Кездейсоқ оқиға және ықтималдық

Егер А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, онда немесе А, немесе В оқиғасы орындалады. Бұл деп отырғанымыз

Бұл теңдік үйлесімсіз оқиғаларға арналған ықтималдықтың қосу ережесі  деп аталады. Ол кездейсоқ оқиғаның кез келген санына байланысты өзгереді: 
m – А оқиғасына қолайлы барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, k – В оқиғасына барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, n – барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын.

Мысал 4: Бірінші жәшікте 12 түрлі-түсті шарлар, екінші жәшікте 10 түрлі-түсті шарлар бар. Кездейсоқ бір жәшіктен бір шар алынды. Дәл осылай шарды неше әдіспен таңдап алуға болады?

Бірінші жәшіктен шарды 12 әдіспен, екінші жәшіктен 10 әдіспен таңдап алуға  болады. Демек, 12+10=22.

Ал егер А және в оқиғалары  қиылысса, яғни үйлесімді болса ықтималдықтың  қосу ережесі қандай болады? Онда мынадай күрделі ережені жазайық: 
Дәлелдеуі оңай:  
Р(А)+Р(В) қосындысы – А және В оқиғаларының элементтерін жекежеке есептеп қосқанға тең. Сондықтан бұл қосынды құрамына А В қиылысуына енетін элементтер саны екі рет еніп отыр: бір рет А құрамында, екінші рет В құрамында. Олай болса m – А оқиғасына қолайлы барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, k – В оқиғасына барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Айтылып өткен m+k оқиғасының ішінде А және В оқиғасына да қолайлы қарапайым оқиғалар бар болсын. Ал n – барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Онда,

Мысал 5: Екі қылмыс жасаған  адамдар ізделінуде. Екеуі бір-біріне тәуелсіз тәулік ішінде 0,5 ықтималдықпен ұсталынуы мүмкін. Тәулік ішінде ең болмағанда бір қылмыскердің ұсталу ықтималдығы қандай? 
А – “ең болмағанда бір қылмыскер ұсталды”. Бұл оқиғаны қарапайым оқиғаларға бөлейік: В1 – бірінші қылмыскер ұсталды, ал В2 – екінші қылмыскер ұсталды. Онда, А=В1+В2, демек Р(А)=Р(В1+В2).  
Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2)-Р(В1 В2) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.

3.2. Тәуелсіз оқиғалар. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтың көбейту ережесі.

Бір тәжірибеден туындайтын кез келген А және В оқиғаларын қарастырайық. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болды дейік. Онда В оқиғасы туралы не айтуға болады?

Мысал 1: А және В үйлесімсіз және тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы  пайда болсын. Эйлер диаграммасын құрайық.

В оқиғасы орындалған жоқ.

Мысал 2: , тәжірибе нәтижесінде  А оқиғасы орындалсын. В оқиғасы  туралы не айта аламыз? Эйлер диаграммасын құрайық.

В оқиғасы орындалды.

Мысал 3: Екі асық лақтырылсын. Пайда болатын оқиғалар:

А=( бірінші асықтың бүк жағы түседі);

В=( екінші асықтың шік жағы түседі);

А оқиғасының орындалғаны  анық болса, В оқиғасы туралы не айтуға болады? Бұл жерде бірінші асықтың тәжірибесіндегі нәтиже екінші асықтың тәжірибесіндегі нәтижеге әсер ете алмайды. Демек, А және В оқиғалары бір-бірінен тәуелсіз.

Анықтама: Егер А оқиғасының орындалуы немесе орындалмауы В оқиғасының орындалуына немесе орындалмауына әсер етпейтін болса, онда бұл А және В оқиғалары өзара тәуелсіз деп аталады.

Мысал 4: 1-ден 10-ға дейінгі  натурал сандар арасынан кез келген бір сан таңдап алынады. Пайда  болатын оқиғаларды қарастырайық:

А=( алынған сан 2-ге бөлінеді );

В=( алынған сан 3-ке бөлінеді);

Қарап тұрсақ, санның 2-ге бөлінгіштігінің 3-ке бөлінгіштігіне еш қатысы жоқ сияқты. Дегенменде, олар бір-біріне тәуелді.

