Имитационное моделирование производственных и технологических процессов

Рисунок 1.1 – Гистограмма  значений выходного параметра Y₁

Рисунок 1.2 – Гистограмма  выходного параметра Y₂

Проверим гипотезу о  нормальном распределении с помощью  критериев Пирсона и Колмагорова-Смирнова.

Эмпирическое значение рассчитаем по следующей формуле:

где: χ2 - хи-квадрат величина, vj* - эмпирическая частота j-го интервала, vj- теоретическая частота j-го интервала,

n- количество интервалов.

При проверке статистической гипотезы о нормальном распределении в качестве значений ряда берутся центрированные и нормированные значения:

  тогда теоретические частоты вычисляются по формуле:   где: h- ширина интервала, N -объем выборки.

Статистика критерия Колмогорова-Смирнова вычисляется  следующим образом: ,                 

где: D - максимальное значение разности накопленных теоретических и эмпирических частот.

Расчет произведем в Excel с помощью пакета «Анализ данных» инструментом гистограмма. Далее интервалы, в которых количество попавших значений меньше 5, объединим.

Карман	Частота	Теоретическая частота	Скорр. теор.частота	Скорр. частота	Хи-квадрат
0,147602202	17	8,584850838		17	4,165572672
0,152555079	23	18,17670556		23	1,011485622
0,158647003	41	51,91273827		41	2,904581867
0,158707934	1	1,271584597
0,163320092	48	82,21859232	32,53652964	48	24,39400126
0,165719181	34	66,66439177	48,06779384	34	31,38124969
0,168111116	39	86,32272842	20,96188846	39	57,4215545
0,172546886	54	144,4078053	27,38021319	54	151,3624307
0,172747336	4	10,77688827	34,61195262
0,173181347	9	24,63444063	42,34462207	9	27,15952597
0,173212533	2	5,480449647	50,13642149
0,173279886	1	2,746834087	57,45017252
0,175200915	38	111,3022917	63,71068751	38	141,4006834
0,178674988	75	241,3452097	68,37797095	75	368,9430507
0,180236379	24	79,82435978	71,02366832	24	129,8482977
0,181059396	18	60,7794664	71,39584974	18	101,6712637
0,183391886	48	167,7104289	69,45856587	48	298,5538912
0,183955114	13	45,71005831	65,39757304	13	82,30368573
0,185770488	28	99,97357284	59,59096493	28	185,006971
0,187483906	22	79,13154285	52,55114207	22	148,3642358
0,187873809	7	25,19618352	44,85045347	7	47,30015637
0,188175141	4	14,40223421	37,04541263	11	1,05229069
0,194159437	6	8,584850838	22,90964114	17	4,165572672
0,194417158	4	18,17670556	17,1527784	23	1,011485622
0,194610893	2	51,91273827	12,42892203	41	2,904581867
0,196986095	41	1,271584597	8,715959539
0,197681509	15	82,21859232	5,91533926	48	24,39400126
0,19774449	2	66,66439177	3,885319797	34	31,38124969
0,198560329	9	86,32272842	2,469769895	9	17,2663475
0,200594939	6	144,4078053	3,553745259	6	11,6930723
0,206517098	4	10,77688827		4

=177,264511

Табличное значение χ2 рассчитаем в Excel с помощью встроенной функции  ХИ2ОБР(0,05;22), где 0,05 – ошибка, 24 –  число степеней свободы.

Табличное значение χ2 = 36,4150285

Т.к. 177,264511> 36,4150285, то данный критерий оценки не может дать нам  ответ о нормальном распределении Y1.

Коэффициент асимметрии рассчитывается по следующей формуле:

где:- 3-й центральный момент, рассчитываемый по формуле:

Коэффициент эксцесса рассчитаем по формуле: 

где:- 4-й центральный момент, рассчитываемый по формуле:

С помощью расчетов в Excel для Y1 получили:

Асимметричность =0,351162037

Эксцесс = -0,125819269

Отрицательный знак этого коэффициента свидетельствует о плосковершинности  графика распределения выходного параметра Y1

Рассчитаем дисперсию  ассиметрии по формуле:

  = (6*991*(991-1))/((991-2)*(991+1)*(991+3)) = 0,00603623

Рассчитаем дисперсию  эксцесса по формуле:

 

  = (24*991*((991-1)^2))/(( 991-3)*( 991-2)*( 991+3)*( 991+5))= 0,024096631

Проверим гипотезу о нормальном законе распределения величины Y1 по оценкам коэффициентов ассиметрии и аксцесса:

= (24*991*((991-1)^2))/(( 991-3)*( 991-2)*( 991+3)*( 991+5))= 0,024096

Проверим гипотезу о  нормальном законе распределения величины Y1 по оценкам коэффициентов ассиметрии и аксцесса:

0,351162037

0,351162037≤ неверно

0,125819269 ≤ 5*

0,125819269 ≤0,776154478 верно

Нельзя сказать, что  выборкa Y1 близка к нормальному закону распределения, т.к. не выполняется следующее условие:

Произведем расчет для Y2  в Excel с помощью пакета «Анализ  данных» инструментом гистограмма. Далее интервалы, в которых количество попавших значений меньше 5, объединим

Карман	Частота	Теоретическая частота	Скорр. теор.частота	Скорр. частота	Хи-квадрат
2,434143385	29	16,71849235	16,71849235	29	5,201221728
2,44931398	3	1,878674453	18,59716681
2,45463041	3	1,93305374	19,02150331
2,531837802	18	17,08844957	17,08844957	18	0,046162455
2,545327787	5	5,053235471	5,053235471	5	0,000566803
2,573710954	17	19,50027063	19,50027063	17	0,36772666
2,591504617	12	14,85068302	14,85068302	12	0,677199473
2,613259567	10	13,53029933	13,53029933	10	1,246301335
2,621736014	7	9,79563553	9,79563553	7	1,116511146
2,678744466	41	70,83978365	70,83978365	41	21,71738265
2,782375199	84	198,5338983	198,5338983	84	156,1668317
2,90418405	108	328,7435715	328,7435715	108	451,1826331
2,908241327	7	21,44180866	21,44180866	7	29,79511963
2,935142308	35	111,3820832	111,3820832	35	166,6920754
2,93893382	4	12,79183578	85,37600709
2,965763793	22	72,58417131	72,58417131	26	83,46480832
3,025322604	76	262,9926815	262,9926815	76	460,0824068
3,037119076	10	34,8097812	34,8097812	10	61,55252433
3,055314103	14	49,06852777	49,06852777	14	87,84297427
3,097967584	53	186,7256194	186,7256194	53	337,4064395
3,101087084	1	3,522356401	101,7346124
3,12438201	28	98,21225598	98,21225598	29	165,184013
3,13239636	12	41,98603656	41,98603656	12	74,93019906
3,157868224	25	86,47064724	86,47064724	25	151,1456189
3,162429686	6	20,69839184	20,69839184	6	36,00712043
3,165822596	4	13,7703785	81,78133646	4	23,865074
3,183422942	20	68,01095796	68,01095796	20	115,2526042
3,320030689	116	328,3487995	328,3487995	116	388,724247
3,323179378	2	5,626941737	16,80104727	2	6,577353182
3,326817776	4	11,17410553	197,9492802	4	12,86694755
3,461352854	94	186,7751747	186,7751747	94	91,56630892
3,481842595	10	18,6164613	18,6164613	10	7,424340532

= 2952,652388

Табличное значение χ2 рассчитаем в Excel с помощью встроенной функции  ХИ2ОБР(0,05;22), где 0,05 – ошибка, 22 –  число степеней свободы.

Табличное значение χ2 = 33,9244385

Т.к. 2952,652388> 33,9244385, то данный критерий оценки не может дать нам ответ  о нормальном распределении Y2.

Проверим гипотезу о  нормальном законе распределения величины Y2 по оценкам коэффициентов ассиметрии и аксцесса:

С помощью расчетов в Excel для Y2 получили:

Асимметричность = 0,146592673;  Эксцесс = - 0,125089036

Отрицательный знак этого коэффициента свидетельствует о плосковершинности графика распределения выходного параметра Y2.

Рассчитаем дисперсию  ассиметрии:

=(6*996*(996-1))/((996-2)*(996+1)*(996+3)) = 0,006012036

=(24*996*((996-1)^2))/(( 996-3)*( 996-2)*( 996+3)*( 996+5))= 0,024000

Проверим гипотезу о  нормальном законе распределения величины Y2 по оценкам коэффициентов ассиметрии и аксцесса:

0,146592673≤

0,146592673≤ верно

    верно

Нельзя сказать, что  выборкa Y2 близка к нормальному закону распределения, т.к. не выполняется  следующее условие:

Рассчитаем вероятность  выхода годных изделий в данном технологическом  процессе по формуле:  

Количество значений Y1, попавших в интервал равно 665 из 991, что в процентном соотношении  равно 67,10%

2,703962386≤Y₂≤3,402237614

Количество значений Y2, попавших в интервал равно 669 из 996, что в процентном соотношении равно 67,16%

2. Исследование  построенной имитационной модели  на адекватность.

Из сформированного  набора данных X1, X2, X3, X4, X5 извлечём случайным образом выборки образцов объемом 40 значений. Для этого воспользуемся функцией «Выборка» в программе MSExcel. Полученные данные представим в виде следующей таблицы:

     x1                  x2                 x3                  x4                  x5

0,975139 1,971438 2,894774 4,243478 5,261477

1,016547 2,103998 3,046538 4,033409 4,815981

0,970732 2,042363 3,230788 4,234299 4,959286

0,991201 1,971159 2,75178 3,758056 4,729839

0,986165 2,140146 3,098165 4,134855 5,033965

1,016551 1,900143 2,984118 4,137246 5,194798

1,088428 2,027504 3,115902 4,112311 4,508409

0,93225 1,918262 2,938658 3,88751 4,350148

0,91717 2,058182 3,12814 4,062243 5,502346

1,004072 1,951099 2,916933 4,109901 5,137665

0,976907 1,993052 3,116692 4,231914 5,310787

1,027315 2,047697 2,895959 3,987714 5,144505

0,982032 2,177851 2,858147 4,111363 4,643452

0,968211 2,153535 3,021572 3,941808 4,678229

1,015657 1,98224 2,752185 3,889351 4,95979

1,063207 2,034667 3,063683 3,716486 5,07925

1,046324 2,043193 3,241649 4,211657 5,154777

1,053854 1,823473 2,664969 4,084141 4,646128

1,016944 2,076723 3,075831 4,070243 4,981077

0,955757 2,062738 3,062755 4,039226 4,777708

1,046921 2,030584 2,909925 3,996121 4,877963

1,027085 1,964014 3,093242 3,695198 5,170253

0,924524 1,995558 2,971761 3,914905 5,025297

0,980303 1,769849 3,117673 3,87714 5,122899

1,051011 1,994148 3,295432 4,051204 5,13869

1,006156 1,915812 2,953511 4,031393 5,152376

1,018996 1,959263 2,96123 3,855022 4,980463

1,041817 1,988681 3,063595 4,154928 4,805279

0,973053 2,019371 2,946963 3,874282 4,999015

1,011363 1,869053 3,164693 4,006006 4,84557

1,091928 2,021895 3,13869 4,356524 4,56359

1,027071 1,968421 2,923176 4,083874 4,816832

0,988786 2,001251 2,721883 3,597312 4,920066

0,991287 1,936009 2,801257 3,846821 5,048

1,035242 1,901121 2,958279 3,906368 4,823717

1,030314 2,04207 3,216335 4,195206 4,97985

0,938565 2,144094 3,220442 4,079533 5,027624

0,949195 1,920747 3,20134 3,842915 4,855382

1,041497 1,997999 2,730154 4,063561 5,402958

1,118464 2,028626 3,133018 3,808868 4,996376

Рассчитаем числовые значения для входных параметров, используя в Excel анализ данных → описательная статистика:

x1		x2
Среднее	1,007451028	Среднее	1,998700699
Стандартная ошибка	0,045792989	Стандартная ошибка	0,085567532
Медиана	1,013510231	Медиана	1,996778627
Мода	#Н/Д	Мода	#Н/Д
Стандартное отклонение	0,045792989	Стандартное отклонение	0,085567532
Дисперсия выборки	0,002096998	Дисперсия выборки	0,007321803
Эксцесс	-0,059789428	Эксцесс	0,642413318
Асимметричность	0,126723377	Асимметричность	-0,238040032
Интервал	0,201293915	Интервал	0,408002506
Минимум	0,917169589	Минимум	1,769848728
Максимум	1,118463504	Максимум	2,177851234
Сумма	40,29804113	Сумма	79,94802795
Счет	40	Счет	40
Уровень надежности(95,0%)	0,014645308	Уровень надежности(95,0%)	0,027365824
Среднее	3,009545934	Среднее	4,005859789
Стандартная ошибка	0,159506185	Стандартная ошибка	0,167127411
Медиана	3,034054807	Медиана	4,036317374
Мода	#Н/Д	Мода	#Н/Д
Стандартное отклонение	0,159506185	Стандартное отклонение	0,167127411
Дисперсия выборки	0,025442223	Дисперсия выборки	0,027931572
Эксцесс	-0,571987566	Эксцесс	-0,148940311
Асимметричность	-0,34917070	Асимметричность	-0,334171521
Интервал	0,630462637	Интервал	0,630462637
Минимум	2,664969437	Минимум	3,597312126
Максимум	3,295432073	Максимум	4,356523742
Сумма	120,3818374	Сумма	160,2343916
Счет	40	Счет	40
Уровень надежности(95,0%)	0,051012553	Уровень надежности(95,0%)	0,053449939
Среднее	4,960545445
Стандартная ошибка	0,240535596
Медиана	4,98077044
Мода	#Н/Д
Стандартное отклонение	0,240535596
Дисперсия выборки	0,057857373
Эксцесс	0,305048466
Асимметричность	-0,241265044
Интервал	1,15219791
Минимум	4,350147846
Максимум	5,502345756
Сумма	198,4218178
Счет	40
Уровень надежности(95,0%)	0,076927016

Рассчитаем доверительные  интервалы для математического  ожидания и дисперсии:

Случай известной генеральной дисперсии:

Случай неизвестной  генеральной дисперсии:

Интервальная оценка для дисперсии:

Для выборок Х_i рассчитаем доверительные интервалы для среднего (случай с неизвестной генеральной дисперсией):

Уровень значимости равен 5%, значение полуширины равно:

Для Х₁ = 0,014645308 Для Х₂ = 0,027365824 Для Х₃ = 0,051012553

Для Х₄ = 0,053449939 Для Х₅ = 0,076927016

Расчет полуширины получили с помощью встроенной функции  в Excel СТЬЮДРАСПОБР, где указали уровень значимости, количество элементов выборки и стандартное отклонение.

Доверительный интервал для M (Хi)равен:

0,992970014 ≤M (X₁)≤ 1,021932043

1,971641869≤M (X₂) ≤ 2,025759528

2,95910565≤M (X₃) ≤ 3,059986219

3,953009461≤M (X₄) ≤ 4,058710117

4,884481411≤M (X₅) ≤ 5,036609479

Для выборок Х_i рассчитаем доверительные интервалы для среднего (случай с известной генеральной дисперсией):

Используем следующую формулу:

где σ =

Доверительный интервал для  равен:

0,985729506≤M (X₁)≤ 1,02917255

1,958112454≤M (X₂) ≤ 2,039288943

2,933885507≤M (X₃) ≤ 3,085206361

3,926584297≤M (X₄) ≤ 4,085135281

4,846449394≤M (X₅) ≤ 5,074641496

Для выборок Х_i рассчитаем доверительные интервалы для среднеквадратичного отклонения, расчет произведем в Excel с помощью встроенной функции ХИ2ОБР:

0,004819159 ≤ σ(X₁) ≤0,011704525

0,009004949 ≤ σ(X₂) ≤0,021870757

0,0167861 ≤ σ(X₃) ≤0,040769214

0,017588142 ≤ σ(X₄) ≤0,042717172

0,025313466 ≤ σ(X₄) ≤0,061480044

Осуществим проверку гипотезы о равенстве математического ожидания для величины X₁: m₁=1, для X₂: m₂=2, для X₃:m₃=3, для X₄: m₄=4, для X₅: m₅=5:

Процентная точка для  всех выборок Х_i одинаковая и равна 2,063898547 (была рассчитана в Excel с помощью встроенной функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;40-1)).

Теоретическая точка  для X₁:

= 0,932961635

Аналогично расчеты  для Х₂ – Х₅:

T₂=-0,119050729

T₃=0,675150969

T₄=0,687174053

T₅=-0,252807525

Гипотеза о равенстве  математического ожидания подтверждается, если меньше процентной точки: