Планирование и организация эксперимента

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РФ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального  образования

 «Национальный исследовательский ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

Наименование института  – Институт кибернетики

Наименование направления  – Метрология, стандартизация и  сертификация

Наименование кафедры  – КИСМ

 

 

 

 

ПЛАНИРОВАНИЕ  И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Курсовая работа

по курсу 

«Планирование и организация  эксперимента»

Вариант №10

 

 

 

 

 

Студент гр.1Г90                        _____________    К.И. Костюк

                                (подпись)

   _____________

             (дата)

Доцент, канд. физ.-мат. наук     ____________           В.Ю. Казаков

         (подпись)           

    ____________                          

                                                             (дата)

                                                 

 

 

Томск - 2012

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение………………………………………………………………………….4

Глава 1. Составление плана эксперимента по определению характеристик         случайной величины……………………………………………………………..5

   1.1 Получение и обработка выборочных данных……………………………5

   1.2 Формулировка гипотезы о типе распределения случайной величины…6

   1.3 Критерий χ² – Пирсона……………………………………………………..6

   1.4 Критерий Фроцини…………………………………………………………9

   1.5 Характеристики экспоненциального распределения …………………...10

   1.6 Точечные оценки параметров распределения…………………………...10

   1.7 Интервальная  оценка параметров распределения……………………….11

   1.8 Определение объёма выборки…………………………………………….11

   1.9 Функция плотности  распределения, эмпирическая и  теоретическая   

         функции распределения…………………………………………………..12

Глава 2. Составление плана эксперимента по выяснению регрессионной зависимости………………………………………………………………………14

   2.1 Полный факторный эксперимент…………………………………………14

   2.2 Проведение статистической обработки результатов компьютерного

         эксперимента………………………………………………………………15

Заключение………………………………………………………………………20

Список использованных источников…………………………………………..21

Приложение А …………………………………………………………………..22

Приложение B …………………………………………………………………...23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Целью данной курсовой является проведение планирования и организации  эксперимента, а также анализа этих экспериментов.

Цель планирования эксперимента -  нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

           В первой части моей работы  нужно составить план эксперимента  по определению характеристик  случайной величины.

Применение метода анализа  результатов наблюдений, разработанного для конкретных законов распределения, в условиях, когда реальное распределение отличается от гипотетического, является самой распространенной ошибкой на практике, которая приводит к неверным выводам и к существенным материальным потерям и затратам времени. Поэтому важно знать  каково распределение вероятностей обрабатываемого ряда случайных величин.

          Второй частью данной работы  является  составление плана эксперимента  по выяснению регрессионной зависимости,  также нужно провести статистическую  обработку его результатов.

 Регрессионный анализ служит для нахождения по результатам эксперимента связи выходного параметра с факторами, которые оказывают влияние на этот параметр. Регрессионный анализ позволяет получить математическую модель процесса на основе оценки коэффициентов регрессии в виде полинома.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. План эксперимента по определению характеристик случайной  величины.

1.1 Получение и обработка  выборочных данных

Для выполнения работы бралась выборка  заданного объёма n непрерывной случайной величины с помощью программной оболочки для моделирования экспериментальной установки – генератора случайных чисел в среде Matlab.

Для формулировки гипотезы о виде распределения необходимо иметь априорную информацию. В  качестве априорной информации была взята гистограмма, построенная в программе STATISTICA.

.

 

Рисунок 1 – Гистограмма  выборочных данных

 

Количество интервалов вычисляется по формуле:

К=1+3,32log n,                                                                                        (1),

где N – объем выборки.

Для объема выборки n=100, количество интервалов принимаем таким образом: K=1+3,32log 100=7,64 8.

Из графика можно сделать  вывод, что скорей всего это экспоненциальное распределение.

1.2 Формулировка гипотезы о типе распределения случайной величины.

Необходимо проверить  гипотезу о том, что распределение  случайной величины описывается  некоторым конкретным законом. В  предыдущем пункте было сделано предположение  о том, что случайная величина распределена по экспоненциальному закону.

Была сформулирована гипотеза о  виде  распределения  генеральной совокупности:

 

  Н0: F_n(x)=F(x)  (экспоненциальное распределение);

H1: F_n(x) ≠ F(x),

 

 где F_n(x) – эмпирическая функция распределения вероятностей;

        F(x)   - гипотетическая функция распределения вероятностей.

 

1.3. Критерий χ² – Пирсона

Критерий основан на сравнении  эмпирической гистограммы распределения  случайной величины с ее теоретической  плотностью. Диапазон измерения экспериментальных  данных разбивается на k интервалов, и подсчитывается статистика:

где n_i – количество значений случайной величины, попавших в i-й интервал;

• объем выборки; F(x) – гипотетический теоретический закон распределения вероятностей случайной величины;                    p_i = F(x_i+1) – F(x_i) -  теоретическая вероятность попадания случайной

величины в i-й интервал. 

