Планирование и организация эксперимента

 

Таблица 5 – Значения a(r,α)

а = 0,91;

Подставляем в формулу  для определения объема выборки, получаем:

 

 

 

1.9 Функция плотности распределения, эмпирическая и теоретическая функции распределения.

 

 

Рисунок 3 - Функция плотности распределения

Линия  на графике  - это функция плотности распределения.

Рисунок 4 - График эмпирической и теоретической функции распределения

Глава 2 План эксперимента по выяснению регрессионной зависимости

2.1 Полный факторный  эксперимент

Для выполнения работы был  осуществлён компьютерный эксперимент  с помощью программной оболочки для моделирования экспериментальной  установки – генератора отклика  для факторного эксперимента в среде Matlab.

Необходимо определить влияние трех факторов: температуры (X₁), давления (X₂) и влажности (X₃) на результат эксперимента (Y). Для выяснения регрессионной зависимости был проведён полный факторный эксперимент.

В полном факторном эксперименте реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Если число уровней каждого фактора равно двум (верхний и нижний), то имеем полный факторный эксперимент (ПФЭ) типа , где m - число факторов. Число опытов ПФЭ равно n = , а кодированные значения факторов будут равны:  + 1 (верхний уровень);  - 1 (нижний уровень).

Сначала была составлена таблица основных характеристик  плана.

Таблица 6 – Основные характеристики плана

Характеристика	X1 (t, °C)	X2(P, атм)	X3(влажность)
Верхний уровень	40	1,1	1,0
Нижний уровень	5	0,9	0,1
Основной уровень	22,5	1	0,55
Интервал варьирования	17,5	0,1	0,45

 

Так как число факторов m = 3 – число опытов n = 8. Уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

Далее была построена  расширенная матрица планирования ПФЭ. Она построена по третьему приёму построения. Третий прием основан на правиле чередования знаков: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце чередуются через 2, в третьем - через 4 и т.д.

 

 

 

 

 

 

Таблица 7 – Расширенная матрица планирования ПФЭ

№ опыта	X0	Х1	Х2	Х3	X1X2	X1X3	X2X3	X1X2X3
1	+	–	–	–	+	+	+	–
2	+	+	–	–	–	–	+	+
3	+	–	+	–	–	+	–	+
4	+	+	+	–	+	–	–	–
5	+	–	–	+	+	–	–	+
6	+	+	–	+	–	+	–	–
7	+	–	+	+	–	–	+	–
8	+	+	+	+	+	+	+	+

 

Согласно заданному  плану далее был проведён эксперимент. При одинаковых уровнях факторов проводилось по два повтора. Результаты эксперимента представлены в следующей  таблице:

Таблица 8 – Результаты эксперимента

№	1	2	3	4	5	6	7	8
	12,70299	30,21068	17,44294	32,84041	-30,38264	-10,99313	-25,33031	-8,99423
	9,86825	33,02472	17,46808	29,66473	-25,40844	-9,31086	-31,12172	-12,32657

2.2 Статистическая  обработка результатов полного  факторного эксперимента

Сначала были найдены оценки среднего ( ), а также оценки дисперсий ( ). Результаты представлены в таблице ниже:

 

 

 

Таблица 9 – Оценки среднего и дисперсий

№	1	2	3	4	5	6	7	8
	11,28562	31,6177	17,45551	31,25257	-27,89554	-10,15199	-28,2260	-10,6604
	4,01788	3,95941	0,00032	5,04247	12,37133	1,41502	16,77022	5,55224

;l = 2;

Далее была оценена однородность дисперсий по критерию Кохрена:

f₁ = l –1 = 1;      f₂ = n=8;        G_табл = 0,680;

 

Значения критерия Кохрена G для уровня значимости α=0.05 представлены в приложении Б.

Так как G_расч<G_табл – дисперсии однородны.

Далее были рассчитаны коэффициенты регрессии:

^;

Предварительно регрессионная  модель будет иметь вид:

Y* = 1,83468 + 8,67979•X₁ + 0,62074•X₂ - 21,06817•X₃ – 0,83912•X₁X₂+   + 0,14750•X₁X₃ - 0,83046•X₂X₃ + 0,79464•X₁X₂X₃;

Далее была оценена значимость коэффициентов.

