Математическое моделирование процессов сложного теплообмена и оптимизация параметров теплозащитного покрытия с системой радиационных э

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  ПРОЦЕССОВ СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА  И ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОКРЫТИЯ С СИСТЕМОЙ РАДИАЦИОННЫХ ЭКРАНОВ

Данилова Д.А., Просунцов  П.В.

Главная задача многоразовых космических аппаратов – значительно уменьшить стоимость доставки полезной нагрузки на низкую околоземную орбиту. Основной путь ее решения - снижения веса аппарата. Для этого теплозащитное покрытие (ТЗП) многоразового космического аппарата должно не только эффективно защищать поверхность конструкции от аэродинамического нагрева, но и быть легковесным [1]. Этим требованиям удовлетворяют теплозащитные покрытия на основе волокнистых материалов. Примерами подобных ТЗП могут служить жесткие керамические плитки и гибкие теплозащитные покрытия аппарата Space Shuttle [4], а также разрабатываемые покрытия с несущим корпусом для таких аппаратов как X33, Venture Star, X43 [1].

Специфика и сложность  моделирования процессов теплообмена  в волокнистых материалах состоит в том, что в них одновременно имеют место несколько механизмов переноса тепла: теплопроводность по твердому каркасу, теплопроводность по газовой среде и излучение. С ростом температуры увеличивается вклад переноса энергии посредствам излучения и при высоких температурах радиационный поток становится основным механизмом теплопереноса [5].

Для блокирования радиационного потока в волокнистом материале разрабатываются различные способы, такие как нанесение отражающих покрытий на волокна, включение в волокна частиц оксида хрома Cr₂O₃, заполнение пор волокнистого материала мелкодисперсными непрозрачными частицами, а также установка радиационных экранов [2, 3, 5, 6]. Исследования, проводимые в научно-исследовательском центре в Лэнгли, NASA, показали, что наиболее эффективным способом на сегодняшний день является применение систем радиационных экранов (рис. 1). Но в результате исследований подобных систем были получены лишь качественные оценки эффективности таких ТЗП. Цель настоящей работы – дать количественную оценку: определить влияние количества, расположения и отражающей способности экранов на эффективность ТЗП.

Рис. 1. ТЗП с системой радиационных экранов [2]

Для описания процесса радиационно-кондуктивного  теплообмена рассматривается модель многослойного теплозащитного покрытия, состоящего из N слоев различных материалов, как непрозрачных, так и частично-прозрачных, толщиной d_i и плотностью ρ_i, i = 1,2,..,N (рис. 2). Предполагается, что процесс распространения тепла в покрытии является одномерным. Теплофизические и оптические свойства материалов являются функциями температуры. Коэффициент рассеяния частично-прозрачного материала существенно больше коэффициента поглощения (σ/k>>1). Между слоями частично прозрачного материала размещены непрозрачные слои. Тепловой контакт между слоями считается идеальным.

Рис. 2. Схема расчетной модели.

Математическая модель процесса теплопереноса в элементе ТЗП может быть представлена в виде [7]:

– уравнение теплопроводности для непрозрачных слоев

 ₍₁₎ 
– уравнение теплопроводности для частично прозрачных слоев

_{(2) 
– начальные условия уравнения теплопроводности}

 _{(3) 
–граничные условия на фронтальной поверхности ТЗП}

_{(4) 
–граничные условия на тыльной поверхности ТЗП}

 (5) 
- уравнение баланса энергии на стыках непрозрачных слоев

 <sub>(6) 
- уравнение баланса энергии на стыках частично прозрачного и непрозрачного слоев</sub>

<sub>(7) 
- уравнение переноса излучения в частично прозрачных слоях</sub>

<sub>(8) 
- граничные условия на стыке непрозрачного и частично прозрачного слоев для уравнения переноса излучения</sub>

_{(9) 
(10) 
где}

 

где i – номер слоя; x – пространственная координата, м; X_i – координата границы i-го и (i+1)-го слоя, м; Т – температура, К; τ – время, с; С – объемная теплоемкость материала, Дж/(м³∙K); λ – теплопроводность материала, Вт/(м∙K); q_w – внешний конвективный тепловой поток, подводимый к поверхности элемента ТЗП, Вт/м²; q_r – плотность потока энергии излучения, Вт/м²; α_f – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²∙K); ε – степень черноты материала; r – отражающая способность; n – показатель преломления излучения; σ₀ – постоянная Стефана-Больцмана; k – коэффициент поглощения излучения, 1/м; σ – коэффициент рассеяния излучения, 1/м;  
I – интенсивность излучения, Вт/(м²∙ср); φ – угол между направлением распространения излучения и осью х.

