Формирование портфеля ценных бумаг

 

Теперь  рассчитаем коэффициенты вариации:

σ11=ρ11σ1σ1 = 1,0*0,1312*0,1312=0,01721

σ12=ρ12σ1σ2 = 0,9680*0,1312*0,2127=0,02701

σ13=ρ32σ1σ3 = 0,9924*0,1312*0,2294=0,02987

σ14=ρ14σ1σ4 = 0,9783*0,1312*0,3533=0,04535

σ22=ρ22σ2σ2 = 1,0*0,2127*0,2127=0,04524

σ23=ρ23σ2σ3 = 0,9705*0,2127*0,2294=0,04735

σ24=ρ24σ2σ4 = 0,9735*0,2127*0,3533=0,07315

σ33=ρ33σ3σ3 = 1,0*0,2294*0,2294=0,05262

σ34=ρ34σ3σ4 = 0,9673*0,2294*0,3533=0,07839

σ44=ρ44σ4σ4 = 1,0*0,3533*0,353=0,12482

Запишем ковариационную матрицу.

 

 

Таблица 14

Ковариационная матрица

i                j	1	2	3	4
1	0,01721	0,02701	0,02987	0,04535
2	0,02701	0,04524	0,04735	0,07315
3	0,02987	0,04735	0,05262	0,07839
4	0,04535	0,07315	0,07839	0,12482

 

Получаем в нашем случае:

σр=(ΣΣxixjσij)0.5=(32,4*32,4*0,01721+32,4*28,5*0,02701+…+23,4*23,4*0,12482)= =482,7038

Возвращаясь к исходной размерности, получим:

482,7038/(100*100)=0,04827 или 4,83%.

Сравнивая полученное значение с наименьшим (см. таблицу 12), равным 0,1312, видим: в результате диверсификации риск портфеля стал меньше в 0,1312/0,0483 = 2,7 раза.

Сделаем общий вывод: Полученный портфель  имеет доходность 55,39% годовых при уровне риска 4,83%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Предложения по повышению  эффективности портфеля ценных  бумаг в ЗАО АБ Газпромбанк

3.1. 0птимизация портфеля ценных бумаг на основе современной теории портфеля

Оптимизация финансового портфеля в целях снижения уровня его риска при заданном уровне доходности проводится по двум параметрам: ковариации и диверсификации входящих в него финансовых инструментов [8, стр 392].

Поставим задачу с математической точностью.

Пусть имеем заданный уровень доходности, равный 55% годовых.

Требуется найти такое распределение долей входящих в портфель паев, при котором будет достигнут наименьший уровень риска.

В теории [31; стр. 77] предлагается один из методов решения такой задачи, носящий название диверсификация Марковица.

Диверсификация Марковица основана на использовании методов оптимального программирования. При этом формируется целевая функция и ограничения, а на их основе – функция Лагранжа.

Целевая функция данной задачи.

σр2=(ΣΣxixjσij) → min    (4)

Ограничения:

1) средняя доходность портфеля

Еср=Σ Е(ri)xi     (5)

2) условие нормировки распределения

Σxi=1       (5)

Для решения этой задачи необходимо сформировать функцию Лагранжа:

L=ΣΣxixjσij +λ1(Σ Е(ri)xi-Eср)+ λ2(Σ xi-1),   (6)

где λi (i=1,2) – множители Лагранжа.

Портфель, минимизирующий риск, определяется решением системы уравнений:

∂L/∂xi=0

∂L/∂λl=0,      (7)

где l=1,2.

Перепишем задачу для нашего случая, если i,j=1,2,3,4:

Целевая функция равна:

L=x12σ11+ x22σ22+ x32σ33+ x42σ44+

+2x1x2σ12+2x1x3σ13+2x1x4σ14+2x2x3σ23+2x2x4σ24+2x3x4σ34+

+ λ1(Е(r1)x1+ Е(r2)x2+ Е(r3)x3+ Е(r4)x4-Eср)+ λ2(x1+ x2+x3+x4-1) (8)

Частные производные равны:

∂L/∂x1=2x1σ11+2x2σ12+2x3σ13+2x4σ14+λ1E1+λ2=0

∂L/∂x2=2x1σ12+2x2σ22+2x3σ23+2x4σ24+λ1E2+λ2=0

∂L/∂x3=2x1σ13+2x2σ23+2x3σ33+2x4σ34+λ1E3+λ2=0

∂L/∂x4=2x1σ14+2x2σ24+2x3σ34+2x4σ44+λ1E4+λ2=0

∂L/∂λ1=x1E1+ x2E2+ x3E3+ x4E4-Eср=0

∂L/∂λ2=x1+ x2+ x3+ x4=0       (9)

Представим систему в матричном виде:

2σ11	2σ12	2σ13	2σ14	Е1	1	*	x1	=	0
2σ21	2σ22	2σ23	2σ24	Е2	1		x2		0
2σ31	2σ32	2σ33	2σ34	Е2	1		x3		0
2σ41	2σ42	2σ43	2σ44	Е2	1		x4		0
Е1	Е2	Е3	Е4	0	0		λ1		Еср
1	1	1	1	0	0		λ3		1

Рис.7. Матричная системы Лагранжа (обобщённая форма)

Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим матричное уравнение:

Н*А=G

Отсюда получаем искомый вектор распределения:

А=Н-1*G

Решаем задачу. Для удобства сведём необходимые данные в таблицу 15.

