6⁴+7⁴=4676

=1*90+2*183+3*325+4*430+5*387+6*190+7*192=7570

=1²*90+2²*183+3²*325+4²*430+5²*387+6²*190+7²*192=34870

Отримані данні можливо звести у таблицю 4.

Таблиця 4.

	хі	уі	х2	х3	х4	x*y	y*x2
1	1	90	1	1	1	90	90
2	2	183	4	8	16	366	732
3	3	325	9	27	81	975	2925
4	4	430	16	64	256	1720	5200
5	5	387	25	125	625	1935	9675
6	6	190	36	216	1296	1140	6840
7	7	192	49	343	2401	1344	9408
Сумма	28	1797	140	784	4676	7570	34870

 

Розв’язувати отриману систему зручно методом Гаусса:

7 +28 +140 =1,797

28 +140 +784 =7,570

140 +784 +4676 =34,870

	7	28	140		а0		1,797
А=	28	140	784	х=	а1	Н=	7,57
	140	784	4676		а2		34,87

∆ = 7*(140*4676 - 784²) - 28*(28*4676 - 140*784) + 140*(28*784-140²) = 279 888 - 592 704 + 329 280 = 16464

∆с₀ = 1797*(140*4676 - 784²) - 28*(7570*4676 – 34870*784) + 140*(7570*784 – 34870*140) =  -6376270

∆с₁ = 7*(7570*4676 – 34870*784) – 1797*(28*4676 – 140*784) + 140*(28*34870 – 140*7570) = 5975384

∆с₂ = 7*(140*34870 – 784*7570) – 28*(28*34870 – 140*7570) + 1797*(28*784 - 140²) = -796117

За даними розрахунків регресійна модель зміни викидів пилу Р, мг/с від часу t, у вигляді загального рівняння другого порядку Р(t) = с_о+с₁t+с₂t² має вигляд

Р(t) = – 147,29 + 246,6 t – 29,12 t²

Представимо отриману регресійну модель на загальному графіку  від часу t.

Р₁ = – 147,29 + 246,6 * 1 – 29,12 * 1 = 70,19

Р₂ = – 147,29 + 246,6 * 2 – 29,12 * 4 = 229,43

Р₃ = – 147,29 + 246,6 * 3 – 29,12 * 9 = 330,43

Р₄ = – 147,29 + 246,6 * 4 – 29,12 * 16 = 357,71

Р₅ = – 147,29 + 246,6 * 5 – 29,12 * 25 = 337,19

Р₆ = – 147,29 + 246,6 * 6 – 29,12 * 36 = 283,99

Р₇ = – 147,29 + 246,6 * 7 – 29,12 * 49 = 152,03

Отримані данні можливо звести у таблицю 5.

Таблиця 5.

t	1	2	3	4	5	6	7
Р, мг/с	70,19	229,43	330,43	357,71	337,19	283,99	152,03

 

Представимо отриману регресійну модель на загальному графіку  від часу t.

Рис. 4. Модель у  вигляді параболи

Висновок: на рисунку 4 відображена регресійна модель зміни інтенсивності викидів Р, мг/с на протязі часу t,с, представлена у вигляді рівняння другого порядку Р(t) = – 147,29 + 246,6 t – 29,12 t². Побудований графік даної функції характеризує зміну викидів оксиду вуглецю у атмосферу підприємством на протязі семи діб.

 

3.4. Визначення  числовим методом часу екстремального  викиду і величини останнього  викиду

На основі отриманої  моделі визначимо числовим методом  час екстремального викиду і величину останнього.

Щоб визначити  час екстремального викиду і величину останнього, потрібно узяти похідну  з отриманої моделі.

Р(t) = – 147,29 + 246,6 t – 29,12 t²

Р(t)' = 246,6 – 58,24 t

t max ≈ 4

Р max ≈ 357,71

Максимальний  викид прийшов на 4-у добу у розмірі приблизно мг/с.

3.5. Прогноз методом експонентного згладжування

Оцінемо ступінь  впливу кожної точки вихідного часового ряду на прогнозовану. Очевидно, що в  багатьох випадках останні точки  передісторії мають значно більший вплив на прогноз, ніж перші, тобто прогноз методом експонентного згладжування враховує ступінь впливу кожної точки вихідного часового ряду на прогнозовану. Сутність методу полягає в згладжуванні часового ряду за допомогою зваженої ковзної середньої, у якій вага спостережень підкоряються експоненціальному закону імовірності.

Застосуємо  рекурентну формула Р. Брауна для  визначення експонентної середньої р-го порядку:

де  - безрозмірний параметр згладжування, що вибирається в межах , при цьому він дозволяє керувати впливом даних часового ряду на прогнозовану точку (при =0 на прогноз будуть однаково впливати всі точки часового ряду, а при =1 - тільки остання); ; - порядок середніх (порядок полінома, що інтерполює). Характерно, що при , експонентні середні являють собою вихідний часовий ряд .

Відповідно  до цієї моделі кількість розв'язуваних рівнянь залежить від р.