Математическая модель процесса радиационно-кондуктивного теплообмена содержит интегро-дифференциальное уравнение переноса излучения. Для решения этого уравнения используется метод полумоментов [8], наиболее эффективный в случае малых оптических толщин. Тогда математическая модель примет вид:

- уравнение теплопроводности  для непрозрачного слоя

 (11) 
- уравнение теплопроводности для прозрачного слоя

 (12) 
- начальные условия уравнения теплопроводности

 (13) 
- граничные условия на фронтальной поверхности ТЗП

 (14) 
- граничные условия на тыльной поверхности

 (15) 
- условия баланса энергии на стыках непрозрачных слоев:

 (16) 
- условия баланса энергии на стыках частично прозрачного и непрозрачного слоев

 (17) 
(18) 
- уравнение переноса излучения

 (19) 
(20) 
(21) 
(22) 
где:

- граничные условия на стыке частично прозрачного и непрозрачного слоев для уравнения переноса излучения

 (23) 
(24) 
(25) 
(26) 
где , –плотность энергии излучения в положительном и отрицательном направлении соответственно, Вт/м²; , –плотность потока энергии излучения в положительном и отрицательном направлении соответственно, Вт/м².

Модель теплозащитного покрытия с системой радиационных экранов представляет собой слои волокнистого материала Saffil плотностью  
120 кг/м³, разделенные фольгой толщиной 0,01 мм (рис. 3). Сверху ТЗП имеет покрытие С-9. К конструкции аппарата теплозащитное покрытие крепится через войлок Nomex, который играет роль компенсатора деформаций. Предполагается, что теплоизолируемая поверхность аппарата изготовлена из алюминиевого сплава 2014.

Рис. 3. Схема ТЗП с системой радиационных экранов

1 – покрытие С-9;  2 – экраны;  3 – волокнистый  материал Saffil;

4 – войлок  Nomex;  5 – конструкция аппарата.

На тыльной стороне  покрытия имеет место естественная конвекция с коэффициентом теплоотдачи 10 Вт/м²×К и радиационный теплообмен с окружающей средой с температурой 300 К. Степень черноты алюминиевого сплава принимается равной 0.5. Условия теплового нагружения - тепловой поток на фронтальной поверхности элемента системы теплозащиты, изображен на рис. 4 [4].

Рис. 4. Тепловой поток

на фронтальной поверхности элемента ТЗП

1 – точное значение; 2 - аппроксимация

Материал для радиационных экранов должен обладать высокой термостойкостью, высокой отражательной способностью и ее стабильностью при высоких температурах. Этим требованиям удовлетворяет никелевая фольга. Для анализа влияния отражательной способности экранов на общую эффективность теплозащитного покрытия в работе рассматривались модели ТЗП с никелевыми экранами и с позолоченными никелевыми экранами (рис. 5).

Рис. 5 – Отражательная способность экранов

1 – никелевые экраны, 2 – позолоченные экраны

Оптимизация параметров теплозащитного покрытия может проводиться в двух направлениях:

1. Снижение температуры тыльной поверхности ТЗП при постоянной толщине теплозащитного покрытия.
2. Уменьшение толщины теплозащитного покрытия при ограничении температуры тыльной поверхности ТЗП.

Для анализа влияния отражательной способности радиационных экранов на снижение температуры тыльной поверхности ТЗП использовалась модель теплозащитного покрытия с k экранами (k=0, 1, …,30) и общей толщиной слоя волокнистого материала 60 мм. Экраны расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Как видно из приведенных  графиков (рис. 6) система экранов с более высокой отражательной способностью позволяет в большей степени снизить температуру тыльной поверхности ТЗП. Так для 5 экранов при увеличении массы ТЗП всего на 0,445 кг на м² температуру тыльной поверхности ТЗП можно снизить на 6,9 К, если экраны не имеют покрытия и на 19,4 К, если экраны позолоченные.

