Цифровые системы управления

Подставим полученные коэффициенты в  исходное выражение для y(k) и получим дискретно-совпадающую модель:

y(k) = 8.3325·u(k-1) + 1.0332·y(k-1) - 0,4497·y(k-2);

Подставив найденные выше коэффициенты еще и в выражение для дискретной передаточной функции, получим следующее  выражение:

G₀(z) =

;

 

Для получения переходной функции  реализуем объект в программе  MatLab.

Составим структурную схему (см. Рисунок 14):

Рисунок 14 – Структурная схема объекта.

Переходный процесс объекта  показана на рисунке 15

Рисунок 15 – Переходный процесс объекта.

Г) Построение МНК-модели по кривой разгона

В предыдущем пункте мы получили выражения  следующего вида:

y(k) = b₁·u(k-1) - a₁·y(k-1) - a₂·y(k-2);

Найдем теперь неизвестные коэффициенты в данном выражении методом наименьших квадратов. Представим данное выражение в матричном виде:

y = V·β;

В данном выражении y – вектор экспериментально снятых отсчетов, V – матрица входов-выходов, β – вектор неизвестных параметров модели:

y =

= ;  V = =  ;  β = ;

Согласно методу наименьших квадратов  вектор неизвестных параметров находится  из следующего соотношения:

β = (V^T·V) ^-1 · V^T ·y;

Для решения данного уравнения  воспользуемся пакетом «MATLAB», введя следующие команды:

>> y=[4.741; 13.25; 19.89; 22.92; 23.06; 21.85; 20.53; 19.72; 19.47; 19.58]

>> V=[1 0 0;1 4.741 0;1 13.25 4.741 ;1 19.89 13.25;1 22.92 19.89;1 23.06 22.92;1 21.85 23.06;1 20.53 21.85;1 19.72 20.53;1 19.47 19.72]

>> B=((V'*V)^(-1))*V'*y

В результате выполнения данной последовательности команд получим значения элементов  вектора β:

β =

;

Тогда неизвестные в выражении  для y(k) имеют следующие значения:

b₁=5.8719;   a₁ = 1.264;    a₂ = -0.5674;

Подставив данные значения в исходное уравнение, получим выражение для  МНК-модели:

y(k) = 5.8719·u(k-1) +1.264·y(k-1) -0.5674·y(k-2);

Подставив найденные выше коэффициенты еще и в выражение для дискретной передаточной функции, получим следующее выражение:

G₀(z) =

;

Для получения переходной функции  реализуем объект в программе  MatLab.

Составим структурную схему (см. Рисунок 16):

Рисунок 16 – Структурная схема объекта.

Переходный процесс объекта  показана на рисунке 17

Рисунок 17 – Переходный процесс объекта.

4  Имметационное  моделирование САУ с ПИД регулятором.

Для обеспечения оптимального управления непрерывной системой используется ПИД-регулятор. Согласно классическому критерию, с помощью настроек ПИД-регулятора мы должны обеспечить минимум квадрат ошибки регулирования. ПИД-регулятор формирует управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых, первое из которых пропорционально разности входного сигнала и сигнала обратной связи (сигнал рассогласования), второе — интеграл сигнала рассогласования, третье — производная сигнала рассогласования. Общий вид ПИД-регулятора представлен на рисунке 18.

Рисунок 18 –  Общий вид ПИД-регулятора.

Здесь:

Кп - Пропорциональная составляющая;

Ки - Интегральная составляющая;

Кд - Дифференциальная составляющая;

Выходной сигнал регулятора u определяется тремя слагаемыми:

,

Большинство методов настройки  ПИД-регуляторов используют несколько  иную формулу для выходного сигнала, в которой на пропорциональный коэффициент усиления умножены также интегральная и дифференциальная составляющие:

В нашем случае использование ПИД-регулятора выводит нашу систему из равновесия, поэтому для нашей задачи будем использовать ПИ-регулятор.

Реализуем ПИ-регулятор для нашей системы в программе simulink. Реализуем систему:

1) С регулятором по управляемому процессу.

2) С регулятором по возмущающему процессу

Система с регулятором по управляемому процессу.

Реализуем систему с регулятором по управляющему процессу с учётом минимальной интегральной квадратичной ошибкой  . Входное воздействие ровняется 1 (х=1) (рисунок 19). 

Рисунок 19 – Система с регулятором  по управляющему процессу.

Выходная  характеристика приведена на рисунке 20.

Рисунок 20 –  выходная характеристика системы.

Из графика видно, что система  имеет перерегулирование и коллебательность. Это объясняется тем, что квадратичная оценка не учитывает близость с системы к колебательной границе устойчивости.

 

2. Реализуем систему с регулятором  исходя из интегрального критерия. Входное воздействие равняется 1 (х=1) (рисунок 21). 

Рисунок 21 – Система с регулятором  исходя из интегрального критерия.

Выходная  характеристика приведена на рисунке 22.

Рисунок 22 –  выходная характеристика системы.

График системы практически  не имеет перерегулирование и  имеет меньшую коллебательность чем система с регулятором с учётом минимальной интегральной квадратичной ошибкой. При этом регулятор улучшает качество переходного процесса (перерегулирование системы уменьшается, время переходного процесса увеличивается).

