Методы прогнозирования на основе анализа временных рядов

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

1. Методы прогнозирования на  основе анализа временных рядов.

2. Мультивариантный анализ временных рядов.

3. Автокорреляционный анализ.

4. Экспоненциональное сглаживание (EXPO).

5. Метод прогноза Бокса и Дженкинса.

Заключение

Список используемой литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Существует множество математических моделей, посредством которых решаются те, или иные задачи. Во всех сферах деятельности человека важным моментом является прогнозирование последующих событий. Сейчас существует более 100 методов и методик прогнозирования, Условно их можно разделить на фактографические и экспертные. Фактографические методы основаны на анализе информации об объекте, а экспертные – на суждениях экспертов, которые получены при проведении коллективных или индивидуальных опросов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Методы прогнозирования на  основе анализа временных рядов.

 

Базисная цель статистического анализа временного ряда заключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого ряда: 1.определить, какие из неслучайных функций присутствуют в разложении, т.е. определить значения индикаторов ci; 2.построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении; 3.подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков et, и статистически оценить параметры этой модели. Успешное решение перечисленных задач, обусловленных базовой целью статистического анализа временного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Приведем кратко основные элементы эконометрического анализа временных рядов. Временные ряды отражают тенденцию изменения параметров системы во времени, поэтому входным параметром х является момент времени. Выходной параметр y называется уровнем ряда. В случае отсутствия ярко выраженных изменений в течение времени, общая тенденция сохраняется. Ряд можно описать уравнением вида: YT = F (t) + ET , где F (t) – детерминированная функция времени. ET – случайная величина Во временных рядах проводится операция анализа и сглаживания тренда, который отражает влияние некоторых факторов. Для построения тренда применяется МНК-критерий. Существуют моментальные и интервальные ряды. В моментальных рядах отражаются абсолютные величины, по состоянию на определенный момент времени, а в интервальных – относительные величины (показатель за год, месяц, и т.д.). Исследование данных при помощи рядов позволяет во многих случаях более четко представить детерминированную функцию. При этом рассчитываются базисные и цепные показатели (прирост, коэффициент роста, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, и др.). Под базисными показателями понимают, показатели, которые соотносятся к начальному уровню ряда.

2. Мультивариантный анализ временных рядов.

Разница между одновариантными и мультивариантными статистическими процедурами довольно расплывчата; разные специалисты определяют ее по-разному. Однако наиболее распространенным критерием служит количество зависимых переменных. Если анализ проводится при наличии одной зависимой переменной, его можно назвать одновариантным. Процедура использования r-критерия и дисперсионный анализ — одновариантные статистические процедуры. Если в анализе задействуется более одной зависимой переменной, его можно назвать мульти-вариантным. Существует ряд мультивариантных статистических процедур, к которым относится и мультивариантный дисперсионный анализ, или МДА.

Использование мультивариантных статистических процедур — явление, получившее широкое распространение в психологических исследован иях совсем недавно. Как отмечает Сейтц (Seitz, 1980), статистические основы для этих процедур были выработаны уже давно; проблемы начинались при их практическом использовании. Расчеты мультивариантных статистических показателей зачастую чрезмерно сложны и громоздки, и поэтому до появления компьютеров и соответствующих компьютерных программ использование мультивариантных статистических процедур было крайне затруднено. Наличие компьютера и навыки работы на нем могут оказаться весьма ценными для проведения любой формы статистического анализа.

Расчеты — не единственная сложность, связанная с мультивариантными статистическими процедурами. В определенном смысле, расчеты — самое простое, поскольку эту работу выполняет компьютер. Настоящая проблема — определить, когда необходим мультивариантный анализ и как интерпретировать его результаты. Для ответа на эти вопросы написано множество книг и прочитано множество теоретических курсов, в том числе весьма подробных и содержательных (см., например: Hair, Anderson, Tatham & Black, 1992; Morrison, 1990; Nesselroade & Cattell, 1988). Здесь я затрону лишь несколько моментов, о которых ведется речь в более сжатой работе (Applebaum & McCall, 1983), ориентированной на специалистов в области психологии развития.

Предположим, проведено исследование с двумя или более зависимыми переменными. Как узнать, нужно ли проводить отдельный ДА для каждой из переменных (этот вариант всегда необходимо учитывать) или объединить их все в МДА? Эпплбаум и Маккол говорят о двух основных преимуществах МДА перед ДА. Одно из них сходно с преимуществом F-крнтерия перед отдельными f-критерия-ми. Чем больше проверок с помощью дисперсионного анализа мы проводим, тем выше вероятность, что некоторые эффекты достигнут уровня статистической зна-чимости чисто случайно. При проведении МДА уровень вероятности при любых сравнениях, напротив, сохраняется постоянным. Второе преимущество имеет отношение к возможности при проведении МДА использовать информацию о связи между зависимыми переменными, информацию, которая не учитывается при ДА, когда анализ каждой переменной производится отдельно. Одновременный учет всех переменных, среди прочего, означает, что при помощи МДА иногда можно выявить значимые эффекты, которые упускает ДА.

Как следует из вышесказанного, МДА уместно использовать только тогда, когда есть основания предположить, что между зависимыми переменными существует некая интересная связь. Как пишут Эппл баум и Маккол (Applebaum & McCall, 1983): «Вы не включаете в МДА все имеющиеся переменные, лишь бы увидеть, что из этого получится. Зависимые переменные нужно осмысленно подбирать. Они должны образовывать логическую совокупность, которую можно интерпретировать именно как совокупность* (р. 435). Затем Эппл баум и Маккол приводят в качестве примера исследование габитуации у младенцев, в котором зависимые переменные представляют собой следующее: длительность фиксации в первой пробе, пробу с наиболее длительной фиксацией, количество проб от самой длительной к самой непродолжительной фиксации и средняя длительность фиксации в одной пробе. Эти переменные образуют совокупность связанных между собой (но не дублирующих друг друга) показателей габитуации у младенца, для анализа которой больше подходит МДА, а не ДА. В целом, для использования МДА больше всего подходит ситуация, когда исследование включает ряд несколько различающихся между собой характеристик одного и того же конструкта (как в примере с габитуацией).

Как бы ни было кратко это изложение метода МДА, из него можно вынести главную мысль. Наличие мощной статистической процедуры — и компьютерной технологии для ее осуществления — не означает, что эту процедуру можно бездумно использовать для любого типа данных. Сутью грамотной статистической работы является знание того, какой статистический прием применим к разного рода данным и планирование исследования с целью достижения оптимального соответствия статистических процедур и данных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Автокорреляционный анализ.

 

Автокорреляция – статистическая взаимосвязь между последовательностями величин одного ряда, взятыми со сдвигом, например, для случайного процесса – со сдвигом по времени.

Наличие автокорреляции случайных ошибок регрессионной модели приводит к ухудшению качества МНК-оценок параметров регрессии, а также к завышению тестовых статистик, по которым проверяется качество модели (то есть создается искусственное улучшение качества модели относительно ее действительного уровня точности).

Автокорреляционная функция – это функция, описывающая зависимость коэффициентов автокорреляции от лага.

 

где

 – количество наблюдений;

 – значение i-го признака одного события;

 – значение i-го признака другого события;

 – средние значения   и   соответственно.

Сезонные составляющие временного ряда могут быть найдены с помощью коррелограммы. Коррелограмма показывает коэффициенты автокорреляции для последовательности лагов из определенного диапазона. На коррелограмме обычно отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге, однако обычно величина автокорреляции более интересна, чем ее надежность, потому что интерес в основном представляют очень сильные (а, следовательно, высоко значимые) автокорреляции.

Для временного ряда, содержащего тренд, с ростом значения лага   коррелограмма не стремится к нулю. Для временного ряда с сезонными колебаниями коррелограмма будет содержать периодические всплески, соответствующие периоду сезонных колебаний. Данный факт позволяет устанавливать предполагаемый период сезонности.

Другой метод исследования периодичности состоит в исследовании частной автокорреляционной функции (ЧАКФ), представляющей собой углубление понятия обычной автокорреляционной функции. Частная автокорреляционная функция показывает корреляцию между двумя случайными переменными за вычетом влияния всех внутренних значений автокорреляции. В частной автокорреляционной функции устраняется зависимость между наблюдениями внутри лага (промежуточными наблюдениями). Частная автокорреляция на данном лаге аналогична обычной автокорреляции, за исключением того, что при вычислении из неё исключается влияние автокорреляций с меньшими лагами.

На лаге 1 (когда нет промежуточных элементов внутри лага), частная автокорреляция равна обычной автокорреляции. На практике, частная автокорреляция даёт более «чистую» картину периодических зависимостей. Если значение ЧАКФ близко к 1 при первом лаге, то велика вероятность того, что существует проблема единичных корней.

Вид автокорреляционной функции и частной автокорреляционной функции зависит от длины рассматриваемого временного ряда. Если ряд достаточно длинный, формы автокорреляционных функций оказываются более чётко выраженными, модель ряда и параметры модели определяются достаточно чётко. Если же ряд короткий, то коррелограммы теряют свою чёткость, а идентификация становится более сложной, поскольку снижается точность вычислений автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.

Можно построить две основные параметрические модели стационарных временных рядов, процесс авторегрессии и процесс скользящего среднего. Данные модели предполагают различные виды связи между текущим значением временного ряда   и предшествующими ему по времени значениями членов ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Экспоненциональное сглаживание (EXPO).

   Освоение новых и анализ известных управленческих технологий, которые позволяют повысить эффективность управления бизнесом, становится особенно актуальным для российских предприятий в настоящее время. Один из наиболее популярных инструментов - система бюджетирования, которая базируется на формировании бюджета предприятия с последующим контролем исполнения. Бюджет представляет собой сбалансированные краткосрочные коммерческие, производственные, финансовые и хозяйственные планы развития организации. Бюджет предприятия содержит целевые показатели, которые рассчитываются на основании прогнозных данных. Наиболее значимым прогнозом при составлении бюджета для любого предприятия является прогноз продаж. В предыдущих статьях был проведен анализ аддитивной и мультипликативной модели и рассчитан прогнозный объем продаж на следующие периоды.

    При анализе временных рядов использовался метод скользящей средней, в котором все данные независимо от периода их возникновения являются равноправными. Существует другой способ, в котором данным приписываются веса, более поздним данным придается больший вес, чем более ранним.

    Метод экспоненциального сглаживания в отличие от метода скользящих средних еще и может быть использован для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперед и автоматически корректирует любой прогноз в свете различий между фактическим и спрогнозированным результатом. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом над ранее рассмотренным.

   Название метода происходит из того факта, что при его применении получаются экспоненциально взвешенные скользящие средние по всему временному ряду. При экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения - предыдущее учитывается с максимальным весом, предшествующее ему - с несколько меньшим, самое ранее наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом.

   Алгоритм расчета экспоненциально сглаженных значений в любой точке ряда и основан на трех величинах:

фактическое значение Ai в данной точке ряда i,  
прогноз в точке ряда Fi некоторый заранее заданный коэффициент сглаживания W, постоянный по всему ряду.

      Новый прогноз можно записать формулой:

 
Расчет экспоненциально сглаженных значений

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникает две проблемы: выбор коэффициента сглаживания (W), который в значительной степени влияет на результаты и определение начального условия (Fi). С одной стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшать. С другой стороны, для увеличения веса новых измерений нужно увеличивать.

  Хотя, в принципе, W может принимать любые значения из диапазона 0 < W < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0,2 до 0,5. При высоких значениях коэффициента сглаживания в большей степени учитываются мгновенные текущие наблюдения отклика (для динамично развивающихся фирм) и, наоборот, при низких его значениях сглаженная величина определяется в большей степени прошлой тенденцией развития, нежели текущим состоянием отклика системы (в условиях стабильного развития рынка).

  Выбор коэффициента постоянной сглаживания является субъективным. Аналитики большинства фирм при обработке рядов используют свои традиционные значения W. Так, по опубликованным данным в аналитическом отделе Kodak, традиционно используют значение 0,38, а на фирме Ford Motors – 0,28 или 0,3.

  Ручной расчет экспоненциального сглаживания требует крайне большого объема монотонной работы. На примере рассчитаем прогнозный объем на 13 квартал, если имеются данные объема продаж за последние 12 кварталов, используя метод простого экспоненциального сглаживания.