Используя генератор  случайных чисел, получили данные для  своего варианта, при n=100 (Приложение А).

По этим данным строим эмпирическую функцию распределения  для этого:

1. Вычисляем количество интервалов группировки:

,

где n – объем выборки.

 ;

2. Вычисляем длину интервала:

 

 

 

;

 

где        x_max – последний элемент вариационного ряда;

      х_min – первый элемент вариационного ряда;

      k – число интервалов группирования.

 

Находим границы интервала, частоту, накопленную частоту и  накопленную частность и запишем  в таблицу 1.

 

Таблица 1 - Обработка данных для построения гистограммы

i	Xi	Xi+1	Xcp	ni	Накопленная частота	Накопленная частность
1	0,2985	5,800	3,1985	49	49	0,49
2	5,800	11,3015	8,5508	20	69	0,69
3	11,3015	16,803	14,0523	13	82	0,82
4	16,803	22,3045	19,5538	9	91	0,91
5	22,3045	27,806	25,0553	3	94	0,94
6	27,806	33,3075	30,5568	2	96	0,96
7	33,3075	38,809	36,0583	3	99	0,99
8	38,809	44,3105	41,5598	1	100	1,00

 

где  i – номер интервала группирования;

X_i – нижнее значение i-го интервала группирования;

X_i+1 – верхнее значение i-го интервала группирования;

Хср – среднее значение в i-ом интервале группирования;

n_i – количество значений, попавших в i-й интервал группирования.

 

 

_{Таблица 2 - Представление выборочных данных}

	Границы интервала		ni	F(Хi)	F(Хi+1)	pi	npi	(ni-npi)2
	Xi	Xi+1
1	0,2985	5,800	49	0,032	0,469	0,437	43,7	28,09	0,642791762
2	5,800	11,3015	20	0,469	0,708	0,239	23,9	15,21	0,636401674
3	11,3015	16,803	13	0,708	0,84	0,132	13,2	0,04	0,003030303
4	16,803	22,3045	9	0,84	0,912	0,072	7,2	3,24	0,45
5	22,3045	27,806	3	0,912	0,952	0,04	4	1	0,25
6	27,806	33,3075	2	0,952	0,974	0,022	2,2	0,04	0,018181818
7	33,3075	38,809	3	0,974	0,985	0,011	1,1	3,61	3,281818182
8	38,809	44,3105	1	0,985	0,992	0,007	0,7	0,09	0,128571429
									∑ = 5,410795167

χ² =5,410795167

 

Далее при помощи вероятностного калькулятора в программе Statistica вычисляем табличное значение χ², с числом степеней свободы f = k – 1 –m, где m – число оцениваемых параметров.

 

f = 8 – 1 -1 = 6

 

Рисунок 2 – Вероятностный калькулятор для определения χ²_табл

χ²_табл = 12,591587.

 

Так как χ² = 5,410795167< 12,591587можем сделать вывод, что нулевая гипотеза принимается.

1.4 Критерий  Фроцини

Критерий экспоненциальности, основанный на статистике

 

 

 Критические значения Bn (α) привидены в таблице 3.

 

Таблица 3- Критические значения Bn (0,95)

 

Из таблицы для n>20 находим Bn (0,95) ≈ 0,3840

Так как Bn = 0,2665 < Bn (0,95) ≈ 0,3840, гипотеза экспоненциальности распределения не отклоняется.

 

 

 

 

 

 

1.5 Характеристики экспоненциального распределения

Экспоненциальное распределение  – одно из наиболее часто встречающихся распределений в теории надежности и в теории массового обслуживания.

 

1.6 Точечные оценки параметров распределения

Плотность экспоненциального  распределения вероятностей случайной величины описывается формулой

,

_где - параметр распределения.

 

Оптимальная линейная оценка находится по формуле:

, где

Здесь - порядковая статистика выборки;

, - количества цензурированных соответственно наименьших и наибольших наблюдений в выборке;

-  математическое ожидание к-ой порядковой статистики в выборке объема п из нормированного экспоненциального распределения.

У нас отсутствует  цензурирование, т.е. Вычисляем

Следовательно,

 

_9,170487

 

1.7 Интервальная оценка параметров распределения

;   , где и - табличные значения.

То есть получили, что  параметр v=9,1705 и находится он в интервале

1.8 Определение  объёма выборки

Объем выборки для экспоненциального распределения определим по формуле:

где λ₀ – предполагаемое значение интенсивности отказов, а – коэффициент, зависящий от r и α.

;

 

Предположим, что δ = 0,1, t_u = 100, p = 0,95.

Значение r находим из соотношения:

 

Далее по таблице 4, находим значение r:

 

 

 

 

Таблица 4 – Значения b(r,α)

r =300;

Из таблицы 5,находим значение а: