Моделирование сложных систем

 

С помощью разработанных  моделей системы были проведены  эксперименты. В результате получены следующие значения для заданных характеристик (среднего времени пребывания заявки в системе и вероятности отказов):

• В среде MatLAB:

- вероятность отказов  равна нулю;

• В среде GPSSW:

- вероятность отказов  равна нулю;

- среднего времени пребывания  заявки - 266.835;

• В среде Delphi:

- вероятность отказов  равна нулю;

- среднего времени пребывания  заявки - 266,126.

По этим результатам можно  сделать вывод, что все разработанные  модели моделируют реальную систему приблизительно одинаково и выдают близкие по значению результаты.

 

5.2 Планирование и проведение эксперимента

 

Имитационное моделирование  является по сути своей машинным экспериментом с моделью исследуемой или проектируемой системы. План имитационного эксперимента на ЭВМ представляет собой метод получения с помощью эксперимента необходимой пользователю информации. Эффективность использования экспериментальных ресурсов существенным образом зависит от выбора плана эксперимента, т.к. именно план определяет порядок и объем проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы S. Поэтому задача планирования машинных экспериментов с моделью М_м формулируется следующим образом: необходимо получить информацию об объекте моделирования, заданном в виде моделирующего алгоритма (программы), при минимальных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса моделирования.

При кибернетическом подходе  к планированию эксперимента различают  входные и выходные переменные: х_1, х₂,…,х_к,у₁,у₂,…,у_i. В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором или реакцией. В экспериментах с машинными моделями М_м системы S фактор является экзогенной или управляемой ( входной) переменной, а реакция - эндогенной ( выходной) переменной.

Каждый фактор  x_i (i= ) может принимать одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Эксперименты не могут бать реализованы во всех точках фаторного пространства, а лишь в принадлежащих допустимой области.

Существует вполне определенная связь между уровнями факторов и  реакцией (откликом) системы, которую можно представить в виде соотношения:

Функцию, связывающую реакцию  с фактором в выше приведенном  выражении называют функцией реакции, а геометрический образ, соответствующий функции реакции,- поверхностью реакции.

При проведении машинного  эксперимента с моделью для оценки характеристик процесса функционирования исследуемой системы необходимо создать такие условия, которые способствовали бы выявлению влияния факторов, находящихся в функциональной связи с искомой характеристикой. Для этого необходимо: отобрать факторы влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость; установить диапазон изменения факторов определить координаты точек факторного пространства в котором следует проводить эксперимент; оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

Свойства объекта исследования, т.е. процесса машинного моделирования системы S, можно описывать с помощью различных методов (моделей планирования).

Получение модели, описывающей  реакции изучаемой системы S на многофакторное возмущение, — одна из задач математического планирования эксперимента. Наиболее распространенными и полно отвечающими задачам статистического моделирования являются полиномиальные модели. Задача нахождения полиномиальной модели, описывающей систему или отдельные ее характеристики, состоит в оценке вида и параметров некоторой функции

В данной работе необходимо провести машинный эксперимент по исследованию характеристик системы, построить план эксперимента, описать модель планирования машинного эксперимента, получить оценки коэффициентов модели и провести планируемый имитационный эксперимент с моделью.

Необходимо оценить зависимость  загрузки канала предварительной обработки от времени поступления заявок, времени обслуживания заявки на данном канале и на канале ЭВМ 1.

Для составления плана  эксперимента выделим следующие  факторы:

• время поступления заявок - х1;
• времени обслуживания заявки на канале предварительной обработки - х2;
• время обслуживания в канале ЭВМ 1 – х3.

Определяем локальную  подобласть планирования эксперимента путем выбора основного (нулевого) уровня и интервалов варьирования для каждого выбранного фактора. Сведем полученные данные в табл.1.

 

Таблица 1 – Локальная  область планирования эксперимента

Факторы	Уровни факторов
	-1	0	+1
	8	10	12
	8	10	12
	25 20	33 25	40 30

 

Существует вполне определенная зависимость между уровнями факторов и реакцией системы, которую представим в виде соотношения .

Для определения зависимости  строим математическую (аналитическую) модель планирования в виде полинома первого порядка (уравнение 1).

      (1)

Выбранная модель включает в себя линейные члены полинома и  их произведения. Для оценки коэффициентов модели используем план эксперимента типа  2³ , то есть полнофакторный эксперимент. Составим  матрицу планирования, представленную в табл.2.

Таблица 2 – Матрица планирования

х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	уi
-1	-1	-1	1	1	1	-1	у1
-1	-1	1	1	-1	-1	1	у2
-1	1	-1	-1	1	-1	1	у3
-1	1	1	-1	-1	1	-1	у4
1	-1	-1	-1	-1	1	1	у5
1	-1	1	-1	1	-1	-1	у6
1	1	-1	1	-1	-1	-1	у7
1	1	1	1	1	1	1	у8

 

В соответствии с матрицей планирования проведем эксперимент  и получим значения уi, представленные в таблице 3.

Таблица 3 – Результаты экспериментов

у1	0,994
у2	0,971
у3	0,998
у4	0,998
у5	0,669
у6	0,675
у7	0,993
у8	0,996

Вычислим значения коэффициентов bi с помощью пакета Excel по уравнениям (2).

A*X=Y

A(-1)*A*X=A(-1)*Y

X=A(-1)*Y

(2)

Матрица А представлена таблицей 4.

 

Таблица 4 – Матрица А

 

 

b0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3
1	-1	-1	-1	1	1	1	-1
1	-1	-1	1	1	-1	-1	1
1	-1	1	-1	-1	1	-1	1
1	-1	1	1	-1	-1	1	-1
1	1	-1	-1	-1	-1	1	1
1	1	-1	1	-1	1	-1	-1
1	1	1	-1	1	-1	-1	-1
1	1	1	1	1	1	1	1

 

Матрица У представлена таблицей 5.

Таблица 5 – Матрица У

Y
0,994
0,971
0,998
0,998
0,669
0,675
0,993
0,996

 

Обратная матрице А  представлена таблицей 6.

 

Таблица 6 – Обратная матрица  А

0,125	0,125	0,125	0,125	0,125	0,125	0,125	0,125
-0,125	-0,125	-0,125	-0,125	0,125	0,125	0,125	0,125
-0,125	-0,125	0,125	0,125	-0,125	-0,125	0,125	0,125
-0,125	0,125	-0,125	0,125	-0,125	0,125	-0,125	0,125
0,125	0,125	-0,125	-0,125	-0,125	-0,125	0,125	0,125
0,125	-0,125	0,125	-0,125	-0,125	0,125	-0,125	0,125
0,125	-0,125	-0,125	0,125	0,125	-0,125	-0,125	0,125
-0,125	0,125	0,125	-0,125	0,125	-0,125	-0,125	0,125

 

Матрица  Х искомых  коэффициентов представлена таблицей 7.