 

 

Таблица 15

Расчётные данные для решения задачи оптимизации портфеля инвестиций

Номер фонда (i)	Е(ri)	σii	σij
1	2,1	σ11=0,01721	σ12=0,02701	σ24=0,07315
2	2,994	σ22=0,04524	σ13=0,02987	σ34=0,07839
3	1,789	σ33=0,05262	σ14=0,04535
4	4,085	σ44=0,12482	σ23=0,04735

 

Получаем:

0,03442	0,05402	0,05974	0,0907	2,1	1	*	x1	=	0
0,05402	0,09048	0,0947	0,1463	2,994	1		x2		0
0,05974	0,0947	0,10524	0,15678	1,789	1		x3		0
0,0907	0,1463	0,15678	0,24964	4,085	1		x4		0
2,1	2,994	1,789	4,085	0	0		λ1		55
1	1	1	1	0	0		λ3		1

Рис.8. Матричная запись системы Лагранжа (числовая форма)

Вычислим обратную матрицу.

Таблица 16

Обратная матрица

142,7731	-150,1546	-52,0845	59,4659	0,2135	1,4668
-150,1546	214,6124	27,8374	-92,2953	0,3095	-0,3668
-52,0845	27,8374	31,8019	-7,5548	-0,7672	0,6854
59,4659	-92,2953	-7,5548	40,3841	0,2442	-0,7854
0,2135	0,3095	-0,7672	0,2442	-0,0025	0,0048
1,4668	-0,3668	0,6854	-0,7854	0,0048	-0,0106

 

Умножая обратную матрицу на столбец, получим:

АТ={17,2;20,6;45,6;16,6} – искомое распределение долей паев в оптимизированном портфеле.

Таблица 17

Сравнение структуры начального и оптимизированного портфеля

Номер фонда	Фонд	σ	Е(r)	Доходность/риск	Структура, %	Оптимальная структура, %
1	Акций	0,1312	2,1	16,0061	32,4	17,2
2	Сбалансированный	0,2127	2,994	14,0762	28,5	20,6
3	Индекс ММВБ	0,2294	1,789	7,7986	15,7	45,6
4	Роснефть	0,3533	4,085	11,5624	23,4	16,6
Итого					100,0	100,0

 

Рассчитаем доходность оптимизированного портфеля:

Е(rp)=2,1*0,172+2,994*0,206+1,789*0,456+4,085*0,166=2,47186,или 247,2%

Данное значение получено для временного периода в пять лет. Поделив на пять, получим ожидаемое значение годовой доходности портфеля:

247,19% / 5 = 49,44%.

Соответственно, месячный рост портфеля можно получить так:

247,19% / 60 = 4,12%

Рассчитаем риск оптимизированного портфеля:

σр=(ΣΣxixjσij)0.5=(17,2*17,2*0,01721+17,2*20,6*0,02701+…+16,6*16,6*0,12482)= =317,6554

Возвращаясь к исходной размерности, получим:

482,7038/(100*100)=0,0317

Выражая риск в процентах, получим 3,17%.

Сделаем общий вывод.

Сформированный портфель можно оптимизировать, при этом уровень дохода снижается на 55,39 - 49,44 = 5,95% , а уровень риска снижается на 4,83 -3,17=1,66%

Наряду с математическими методами оптимизации портфельных инвестиций, также выработаны фундаментальные методы реструктуризации портфеля.

Оценивая риск конкретного актива из инвестиционного портфеля, можно либо рассматривать этот актив изолированно от других активов, либо считать его неотъемлемой частью портфеля. Актив, имеющий высокий уровень риска при рассмотрении его изолированно, может оказаться практически безрисковым с позиции портфеля и при определенном сочетании входящих в этот портфель активов.

Эти методы можно свести к набору рекомендаций по операциям с портфелем. Рассмотрим их более подробно.

1. При анализе целесообразности  операций с портфелем ценных  бумаг, ставится три задачи: достижение максимально возможной доходности, получение минимально возможного риска, получение приемлемого значения комбинации «доходность/риск».

2. Доходность портфеля определяется  по формуле средневзвешенной, поэтому  объединение в портфель высокодоходных финансовых активов обеспечивает высокую доходность портфеля.

3. Добавление в портфель безрискового  актива уменьшает доходность  портфеля, при этом риск портфеля  уменьшается прямо пропорционально  доле этого актива.

4. Объединение рисковых активов в портфель может приводить к снижению риска по сравнению с обладанием каждым из этих активов в отдельности, однако результат зависит не только от рисковости объединяемых активов, но и от характера взаимосвязи между их доходностями.

5. Если доходность актива, планируемого к включению в портфель, меняется однонаправлено с его доходностью, то риск новой комбинации может измениться в любую сторону в сравнении с риском исходного портфеля.