Алдымен В оқиғасының ықтималдығын анықтайық. Барлық он сан ішінен 3-ке тек үш сан – 3, 6, 9 бөлінеді. Онда Р(В)= .

Алынған сан 2-ге бөлінеді дейік. Яғни А оқиғасы орындалды, бірақ  алынған сан –белгісіз. Бұл алынған санның 3-ке бөліну ықтималдығы қандай? Алынған санның 2-ге бөлінетіндігін дәл білгендіктен, ол сан мына бес сандардың біреуі болуы мүмкін: 2, 4, 6, 8, 10. Бқл сандардың ішінен 3-ке тек 6 ғана бөлінеді. Мұндай шарттардан соң, В оқиғасының ықтималдығы -ке тең. А болғандықтан, В оқиғасының мүмкіндігі азайды. Демек, бұл жерде А және В оқиғаларын тәуелсіз деп айтуға болмайды.

А және В оқиғаларының қиылысуын қарастырайық:

1) бірінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы бос болса, онда В орындалмайды.

2) екінші мысалдағыдай, олардың  қиылысуы барлық А-мен беттессе, онда В қатаң орындалады, себебі  қалған нәтижелер В оқиғасына қолайлы.

3) төртінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы бос емес  және беттеспесе, онда В оқиғасының  ықтималдығын А В-ның нәтижелер  санын А-ның нәтижелер санына қатынасы түрінде анықтаған дұрыс. Егер А оқиғасы орындалса, онда бұл ықтималдықты В оқиғасының шартты ықтималдығы деп атайды:

Егер В оқиғасының ықтималдығы  А оқиғасының орындалуы немесе орындалмауынан өзгермесе, яғни оның шартты ықтималдығы болса, онда В оқиғасы А оқиғасынан тәуелсіз. Бұл теңдікті шартты ықтималдық теңдігімен теңестірейік: Бұл теңдік орындалса, оқиғалар тәуелсіз деп аталады. Ал соңғы теңдік ықтималдықтың көбейту ережесі деп аталады.

Мысал 5: Дидарда үйге кіру үшін 3 кілт бар. Қараңғыда ол есікке кілтті кездейсоқ әдіспен таңдап, аша бастайды. Әр есікті ашуға 5 секундтан уақыт кетеді. Оның 15 секундта барлық есіктерді ашу ықтималдығын табыңдар. 
А – “барлық есіктердің ашылуы”. Бұны қарапайым оқиғаларға бөлейік. В – “бірінші есік ашылды“, С – “ екінші есік ашылды“, ал D – “ үшінші есік ашылды“. Онда А=ВСD, демек Р(А)=Р(ВСD).

4. Комбинаторика және ықтималдықты есептеу.

4.1. Алмастыру және  орналастыру. Факториал.

Комбинаторика сөзі латынның “combino” – біріктіремін дегенді білдіреді. Шыныменде кез келген комбинацияны әртүрлі әлементтерді бір-бірімен біріктіру арқылы аламыз. Комбинаторикада әр комбинацияға өз атын береді. Біз соның қазір екі түрімен танысамыз – алмастыру және орналастыру.

Алдымен факториалмен танысайық.

n элементтен тұратын орналастыруды  құруда бірінші элементті n әдіспен  таңдауға болады, одан кейін екінші  элементті (n-1) әдіспен (себебі  алдында бір элемент бар), одан  кейін үшінші элементті (n-2) әдіспен,  одан әрі қарай тағыда сол сияқты таңдалынады.

Барлығы: орналастыру аламыз. Бұл 1-ден бастап n-ге дейінгі натурал  сандардың көбейтіндісі математикада n санының факториалы деп аталып, Деп n белгіленеді.

Мысал 1:

Ескерту: Қолайлы болу үшін 0!=1 деп алынады. 
Қайталанбалы орналастырулар.

Айталық, бізге бос емес Х жиыны берілсін. Осы жиынның элементтерінен кұрастырылған мынадай тізімді карастырайық: 
Мұнда кейбір элементтер кайталанып орналасуы мүмкін. Бұл түрдегі әрбір элементтер тізімін X жиынының элементтерінен түзілген ұзындыгы k-га тең шеру деп атайды.

Анықтама. Егер п(Х)=п болса, онда Х жиынының элементтерінен құралған әрбір ұзындығы k-га тең шеруді п-нен k бойынша алынған қайталанбалы орналастыру деп атайды. Ал барлық n-нен k бойынша алынған қайталанбалы шерулер санын арқылы белгілейді және бүл санды мына формуламен анықтайды:

Дәлелдеу. Шынында да, шерудің  әрбір орнында X жиынының кез келген элементі орналаса алады. Онда көбейту ережесі бойьшша 

Дәлелдеу керегі де осы.

Мысал 1: 3 түрлі нәсілді 6 материкке неше түрлі әдіспен қоныстандыруға болады?

Жауабы:

4.2. Қайталанбайтын  орналастырулар.

Алмастырулар X жиыны п элементтен кұралған жиын болсын. Онда Х-тің элементтерінен құралған, ұзындығы k-ға тең және элементтері кайталанбайтын әрбір шеруді п-пен k бойынша алынган қайталанбайтын орналастыру деп атайды. Қайталанбалы орналастыруда п және k кез келген натурал сандар болуы мүмкін. Ал кайталанбайтын орналастыруларда n k болуы қажет. X жиынының элементтерінен құралған барлык n-нен k бойынша алынған кайталанбайтын орналастырулар санын арқылы белгілейді және мынадай формула орындалады:

Шынында да, ұзындығы k-ға тең  шерудің бірінші орнында Х  жиынының n түрлі элеметтерінің кез  келгені орналаса алады, ал екінші орында, элементтері кайталанбайтындықтан, қалған n-1 түрлі элементтердің кез  келгені орналаса алады және т.с.с. k-сыншы орында әр түрлі п-k+1 элементтер орналаса алады. Сондықтан көбейту ережесі бойынша теңдігі орындалады. Осыдан

Егер п=k болса, онда кайталанбайтын орналастыруды п элементтің алмастыруы деп атайды. Барлық п элементтен алынған алмастырулар санын Рп арқылы белгілейді және Шынында да !=1 болатынын ескерсек, онда

Мысал 1: 8 қаладан өтетін саяхат бағытын неше түрлі тәсілмен құруға болады?

Шешімі:

Бірінші қаладан шығатын  болғандықтан, қалған қала саны 7 болады:

Мысал 2: Мектептегі оқушылардың  «Жас спортшылар» ұйымына 9 оқушы  таңдалды. Енді осы оқушылар арасынан ұйымның басшысы мен орынбасарын таңдау қажет. Оны неше әдіспен таңдауға болады?

Шешімі:

9 оқушыдан тұратын ұйымнан  2 оқушы таңдалады. Оқушылар қайталануы мүмкін емес. Демек, 9 оқушы арасынан 2 адамды қайталанбайтын орналасу санын табу қажет. Яғни, басшы мен оның орынбасарын әдіспен таңдауға болады.

4.3. Қайталанбайтын  терулер

Анықтама: п элементі бар X жиыныныц әрбір k элементті ішкі жиынын п-нен k бойынша алынган қайталанбайтын теру деп атайды. Ал барлық п-нен k бойынша алынған қайталанбайтын терулер санын арқылы белгілейді.

Формуласы орындалады. Мұнда санын теру коэффициенті деп атайды. 
Дәлелдеу. теңдігі орындалады. Шынында да, әрбір п-нен k бойынша алынған кайталанбайтын теруді түрлі тәсілмен алмастыру арқылы барлық n-нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыруды аламыз.

Мысал

1: Бәйге жарысына жылқышы 16 тұлпарлардың арасынан 8 тұлпарды таңдады. Егер бәйгеге 4 тұлпардың қатысатыны белгілі болса, онда жылқышы тұлпарларды неше түрлі тәсілмен таңдай алады?

Шешімі:

Барлық 16 тұлпардан 4-уі нақты  қатысатыны белгілі болса, онда 16-4=12. Ал таңдалатын 8 тұлпардың 4-уі нақты қатысатын тұлпарлар, онда 8-4=4. Яғни қалған 12 тұлпардан 4 тұлпарды кез келген әдіспен таңдауға болады.

5. Негізгі формулалар.

5.1. Толық ықтималдықтың  формуласы.

Үйлесімсіз оқиғалар берілсін. А оқиғасы осы үйлесімсіз оқиғалардың біреуімен қатар пайда болады дейік. Ықтималдықтың көбейту ережесі бойынша А оқиғасының оқиғасымен бірге пайда болуының ықтималдығы , ал оқиғасымен бірге пайда болу ықтималдығы , ал оқиғасымен бірге пайда болу ықтималдығы болады.

Үйлесімсіз оқиғалар болғандықтан, оқиғаларының ықтималдықтарды қосу ережесін қолданып, А оқиғасының пайда болу ықтималдығын табамыз.

Бұл теңдік А оқиғасының толық ықтималдығы деп аталады.

Мысал 1: Атмосфераны тропосфера, стратосфера, мезосфера, экзосфера  деп аталатын қабаттарға бөледі. Белгілі бір тексеруде алынған қабаттардың бірінің алыну ықтималдығы сәйкес: 0,75; 0,25; 0,6; 0,5;. Ал белгілі бір мерзімде олардағы ауа мөлшерінің өзгеру ықтималдықтары сәйкес: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4;. Кездейсоқ тексеруде алынған қабаттағы ауа мөлшерінң өзгеру ықтималдығы қандай?

Шешімі:

А – алынған қабатта ауа мөлшері өзгереді

А1- тропосфера қабаты

А2- стратосфера қабаты

А3- мезосфера қабаты

А4- экзосфера қабаты

5.2. Байес формуласы

А оқиғасы үйлесімсіз оқиғаларымен бірге пайда болсын. Бұл оқиғалардың ықтималдықтары және шартты ықтималдықтары , ..., арқылы белгіленсін. А оқиғасы болып өтті делік. А оқиғасымен бірге оқиғаларының пайда болу ықтималдығын табайық. Ықтималдықтың көбейту ережесі бойынша

Мұнда Р(А)-ның орнына А  оқиғасының толық ықтималдығы алынады.

Бұл формула Байес формуласы деп аталады.

Мысал 1: 2000 жылы әлемдік экспорттың Азия елдеріне 40% пайызы, Сингапурға 20% пайызы, Корея Республикасына 30% пайызы тиесілі. Азия елдері экспортының 80 % -ы, Сингапур елінің 70% пайызы, Корея Республикасының 90% пайызы бірінші сортқа жатады. Әлемдік экспортқа шыққан бұйымдардан сатып алынған бір бұйымның бірінші сортқа жататындығы анықталды. Алынған бұйымның Азия елдері экспортынан болу ықтималдығы қандай?

Шешімі:

А – бірінші сортқа жатады.

А1- Азия елдері экспортынан алынуы

А2- Сингапур экспортынан  алынуы

А3- Корея Республикасы экспортынан алынуы

5.3. Бернулли формуласы.

Бір тәжірибеден кейінгі  А оқиғасының орындалу ықтималдығы p-ға тең болсын, ал орындалмауы .

Онда n қайталанбалы тәжірибеден  кейін А оқиғасының орындалу ықтималдығы m-ге тең болу ықтималдығы қандай? Бұл оқиғаны « » деп жазайық. -ді іздестіреміз. n тәуелсіз тәжірибе нәтижесінде пайда болған оқиғасында А оқиғасы m рет орындалсын, ал орындалмағаны болсын. Орындалмағанын деп белгілейік. m тор А әріптерімен, n-m тор әріптермен толтырылған оқиғасы болсын. Онда дәл осындай оқиға А әрпінің m санымен және әрпінің n-m санымен қанша қайталанбалы орналастыру орындалса, соншалықты орындала алады. Бұндай оқиғалар санын N деп белгілейік.

(1)Біз іздестіріп отырған « » - , , ..., N оқиғаларының бірігуін көрсетеді. Олар теңмүмкіндікті және жұптарымен үйлесімсіз, сондықтан

(2)Бірақ та, Тәжірибе тәуелсіз және болғандықтан, көбейту ережесі бойынша

(3) (1), (3) нәтижесін (2)-ге қоямыз:

Бұл формула Бернулли формуласы деп аталады.

Мысал 1: Жәшікте 3 ақ және 2 қара шар бар. Одан бес рет бір шардан алынып, сосын келесі тәжірибе алдында салынып отырады. Бұл тәжіибе қорытындысында ақ шар кез келген ретпен 3 рет шығу ықтималдығын анықтаңдар.

р = 3/5, ал ақ шар шықпау ықтималдығы — q = 2/5.