При р=1 маємо модель нульового порядку з одним рекурентним рівнянням вигляду:

Відповідно  до цієї моделі одержимо тренд, початкова  точка якого дорівнює середньому значенню передісторії, тобто:

а прогнозне  значення оцінюється величиною:

Таким чином, останнє  значення, обчислене за рекурентною  моделлю нульового порядку, чисельно дорівнює прогнозу на наступний дискретний момент часу.

Точність прогнозу оцінемо за фактичною контрольною  точкою часового ряду, яка порівнюється з прогнозованою:

Для заданого часового ряду дамо прогноз по семи точкам передісторії на восьму й оцінимо точність прогнозу:

Таблиця 6.

Вихідні дані

t, доба	1	2	3	4	5	6	7	8
P, мг/с	90	183	325	430	387	190	192	245

 

Задаємося параметром згладжування ( ) або обчислимо його за формулою:

Обчислимо початкове значення експоненціальної середньої:

Обчислимо послідовно експонентні середні з першої по сьому:

Прогнозоване  значення тимчасового ряду в восьмій  точці дорівнює сьомій експоненціальній середній:

Рис. 5. Прогноз  методом експонентного згладжування.

 

Точність прогнозу оцінюють за фактичною контрольною точкою часового ряду, яка порівнюється з прогнозованою:

Так як точність прогнозу складає 5,4%, то можна стверджувати про достовірність даних розрахунків.

3.6. Прогноз викидів СО на 8, 9, 10-ту добу

Прогноз на восьму, дев’яту і десяту добу можна дати за допомогою стандартної програми на ЕОМ, представивши розрахунковий  часовий ряд у вигляді лінійного, параболічного чи ступінчастого  трендів.

Прогноз степенной  модели.

Y(t) =130,7*t^0,458,  t=n+1,n+2,...,n+np.

а = 130,7

b = 0,458

t = 8 ... 10

t = 8	Y( 8 )= 338,759
t = 9	Y( 9 )= 357,535
t = 10	Y( 10 )= 375,211

 

Рис. 6. Прогноз  у вигляді степенного тренду.

 

Висновок: представивши розрахунковий часовий ряд у вигляді степенного тренду,  отримуємо  прогноз на восьму, дев`яту  і десяту добу:

Р(8) = 338,759мг/с,  Р(9) = 357,535мг/с і Р(10) = 375,211мг/с.

 

 

 

 

 

ВИСНОВОК

 

Аналіз  результатів прогнозу і вибір  моделі тренду

 

Пункт контролю забруднення атмосфери контролює  концентрації Ci шкідливих речовин у повітрі поблизу промислового підприємства.

1. В роботі за даними концентрації С_і шкідливої речовини - СО - у повітрі поблизу промислового підприємства, що зареєстровані пунктом контролю забруднення атмосфери, були визначені на основі прикладних діаграм середньодобові значення інтенсивності викидів Р, мг/с, Р’, середні, які отримувалися методом згладження „за трьома точками”, побудована регресійна модель, а також прогноз методом експонентного згладжування, тобто проводилося дослідження двох основних видів моделей: прогнозної та регресійної.

2. За результатами моделювання та прогнозування зміни викидів СО в атмосферу промисловим підприємством виявилось, що найкращою моделлю, котра описує зміни викидів шкідливої речовини в атмосфері є залежність у вигляді параболи другого порядку загального виду, яка має рівняння: Р(t) = – 147,29 + 246,6 t – 29,12 t², оскільки вона являється прогнозною. За її допомогою можна прогнозувати зміни викидів підприємства шкідливої речовини СО промисловим підприємством у атмосферу.

Таким чином, викиди шкідливих речовин в атмосферу промисловим підприємством відбуваються у вигляді параболи загального виду: спочатку спостерігається збільшення інтенсивності викидів, а потім – зменшення. Максимальне значення , тобто критична (екстремальна) точка – це вершина параболи: викиди, що проводилися на четвертий день P = 357,71 мг/с.

Прогноз на восьму, дев’яту і десяту добу, можна  дати, представивши розрахунковий часовий  ряд у вигляді степенного тренду: Р(8)= 338,759 мг/с, Р(9) = 357,535 мг/с і Р(10) = 375,211мг/с.

Отже, в ході виконання курсової роботи були спрогнозовані  зміни викиду шкідливих речовин  в атмосферу поблизу промислового підприємства.

 

 

 

 

 

СПИСОК  ЛІТЕРАТУРИ

 

1. В.Є.Колесник. Методичні вказівки до курсової роботи „Моделювання і прогнозування змін викидів шкідливих речовин в атмосферу” з дисципліни „Моделювання і прогнозування стану довкілля”, - Дніпропетровськ: Національний гірничий університет, 2002. – 10 с.

 

2. Петросян Л.А., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. – Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1986. – 224 с.

 

3. П.І.Ковальчук. Моделювання і прогнозування стану навколишнього середовища./ Навч.посібник. –К.:Либідь, 2003.  –208 с.

4. Математическое моделирование/ Под ред. Дж. Эндрюса и р. Мак-Лоуна. – М.: Изд-во «Мир, 1979. – 580 с.