Рис. 6. Зависимость максимальной температуры на тыльной поверхности от количества экранов для ТЗП с различными экранами:

1 – никелевые экраны, 2 – позолоченные экраны

При этом следует учитывать, что с увеличением количества экранов общая масса теплозащитного покрытия растет прямо пропорционально этому количеству, тогда как уменьшение максимальной температуры тыльной поверхности имеет более плавный характер (рис. 7).

Рис. 7. Зависимость снижения максимальной температуры тыльной поверхности ТЗП от количества экранов:

1 –никелевые экраны, 2 – позолоченные экраны

Очевидно, что повышение отражающих свойств радиационных экранов позволяет использовать меньшее число экранов и, соответственно, меньше увеличивать вес ТЗП.

Для анализа влияния отражательной способности радиационных экранов на уменьшение толщины теплозащитного покрытия использовалась модель ТЗП с k экранами (k=0, 1 … 20). Экраны расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Минимальная толщина ТЗП определялась с точностью 0,1 мм при ограничении максимальной температуры тыльной поверхности ТЗП до 430 К.

Очевидно, что экраны с большей отражательной способностью позволяют значительней уменьшить толщину волокнистого материала  
(рис. 8). Так для уменьшения толщины волокнистого материала на 3 мм требуется установка пяти экранов без покрытия или одного позолоченного экрана.

Рис. 8. Зависимость толщины волокнистого материала от количества экранов:

1 –экраны без покрытия, 2 – позолоченные экраны

Главная цель уменьшения толщины волокнистого материала  – снижение общей массы теплозащитного покрытия. В этом случае основной задачей является определение оптимального количества экранов (рис. 9).

Рис. 9. Зависимость массы ТЗП от количества экранов:

1 –экраны без покрытия, 2 – позолоченные экраны

Как видно из рисунка 9, использование системы с никелевыми экранами без покрытия не позволяет уменьшить массу ТЗП. Это объясняется низкой эффективностью таких экранов, из-за чего снижение массы ТЗП за счет уменьшения толщины слоя волокнистого материала не превышает массу, добавленную вследствие установки экранов. То есть применение системы радиационных экранов с отражающей способностью ниже 0,9 нецелесообразно, так как установка таких экранов не только повышает трудоемкость изготовления ТЗП, но и утяжеляет покрытие.

Система с позолоченными никелевыми экранами позволяется снизить общую массу ТЗП за счет уменьшение толщины волокнистого материала. Оптимальное количество экранов в такой системе – 8, при этом экономия массы относительно теплозащитного покрытия без экранов составляет 6,61%.

Повышению эффективности ТЗП с системой радиационных экранов способствует не только установка оптимального количества экранов в волокнистом материале, но и оптимальное расположение этих экранов. Для этого с помощью генетического алгоритма решена геометрическая обратная задача теплообмена по оптимизации положения экранов. В качестве минимизируемой величины была выбрана максимальная температура тыльной поверхности ТЗП. Из технологических соображений накладывались ограничения на минимальное расстояние между экранами – 1 мм.

Для расчета были использованы модели ТЗП с одним и пятью  экранами. Базовым расположением экранов считается их равномерная установка на расстоянии 2,5 мм друг от друга. Оптимальные расстояния между экранами показаны на рисунке 10.

Рис. 10. Оптимальное расположение экранов для различных схем ТЗП:

а – ТЗП с 1 экраном  без покрытия; б – ТЗП с 1 позолоченным экраном;

в – ТЗП с 5 экранами без покрытия; г – ТЗП с 5 позолоченными  экранами.

Очевидно, что при более высокой отражательной способности экраны устанавливаются на большей глубине волокнистого материала и их положение сгущается к нагреваемой поверхности.

Также отражательная  способность экранов влияет на эффективность оптимизации расстояния между экранами (табл. 1). Так оптимальное расположение экранов без покрытия не позволяет существенно уменьшить температуру тыльной поверхности, тогда как оптимальное расположение пяти позолоченных экранов снижает максимальную температуру тыльной поверхности на 3,42 К.