Общая дисперсия воспроизводимости  определяется по формуле:

;

Дисперсия коэффициентов  определяется по формуле:

;

Табличное значение критерия Стьюдента t_{0,95; 8} = 1,859548 (при f = n(l –1) =8).

Тогда доверительный  интервал коэффициентов равен:

;

|θ₀^*| = 1,83468>Δθ_j^* – коэффициент значим;

|θ₁^*| = 8,67979>Δθ_j^* – коэффициент значим;

|θ₂^*| = 0,62074<Δθ_j^* – коэффициент незначим;

|θ₃^*| = 21,06817>Δθ_j^* – коэффициент значим;

|θ₁₂^*| = 0,83912<Δθ_j^* – коэффициент незначим;

|θ₁₃^*| = 0,14750<Δθ_j^* – коэффициент незначим;

|θ₂₃^*| = 0,83046<Δθ_j^* – коэффициент незначим;

|θ₁₂₃^*| = 0,79464<Δθ_j^* – коэффициент незначим.

 

После оценки значимости коэффициентов регрессионная модель имеет вид:

Y* = 1,83468 + 8,67979•X₁ - 21,06817•X₃;

 

Далее была проверена  адекватность модели. Для этого была построена таблица оценки дисперсии  адекватности процесса, где расчетные значения Y были найдены по модели представленной выше.

 

Таблица 10 – Оценка дисперсии адекватности

№
1	11,28562	14,22306	-2,93744	8,628568
2	31,6177	31,58264	0,035063	0,001229
3	17,45551	14,22306	3,232448	10,44872
4	31,25257	31,58264	-0,33007	0,108945
5	-27,8955	-27,9133	0,017735	0,000315
6	-10,152	-10,5537	0,401705	0,161367
7	-28,226	-27,9133	-0,31274	0,097806
8	-10,6604	-10,5537	-0,1067	0,011385
∑				19,45833

где n = 8 – число опытов;

k = 3 – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.

Расчетное значение критерия Фишера:

Табличное значение критерия Фишера для уровня значимости 0,05 и чисел степеней свобод:

f₁ = n–k = 8–3=5;

f₂ = n(l –1) = 8(2–1)=8;

F_табл = 3,68750.

Табличное значение критерия Фишера было рассчитано с помощью  вероятностного калькулятора в программе STATISTICA.

F_расч<F_табл – то есть модель адекватна.

Значения полученных коэффициентов модели вычислены исходя из кодированных переменных. Необходимо перейти к истинным коэффициентам модели. Кодирование проводилось по формуле:

где Х_j – кодированное значение фактора;

x_j – истинное значение фактора;

x_0j – значение фактора на нулевом уровне (в центре плана);

Δx_j – интервал варьирования фактора.

Подставив необходимые  значения в формулу для X_j, получим:

То есть регрессионная  модель будет иметь вид:

Упростив предыдущее уравнение, был получен окончательный  вид регрессионной модели:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы были обобщены и применены на практике знания, полученные в процессе изучения дисциплин «Математические модели в метрологии», «Статистические методы контроля и управления качеством», «Планирование и организация эксперимента».

Были выполнены два основных задания:

• Составлен план эксперимента по определению характеристик случайной величины;
• Составлен план эксперимента по выяснению регрессионной зависимости.

В ходе выполнения первого  задания, путем проверки критериев  и представления данных в графическом виде, было определено, что генератор случайных чисел генерирует выборки, распределенные по экспоненциальному закону. Также при помощи проверки статистических гипотез были найдены интервальные и точечные оценки этого распределения и определён необходимый объём выборки.

В ходе выполнения второго  задания был проведён полный факторный  эксперимент и выполнена статистическая обработка его результатов. Было найдено математическое описание процесса в виде уравнения регрессии. Правильность полученного уравнения регрессии подтверждается тем, что модель по результатам оценки является адекватной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

 

1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.
2. Красовский Г. И., Филаретов Г. Ф. Планирование эксперимента. – Минск: Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1982.
3. Казаков В. Ю. Методические указания к лабораторной работе №5 «Основы планирования полного факторного эксперимента» по дисциплине «Планирование и организация эксперимента».
4. Короткова Е. И. Планирование и организация эксперимента. Учебное пособие. – Томск: изд-во ТПУ, 2003. – 92 с.