Причины возникновения экономического риска

 r_ij – коэффициент корреляции доходов между i-м и j-м активом. 

        

Наличие совершенной  положительной корреляции (рис. 4.1. а) наблюдается, например, при приобретении двух видов обычных акций одной корпорации, выпущенных на одинаковых условиях. Это означает, что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относительно высокую доходность. Стандартное отклонение ставок дохода по портфелю в этом случае рассчитывается как средневзвешенная из стандартных отклонений доходов, входящих в состав портфеля активов.

При наличии совершенной  отрицательной корреляции (рис. 4.1. б), когда при уменьшении дохода по одной акции на один пункт происходит увеличение на один пункт по другой, инвестор получает возможность уменьшить стандартное отклонение дохода по этим двум активам вместе до нуля, т.е. свести риск к минимуму.

 

10. Постановка задачи об оптимальном портфеле.

Задача оптимизации  заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали целям инвесторов. Например, целевой функцией может быть минимизация риска при заданной доходности, или максимизация дохода при риске не выше заданного. При этом на компоненты вектора Х, представляющего портфель, могут накладываться различные ограничения,  зависящие от вида сделки, типа участвующих активов, величины открываемых позиций и т. д. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка называются допустимыми.

1.В модели Блека допустимыми являются любые портфели. Это значит, что вектор Х удовлетворяет лишь основному ограничению:

Наличие коротких позиций (отсутствие условия неотрицательности) позволяет реализовать любую, сколь  угодно большую доходность, естественно  за счет большого риска.

2) В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Это значит, что на вектор Х  накладываются два ограничения:

  основное           ;

  и неотрицательности             x_i ³ 0

         для всех  i.

Портфель  называют стандартным, если инвестор по каждому активу находится в длинной (long) позиции. Длинная позиция — это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиций). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи. Допустим, что относительно некоторого актива инвестор уверен в обратном, то есть в понижении его стоимости. В этом случае он может совершить сделку, которая называется короткой продажей (short sale). Для этого он берет данный актив взаймы у другого инвестора (кредитора), сразу же продает его, а впоследствии покупает на рынке по сниженной цене и возвращает его своему кредитору.  При этом он обязан выплатить кредитору текущий доход по активу за время сделки и некоторый процент за предоставление самой возможности сделки (за кредит). На большинстве фондовых бирж короткие продажи вполне допустимы и часто используются, но ввиду их особой рискованности биржи могут вводить ограничения на общую величину коротких позиций в сделках.

Особенностью  модели Марковица является то, что доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей  доходности  активов, из которых он построен.

3) Модель Тобина-Шарпа-Литнера. В этой модели предполагается наличие так назывемых безрисковых активов, доходность которых не зависит от состояния рынка и имеет постоянное значение.

Пример 4..1.

Сформировать  портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг -  АРТ с  эффективностью12% и риском 21.1 и ВЕРМ с эффективностью 5.1% и риском 8.3 при  условии, что обеспечивается доходность портфеля (m_p =S x_i m_i) не менее 8.9%. Коэффициент корреляции равен 0.18.

Решение.

Модель Марковица  может быть сформулирована следующим  образом.

Необходимо  найти вектор Х= (X₁, X₂), минимизирующий риск портфеля s_p.

X₁ - доля в портфеле ценных бумаг АРТ;

X₂ - доля в портфеле ценных бумаг ВЕРМ,

s_p= = =

= ® min

При ограничениях:

X₁ + X₂ =1

12´ X₁ + 5.1´ X₂   ³ 8.9

X₁,X₂ ³ 0

 

 

11. Формирование оптимального портфеля с помощью ведущего фактора финансового рынка.

 

Практика показывает, что на фондовом рынке одновременно объектом купли-продажи являются акции  большого числа эмитентов, имеющие  разную степень доходности.

Во всех странах с  развитым рынком ценных бумаг для  определения общей тенденции в изменении курсов акций применяются специальные индикаторы – фондовые индексы (индекс Доу-Джонса, Standard & Poors).

рыночная модель.

Предположим, что доходности всех ценных бумаг за определенный период времени (например, месяц) связаны  с доходностью рынка за данный период, т.е. с доходностью акции на рыночный индекс, такой, например, как индекс РТС. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, вероятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения данной взаимосвязи носит название рыночная модель (market model):

m_i=a_i+b_i´m_r+e_i                                                                                                                                  (4.5.)

где m_i  - доходность ценной бумаги i за определенный период (зависимая переменная);

m_r  - доходность на рыночный индекс за этот же период (независимая, объясняющая переменная);

a_i -   постоянная составляющая модели линейной регрессии, показывающая какая часть доходности i ценной бумаги не связана с изменением доходности на рыночный индекс,  коэффициент смещения;

b_i   -  параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i ценной бумаги к изменениям рыночной доходности, коэффициент наклона;

e_i   -     случайная погрешность.

Оценку параметров регрессионной  модели   (4.5) можно получить с помощью МНК².

 

«Бета» - коэффициент

Отметим, что наклон в  рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс. Коэффициент наклона рыночной модели часто называют «бета»- коэффициентом (beta) и вычисляют так:

  = = =    (4.6)

 

а_i =       

 

где s_ir- ковариация между доходностью акции i-ой бумаги и доходностью на рыночный индекс, а s_mr²- обозначает дисперсию доходности на индекс.

Бета-коэффициент оценивает  изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой рыночного дохода. Ценные бумаги, имеющие коэффициент выше единицы, характеризуются как агрессивные и являются более рискованными, чем рынок в целом. Бета-коэффициент может быть положительным или отрицательным. Если он положителен, то доходность соответствующих ценных бумаг будет аналогична динамике рыночной доходности. При отрицательном бета - коэффициенте  эффективность данной ценной бумаги будет снижаться при возрастании эффективности рынка.

Исходя из рыночной модели (4.5),  общий риск ценной бумаги i, измеряемый  ее дисперсией  s_i²= Var(m_i), состоит из двух частей: (1)  рыночный (или систематический) риск (market risk); (2) собственный  (или несистематический) риск (unique risk).

Var(m_i)= Var(a_i+b_i´m_r+e)=

=Var(a_i)+Var(b_i´m_r)+Var(e_i)=

= Var(m_r)+ Var(e_i).

Таким образом, Var(m_i)= s_i² равняется следующему выражению:

         s_i² = b_i²s_mr²+s_e²,

 

где     ,

           = ,

 

         b_is_mr   обозначает рыночный риск ценной бумаги i(измеренный в СКО), а s_e собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является СКО случайной погрешности e_i из уравнения (4.5.).

 

Как отмечено выше, вариация доходности каждой ценной бумаги состоит  из двух слагаемых: «собственной» вариации, не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации, определяемой случайным поведением рынка в целом. отношение  b_i²s_mr²/s_i² обозначается R_i² и называется R-squared (в регрессионном анализе R_i² называют коэффициентом детерминации)³. Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком. Те бумаги, для которых R-squared велико, в каком-то смысле предпочтительнее, так как их поведение более предсказуемо.

Таким образом, коэффициент  регрессии β служит количественным измерителем систематического риска, не поддающегося диверсификации. Ценная бумага, имеющая β - коэффициент, равный 1, копирует поведение рынка в целом. Если значение коэффициента выше 1, реакция ценной бумаги опережает изменение рынка как в одну, так и в другую сторону. Систематический риск такого финансового актива выше среднего. Менее рисковыми являются активы, β-коэффициенты которых ниже 1 (но выше 0).

Рассмотрим  в этой ситуации портфель ценных бумаг. Оказывается, доходность (рисковой части) портфеля с зафиксированными долями бумаг также линейно зависит от доходности рынка. В самом деле, пусть доля i-й ценной бумаги есть x_i, тогда доходность портфеля:

    m_p = S x_i(a_i + b_i ´m_r + e ).                                 (4.7)

Марковиц разработал очень важное положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. С одной  стороны, это так называемый систематический риск, который нельзя исключить, и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С другой - специфический риск для каждой конкретной ценной бумаги, который можно избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг. При этом сумма сложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений (например, часть средств на банковском счете вводится в модель как инвестиция с нулевым риском).

Из уравнения (4.7) можно  показать, что общий риск портфеля состоит из двух компонент: рыночного риска и собственного риска.

   s_p² = b_p²s_mr²+s_ep²,                                                 (4.8.)

 

где ,

увеличение диверсификации (увеличение количества ценных бумаг в портфеле) приводит к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же.

Задача Марковица о формировании портфеля заданной эффективности с учетом ведущего фактора и минимального риска может быть сформулирована следующим образом :

Необходимо  найти вектор Х= (X₁, X₂,… X_n), минимизирующий риск портфеля s_p  .

s_p =

Отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для  построения оптимального портфеля этой задаче:

1.Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности   каждой ценной бумаги.

2.По рыночному индексу (например, АК&М) вычислить рыночные доходности r_m для того же промежутка времени.

3.Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги от рыночной доходности (от индекса рынка).

3.Определить величину дисперсии рыночного показателя s_mr², а также и найти величины

4.Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели

5.Подставить эти значения в соответствующие уравнения

  После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса Х_i ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля   m_p, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

 Концепция β - коэффициентов составляют основу модели оценки финансовых активов (Capital Assets Pricing Model, CAPM). При помощи этого показателя может быть рассчитана величина премии за риск, требуемой инвесторами по вложениям, имеющим систематический риск выше среднего.

 

 

 

 

Модель  доходности финансовых активов (САPМ).

Модель (САPМ) описывает зависимость между рыночным риском и требуемой доходностью. Модель (САPМ) основывается на системе строгих предпосылок. Cогласно логике этой модели, инвестиционное решение принимается под воздействием двух факторов - ожидаемой доходности и риска, мерой которого является дисперсия или стандартное отклонение доходности.  Приняв ряд допущений (инвесторы ведут себя рационально, измеряют время в одних единицах, мыслят сходным образом, заимствуют и предоставляют средства в долг под безрисковую ставку и др.), авторы модели показали, что при соблюдении указанных допущений инвестиционный портфель, повторяющий пропорции рынка, должен быть оптимальным инвестиционным решением для всех инвесторов.

Формальная запись итогового  уравнения данной модели выглядит следующим  образом:

             ,                                     (4.9)

где         -  ожидаемый доход на конкретную ценную бумагу при условии равновесия рынка;

               m_f - ставка дохода на безрисковую ценную бумагу, которые являются важнейшим элементом фондового рынка. примером гарантированных ценных бумаг с фиксированным доходом являются, например, государственные облигации.

               b_i - коэффициент акции i (b_i) – это мера рыночного риска акции. Он измеряет изменчивость доходности акции по отношению к доходности среднерыночного портфеля. b -коэффициент связан с наклоном характеристической линии акции,  представляющей собой графическое изображение уравнения регрессии, построенного по статистическим данным о доходности i-й акции и среднерыночной доходности. b -коэффициент связан с наклоном характеристической линии акции,  представляющей собой графическое изображение уравнения регрессии, построенного по статистическим данным о доходности i-й акции и среднерыночной доходности.