Кездейсоқ оқиға және ықтималдық

Бернулли формуласы бойынша:

Р3,5=С35(3/5)3*(2/5)2=216/625

6. КЕЗДЕЙСОҚ ШАМА. ТАҢДАУ ӘДІСТЕРІНІҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

6.1. Кездейсоқ шама.

Ықтималдықтар теориясындағы  маңызды ұғымдардың бірі – кездейсоқ  шама. Ендеше келесі мысалға көңіл бөлейік:

1) Қалалық көлік қозғалысын  бақылауда бір сағат ішінде  кездейсоқ қиылыстан өтетін машиналар  саны – кездейсоқ мән қабылдайды.

2) Хаттар санағында кездейсоқ  пошта бөліміне әр кун сайын  түсетін хаттар саны - әр түрлі  кездейсоқ мән қабылдайды. 
Бұл мысалдар мазмұны бойынша әр түрлі, бірақ олардың ортақ мағынасы бар:

1) Әр мысалда кездейсоқ  оқиғаны бейнелейтін шама туралы айтылады.

2) Бұр әрбір шама кездейсоқ  тәжірибе нәтижесіндегі сәйкес мән қабылдайды.

Анықтама: Алдын ала белгісіз, тек тәжірибе нәтижесінде анықталатын бір мәнді шаманы кездейсоқ шама деп атайды.

Кездейсоқ шама кездейсоқ  оқиғамен тығыз байланысты. Егер кездейсоқ  оқиға тәжірибенің сапалық сипаттамасы  болса, ал кездейсоқ шама оның сандық сипаттамасы береді.

Мына мысалдарға назар аударайық:

1) Оқты 4 рет атқандағы дәл тигізу саны;

2) Ұялы телефонға бір күнде түскен хаттар саны;

3) Қаңтар айындағы қалаға жауған қардың мөлшері.

Бұл арада кездейсоқ шамалар  алдын-ала көрсетілген жеке тиянақты мәндерді қабылдайды.

Анықтама: Мәндері жеке дара тиянақты сандар болатын кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атайды.

Басқа типті кездейсоқ шамалар да бар.

Мысалы:

1) нысанаға атқанда тигізген нүктенің абсциссасы;

2) белгілі биіктікке көтерілгенде ұшатын аппараттың жылдамдығы;

3) денені аналитикалық  таразымен өлшегенде кететін қателіқ;

4) кездейсоқ алынған дәннің салмағы.

Берілген кездейсоқ шаманың  мүмкін болатын мәндері бір-бірінен  алшақ емес. Олар үзіліссіз шеткі  нүктелері бар, ал кейде анықталмаған қандай да бір сандық аралықты толтырады.

Анықтама: Мәндері үзіліссіз белгілі бір [а; b] кесіндісінде (мұндагы а < b, а және b тиянақты нақты сандар) орналасқан кездейсоқ шаманы үзіліссіз кездейсоқ шама деп атайды.

х1, х2,..., хn мәндері болатын X дискретті шамасын қарастырайық. Әрбір мәннің болуы мүмкін, бірақ ақиқат емес. X кездейсоқ шамасы х1, х2,..., хn мәндері қандай да бір р1, р2, ...,рп ықтималдықтарын қабылдайды.

Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері және олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік берілген кездейсоқ шаманың таралу заңдылығы деп аталады.

Дискретті X кездейсок шамасының  таралу заңдылығын кестемен берген ыңғайлы:

Х х1 х2 ... хn р p1 p2 … pn

Кестенің бірінші жолында  кездейсоқ шаманың барлык мүмкін болатын мәндері, ал екінші жолында  олардың ыктималдықтары көрсетілген. 
Практикада кездейсоқ шаманы сипаттау үшін кейбір сандық параметрлерді, мысалы, кездейсок шаманың мүмкін болатын мәндер жиынында шоғырланатын қандай да бір орта мән және орта мәнге байланысты олардың орналасуын сипаттайтын қандай да бір санды анықтаса жеткілікті. Осындай ұғымның бірі — математикалық күтім.

Мысал 1: 100 лотерея билеті шығарылған. Оның 40 билеті иесіне 50 теңгеден, 10 билеті 250 теңгеден, 5 билеті 500 теңгеден ұтыс әкеледі, ал калған билеттер ұтыссыз. Бір билетке қандай орташа ұтыс сәйкес келеді?

Шешуі. X кездейсоқ шамасының  мәндері0; 50; 250;500теңге 
десек, олардың ұтыс ыктималдықтары сәйкесінше —болады.

Мына кестеде оқиғаның таралу заңдылығы берілген: 
X 0 50 250 500

р 0,45 0,4 0,1 0,05

Мысалы, қандай да бір ойыншы барлық 100 билетті сатып алса, онда ол 7000 теңге ұтар еді. Ал бір билеттің орташа ұтысы 70 теңге болады (өйткені 7000 : 100 = 70). Сонда (0 • 45 + 50 • 40 + 250 • 10 + 500 • 5) : 100 = 0 • 0,45 + + 50 • 0,4 + 250 • 0,1 + 500 • 0,05.

Жауабы: 70 теңге.

1-мысалдағы соңғы теңдіктің  оң жағында тұрған өрнек кездейсоқ  шама мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына  көбейтінділерінің қосындысын береді. 
Анықтама: X кездейсоқ шамасы мәндерінің сәйкес ықтималдық мәндеріне көбейтінділерінің қосындысын X кездейсоқ шамасының математикалық күтімі деп атайды.

Математикалық күтімнің белгіленуі: М(Х).

Анықтама бойынша математикалық  күтім есептеу формуласы: 
М(Х) = хІ + х2р2 + ... + хп-1 рn-1 + хпрп. (1)

Мысал 2: Машина жасауда керекті  тетікті дайындау үшін 1, 2, 3, 4, 5 үлгі қолданылады. Ол үлгілердің ықтималдығы  мына кестеде берілген: 
X 1 2 3 4 5

р 0,2 0,4 0,7 0,5 0,1

10 машина жасауда қолданылатын  үлгілер сандарының орташа мәні қандай болады?

Шешуі. Алдымен бір машинаға қажетті орта мәнді анықтаймыз. Содан кейін қорытындыны 10-ға көбейтеміз.

М(Х) = 1 • 0,2 + 0,4 + 3 • 0,7 + 4 • 0,5 + 5 • 0,1 = 5,6.

Сонда 5,5 • 10 = 56. Жауабы: 56.

Математикалық күтімнің қасиеттері:

1)егер С — тұрақты  болса, онда М(С) = С, М(СХ) = СМ(Х);

2) егер Х, Y,Z кездейсоқ  шамалар болса, онда М(Х+ Ү + 2) = М(Х) + М(Ү) + М(2)

Кездейсоқ шама мәнінің математикалық  күтімге қатысты қандай мөлшерде шашырай орналасуының сандық сипаттамасын беретін ұғымдардың бірі — дисперсия. Бұл ұғымның анықтамасын берместен  бұрын ауытқудың анықтамасын берейік.

Анықтама: X кездейсоқ шамасымен М(Х) математикалық күтімнің айырымы, яғни Х-М(Х) ауытқу деп аталады, 
X- М(Х) ауытқуы мен оның квадраты (X - М(Х))2 кездейсоқ шамалар болып табылады.

Енді X кездейсоқ окиғасы  дисперсиясының анықтамасын берейік. 
Анықтама: Ауытқудың екінші дәрежесінің математикалық күтімі X кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп аталады. 
Дисперсияның белгіленуі В(Х).

Анықтама бойынша дисперсияның формуласы: 
D(X)= M[X-M(X)]2

Дисперсияның  қасиеттері:

1) Егер С тұракты болса, онда D(Х) = 0; D(СХ) = С2D(Х);

2) D(X) = М(Х2) – М2(Х);

3) X және Ү кездейсоқ шамалар болса, онда D(Х+Ү) =D)(Х) + D(Ү).

Математикалық күтімнің қасиеттерін  қолданып, (2) және (3) формулаларының мәндес екенін дәлелдеуге болады.

Мысал 3. Дискретті кездейсоқ  шама мына таралу заңдылығымен берілген:

X 0 1 2 3 4 р 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02

Кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңдар.

Шешуі. Алдымен математикалық  күтімді М(Х), содан кейін М(Х2) есептейміз:

М(Х) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 2 • 0,3 + 3 • 0,08 + 4 • 0,02 = 1,32, МСХ2) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 4 • 0,3 + 9 • 0,08 + 16 • 0,02 = 2,64. (3) формула бойынша: D(Х) = 2,64 - 1,7424 = 0,8976.

Жауабы: 0,8976. 
6.2. Таңдау әдістерінің элементтері.

Қандайда бір құбылыс, процесстерден тәжірибе немесе бақылау  арқылы қорытынды шығару - математикалық  статистиканың ең басты мақсаты. Мұндай статистикалық құбылыстар құбылыстың ықтималдығының жалпы сипаттамасын тұжырымдайды.

Таңдау әдісі  дегеніміз — таңдау аркылы алынған қандай да бір объект бөлігінің қасиеттерін қарастыру арқылы жалпы қасиеттерді зерттейтін статистикалық әдіс.

Таңдау кездейсоқ жүргізілген  жағдайда, ықтималдықтар теориясына сәйкес таңдама барлық жиынтықтың қасиеттерін  көрсетеді. Көлемі N болатын жиынтықтан алынған кез келген мүмкін болатын  п көлемді таңдамалардың тандалу ықтималдығы бірдей.

Практикада кайтарылмайтын таңдау (қайталанбайтын таңдама) өте  жиі қолданылады, яғни таңдалатын объектінің алдынан әрбір таңдалған объект жиынтыққа қайтарылмайды. Қайтарылмайтын таңдау ұтысы бар лотерея билеттерін анықтауда, сапаны бақылауда, сонымен қатар демографиялық зерттеулерде қолданылады. Қайтарылатын таңдау (қайталанатын таңдама) тек қана теориялық зерттеуде қарастырылады. Мысалы, белгілі бір уақыт ішінде ыдыс қабырғасымен соқтығысатын броундық бөлшектердің санын анықтау кезінде колданылады.

Таңдау әдісін қолдану  кезінде "вариант " және "вариациялық  қатар" ұғымдарының маңызы өте зор.

X кездейсоқ шамасының  сандық сипаттамасын қарастыру  үшін п көлемді таңдаманың  х1, х2,..., хп мәндері таңдап алынсын. X кездейсоқ шамасының бақыланған  хi мәнін вариант, ал ретімен  жазылған варианттар тізбегін вариациялық қатар деп атайды.

Таңдаманың статистикалық  таралуы деп вариациялық қатардың хi. варианттар тізбегі мен оларға сәйкес ni жиіліктерін (барлық жиіліктердің қосындысы таңдаманың п көлеміне тең) немесе салыстырмалы wi ( жиіліктерін (салыстырмалы жиіліктердің косындысы  бір санына тең) атайды. 
Тандаманың статистикалық таралуын тізбектей алынған интервалдар мен оларға сәйкес жиіліктер (жиіліктің интервалы ретінде осы интервалға тиісті варианттар жиіліктерінің қосындысы алынады) арқылы беруге болады.

Мысал 1. Таңдама жиіліктің таралуы түрінде берілген:

хі 2 5 7 р 1 3 6

Салыстырмалы жиіліктің  таралуын аныктайық.

Ш е ш у і. Алдымен  таңдаманың көлемін анықтаймыз: п = 1+3+6=10.

Енді салыстырмалы жиіліктерді табайық:

Салыстырмалы жиіліктердің берілген таралуын жазамыз: 
Хі 2 5 7 wi. 0,1 0,3 0,6

Тексеру: 0,1 + 0,3 + 0,6 = 1.

Кесінділері (х1, n1), (х2; n2),..., (хi; ni),..., (хk; nk) нүктелерін қосатын сынықты  жиіліктің полигоны деп атаймыз. Мұндағы х{ — таңдаманың варианттары, ал п{ — оларға сәйкес жиіліктер.

Кесінділері ( х1, w1), (х2; w2),..., (хi; wi),..., (хk; wk) нүктелерін косатын сынықты  салыстырмалы жиіліктің полигоны деп  атаймыз. Мұнда, хi — таңдаманың варианттары, ал wi — оларға сәйкес салыстырмалы жиілік.

Мысал 2. Таңдаманың берілген таралуы бойынша жиіліктер полигонын салайық:

хі 1 4 5 7 ni 20 10 14 6

Шешуі:

Абцисса өсіне хi-дің варианттарын, ал оларға сәйкес ni-дің жиіліктерін  ордината өсіне белгілейді. (хi; ni) нүктелерін түзулердің кесінділерімен қосып, жиілік полигонын саламыз.