Анализ и синтез систем автоматического управления

 МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

АГЕНСТВО   ПО  ОБРАЗОВАНИЮ

 

 

Образовательное учреждение  высшего  и  профессионального образования   «Комсомольский-на-Амуре    Государственный  технический    университет»

 

 

 

   Факультет электротехнический

  Кафедра ЭПАПУ

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Анализ и синтез систем автоматического управления

(линейной и нелинейной  системы).

Вариант – 4

 

 

 

 

Студент группы 8ЭП-1       А. А. Вариводо

Преподаватель                 Г.М. Гринфельд

 

 2011

Содержание

 

1 Расчёт линейной системы автоматического управления …………….……..3

2 Расчёт нелинейной системы  автоматического управления.………….……19

3 Литература ………….……………….……………….……………….………24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет линейной системы  автоматического управления

Рисунок 1 – Исходная структурная схема линейной САУ

 

1. Проанализировать устойчивость замкнутой системы, используя прямой метод оценки устойчивости и произвольно выбранный критерий устойчивости.

 

 

Исходные данные:

 

 

 

 

 

Передаточная функция  разомкнутой САУ по входному сигналу:

 

 

 

Передаточная функция замкнутой САУ по входному сигналу:

 

 

 

 

 

Оценка устойчивости САУ прямым методом

Определим полюса передаточной функции замкнутой САУ

 

 

 

 

Характеристическое уравнение

 

Все полюса находятся в левой  полуплоскости (все корни характеристического уравнения отрицательные), следовательно, замкнутая САУ – устойчивая.

 

Оценка устойчивости САУ по критерию Найквисту:

Все коэффициенты характеристического полинома - положительны, то есть необходимое условие выполняется.

 

АФХ разомкнутой системы:   

 

 

 

Рисунок 2 – АФХ разомкнутой системы

 

Годограф разомкнутой  системы не охватывает точку (-1, i0), следовательно, система в замкнутом состоянии является устойчивой.

 

 

 

 

 

2. Провести синтез последовательного и параллельного корректирующих звеньев, обеспечивающих следующие показатели качества процесса регулирования в скорректированной системе:

a) перерегулирование σ ≤ 25 %;

б) длительность переходного процесса, не превышающую значения

t_рег=0.4с

в) точность скорректированной системы должна быть в два раза выше точности нескорректированной САУ.

 

 

 

Последовательная  коррекция

Определим по номограмме частоту среза для данных показателей качества:

;    

Т. к. длительность переходного процесса не должна превышать значения

t_рег=0.4с, пусть t_р=0.2с           

              

 

Рисунок 3 – Номограмма для определения частоты среза желаемой ЛАХ.

 

Коэффициент усиления скорректированной  системы:   ;  

 

Передаточная функция  разомкнутой нескорректированной  системы:

 

 

ЛАХ нескорректированной САУ:

 

 

ЛАХ желаемой САУ:

 

 

Передаточная функция  желаемой САУ:

 

ЛАХ корректирующего  звена:

 

 

 

Передаточная функция  корректирующего звена 

 

 

Рисунок 4 – ЛАХ  нескорректированной и скорректированной систем и корректирующего звена.

 

 

 

 

 

Смоделируем коррекцию  САУ в MATLAB

Рисунок 5 – Последовательная коррекция САУ смоделированная в MATLAB

 

 

Рисунок 6 – Переходные функции нескорректированной и скорректированной системы.

 

Рисунок 7 – Реакции скорректированной и нескорректированной систем на равномерно нарастающий сигнал.

 

 

На рисунках видно, что скорректированная  система соответствует

требованиям по времени регулирования  и перерегулированию, а так же

точность скорректированной системы в два раза выше точности

нескорректированной САУ.

 

 

 

Параллельная коррекция

 

ЛАХ нескорректированной  САУ:

 

 

ЛАХ желаемой САУ:

 

Передаточная функция  желаемой САУ:

 

 

Передаточная функция  охватываемого звена САУ:

 

ЛАХ охватываемого звена САУ:

 

 

ЛАХ корректирующего  звена:

 

 

Передаточная функция  корректирующего звена:

 

 

 

Рисунок 8 – ЛАХ  нескорректированной и скорректированной систем, и ЛАХ корректирующего и охватываемого звеньев

 

Смоделируем коррекцию САУ в MATLAB, добавив дополнительное последовательное корректирующее звено.

 

Рисунок 9 – Параллельная коррекция САУ смоделированная в MATLAB

 

 

 

 

 

 

Рисунок 10 – Переходные функции нескорректированной и скорректированной системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 11 – Реакция системы на равномерно нарастающий сигнал

нескорректированной и скорректированной систем.

 

На рисунках видно, что скорректированная  система соответствует

требованиям по времени регулирования  и перерегулированию, а так же

точность скорректированной системы в два раза выше точности

нескорректированной САУ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Описать систему в пространстве состояния.

Рисунок 12 – Структурная схема нескорректированной САУ.

 

Метод прямого  программирования.

Составим детализованную структурную схему:

 

Рисунок 13 – Детализованная структурная схема.

 

Система дифференциальных уравнений, описывающих динамику линейной САУ:

;

;

;

;

 

 

Уравнения связи выходных сигналов с переменными состояния:

;

;

 

Введем в рассмотрение матрицу системы (коэффициентов системы) – А, матрицу входов (управления) – В и матрицу выхода (наблюдения) – С:

                    

 

 

 

Запишем матричную передаточную функцию замкнутой системы при  нулевых начальных условиях:

,    где   -  единичная матрица

 

 

 

Матрица переходов описывается выражением:    ;

Выполнив обратное преобразование Лапласа от матрицы , получим фундаментальную матрицу системы.

 

Найдем аналитическое  выражение для  , используя теорему Сильвестра

 

Характеристическое уравнение:

 

 

Корни этого уравнения:

 

 

По теореме Сильвестра, матрица  перехода представима в виде:

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

Запишем формулы всех

 

 

 

 

 

 

Таким образом матрица  перехода представлена в виде:

 

 

Переменные состояния определяются выражением:

,   где   –  вектор начальных условий

 

 

Рисунок 14 – Графики переменных состояния.

 

 

 

 

 

 

Смоделируем детализованную систему в MATLAB:

Рисунок 15 – Нескорректированная САУ, смоделированная в MATLAB

 

Рисунок 16 – Графики переменных состояния

системы смоделированной в MATLAB

 

 

 

4. Рассчитать точность скорректированной  системы по управляющему и  возмущающему воздействиям в установившемся режиме.

 

 

Запишем передаточные функции скорректированной разомкнутой и замкнутой систем, а также функции по ошибке и возмущающему воздействию. Рассчитаем точность системы по управляющему и возмущающему воздействию.

 

Передаточная функция разомкнутой скорректированной САУ по входному сигналу:

;

 

Передаточная функция замкнутой скорректированной САУ по входному сигналу:

 

Передаточная функция  замкнутой ск. САУ по ошибке:

 

 

 

Так как передаточная  функция  имеет нулевой полюс, то система – астатическая с астатизмом первого порядка.

 

Коэффициент ошибки системы:

;   (т.к. порядок астатизма  = 1) – ошибка по положению.

   -   ошибка по скорости.

 

Передаточная функция  разомкнутой скорректированной системы по возмущающему сигналу.

;

 

Передаточная функция  замкнутой ск. системы по возмущающему сигналу.

 

 

 

 

5. Определить критическое время  запаздывания, при котором скорректированная   система будет находиться на границе устойчивости.

 

 

Для САУ после последовательной коррекции:

 

Значение фазочастотной  характеристики на частоте среза (рисунок 17), тогда запас по фазе:  .

Критическое время  запаздывания:   ;

Критическая частота:   ;    тогда запас по амплитуде:

        ;

Рисунок 17 – ЛАХ и ФЧХ разомкнутой

 системы последовательной коррекции

 

 

Вывод:

В ходе работы была произведена оценка устойчивости замкнутой системы прямым методом и косвенным по критерию Найквиста. Были выполнены коррекции звеньев для улучшения показателей качеств процесса регулирования замкнутой системы. Выполнено описание системы в пространстве, в котором получена фундаментальная матрица системы, имеющая невместимую запись на лист А4, поэтому матрицу переходов предложили представить путем использования теоремы Сильвестра, И при любом из двух методов вычисления (т.Сильвестра или фундаментальной матрицы системы) получим одни и те же графики переменных состояния.

А так же были рассчитаны точность и критическое время  запаздывания скорректированной системы.

 

 

 

 

 

                                Задание для расчета нелинейной САУ

 

Рисунок 18 – Исходная структурная схема САУ.

 

1. Определить наличие автоколебаний в системе, оценить их устойчивость и рассчитать параметры.

 

 

Исходные данные:  ;    ;    ;

Передаточная функция линейной части:   ;

 
Рисунок 19 – Статические характеристики нелинейного элемента.

 

Исходные данные:   ;   ;

Коэффициенты  гармонической линеаризации НЭ типа гистерезис:

;      ;    при

 

Передаточная функция гармонически линеаризованного НЭ:

;

Определим параметры  автоколебаний на основании метода гармонической линеаризации.

Автоколебания в системе будут в том случае, если , то есть

;      

Решив данную систему, получим: ;    .

Рисунок 20 – Определение параметров автоколебаний

(1) – АЧХ линейной части,

  (2) – обратный годограф НЭ

 

Рисунок 21 –  Определение устойчивости автоколебаний

                        (1) – АЧХ линейной части,

  (2) – точка  обратного годографа НЭ при