Поэтому регулятор с такими параметрами  наиболее подходит для нашей системы  и в дальнейшем мы будем использовать его.

Параметры регулятора:

, ,

Система с регулятором по возмущающему процессу.

Реализуем систему  с регулятором по возмущающему процессу. Возмущающее воздействие равняется 1 (h=1). Схема объекта приведена на рисунке 23.

Рисунок 23 - Система с регулятором по возмущающему процессу

На рисунке 24 показано как ПИ-регулятор компенсирует ошибку в системе.

Рисунок 24 – Компенсация ошибки в системе.

Из рисунка 24 видно, что возмущающее воздействие, поданное на систему, со временем становится равным нулю

5  Имметационное моделирование САУ с цифровым ПИД регулятором.

В предыдущем пункте мы настроили ПИ-регулятор  для нашей системы. Теперь исследуем  дискретную систему; для этого регулятор должен быть представлен в дискретной форме.

Уравнение ПИД-регулятора имеет вид:

Для малых тактов квантования, заменяя производную разностью, а интеграл суммой, получим нерекуррентного цифровой алгоритм.

Найдём u(k-1):

Вычтем из ; получаем:

Проведём z-преобразование получившегося уравня и определим передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора.

 

Где , , соответственно равны:

;

;

Вычислим эти коэффициенты, используя значения полученные в предыдущем пункте. Получаем:

В результате передаточная функция  ПИД-регулятора примет вид:

Реализуем нашу систему  с цифровым регулятором в программе Simulink (Рисунок 25 верхний), Также построим схему с цифровым регулятором, настроенного по критерию минимальной суммы квадратов ошибок. Т.е. (Рисунок 25 нижний)

Рисунок 25 - Система с цифровым регулятором.

Выведем результаты на один график и сравним (Рисунок 26).

Рисунок 26 – Характеристика систем

На рисунке 26 показана характеристика системы с цифровым регулятором рассчитанного нами (пунктирная линия) и системы с регулятором, настроенного по критерию минимальной суммы квадратов (черная линия).

Из рисунка видно что система  с  регулятором, настроенного по критерию минимальной суммы квадратов имеет большую коллебательность. Квадратичная оценка не учитывает близость с системы к колебательной границе устойчивости. При этом регулятор улучшает качество переходного процесса (перерегулирование системы уменьшается, время переходного процесса увеличивается).

Реализуем систему  с регулятором по возмущающему процессу. Возмущающее воздействие зададим равное 1 Схема объекта приведена на рисунке 27.

Рисунок 27 - Система с регулятором по возмущающему процессу

На рисунке 28 показано как ПИ-регулятор компенсирует ошибку в системе.

Рисунок 28 – Компенсация ошибки в системе.

Из рисунка 28 видно, что возмущающее воздействие, поданное на систему, со временем становится равным нулю.

Из рисунка 24 и 28 видно что наш регулятор  настроен для работы как в непрерывной, так и в дискретной форме.

6  Моделирование системы с заданным возмущением.

Реализуем нашу дискретную систему с заданным возмущением (рисунок 29) и дискретную систему с заданным возмущением и настроенным регулятором (Рисунок 31).

Рисунок 29 – Схема системы без регулятора

Выходная  характеристика этой системы представлена на рисунке 30

Рисунок 30 - характеристика системы без регулятора

Из рисунка 30 видно, что система плохо отрабатывает заданную ошибку. Теперь реализуем систему с регулятором (рисунок 31).

Рисунок 31 –  система с регулятором

Выходная  характеристика этой системы представлена на рисунке 32.

Рисунок 32 - характеристика системы с регулятором

Как видно  из рисунка 32 что при введении ПИ-регулятора система стала лучше обрабатывать ошибку.

7  Свободным движение системы.

Свободным движение системы называется движение при котором системе заданы начальные условия и при этом на систему не оказывают никакого внешнего воздействия. Смоделируем такую систему в simulink при этом для систем будут заданы разные начальные условия. На рисунке 33 показана общая схема системы.

Рисунок 33 – Схема  системы

На рисунке 34 показан процесс системы с начальными условиями равными 10

 Рисунок 34 – процесс системы с начальными условиями равными 10

На рисунке 35 показан процесс  системы с начальными условиями  равными 1

Рисунок 35 – процесс  системы с начальными условиями  равными 1

На рисунке 36 показан процесс  системы с начальными условиями  равными -1.

Рисунок 36 – процесс  системы с начальными условиями равными -1

На рисунке 37 показан процесс  системы с начальными условиями  равными -10

.

Рисунок 37 – процесс  системы с начальными условиями  равными -10

8. Рекомендации по выбору регулятора

Согласно результатам проведенных  исследований для системы лучше использовать цифровой ПИД-регулятор, который мы получили из непрерывного регулятора. Так как он обеспечивает лучшие характеристики по сравнению с цифровым регулятором с минимальной обобщенной дисперсией, использование которого показывает худший результат.

 

 

 

 

 

 

9. Список литературы и использованного ПО

1. Б.К. Чостковский «Лекции по  предмету цифровые системы управления»

2. Б.К. Чостковский «Моделирование и алгоритмизация процессов управления в стохастических системах с цифровыми регуляторами»

3. Программа Matlab 2009b.

4. Пакет программы Matlab- Simulink.