Средняя арифметическая простая
используется в тех случаях, когда варианты
или варьирующие признаки встречаются
только по одному разу и имеют одинаковый
вес в совокупности. Средняя арифметическая
взвешенная используется, когда данные
сгруппированы, а отдельные значения признака
встречаются неодинаковое число раз.
Средняя гармоническая - это
величина, обратная средней арифметической
из обратных значений признака. Средняя
гармоническая вычисляется в тех случаях,
когда в качестве весов применяются не
единицы совокупности, а произведения
этих единиц на значения признака (то есть
М=х×f).
Средняя гармоническая простая
исчисляется в тех случаях, когда веса
одинаковы, то есть равны между собой.
Средняя геометрическая простая
используется при вычислении среднего
коэффициента роста (темпа роста) в рядах
динамики.
Средняя квадратическая используется
для расчетов среднего квадратического
отклонения (s).
Для вычисления средней в дискретных
рядах варианты нужно умножить на частоты
и сумму произведений разделить на сумму
частот, то есть по средней арифметической
взвешенной:
.
Для вычисления
средней в интервальных рядах нужно перейти
к дискретному ряду, то есть по каждой
группе вычислить значение интервала,
заменить интервал его средним значением
и вычислить по формуле:
.
Для того чтобы проверить правильность
выбора формул, надо учитывать:
– среднее значение признака
не должно выходить за пределы минимального
и максимального значений признака совокупности;
– среднее значение ближе к
тому значению признака, которому соответствует
большая частота.
Степенные средние
дают обобщающую характеристику совокупности
и являются абстрактными величинами, полученными
расчетным путем, в то же время эти средние
не отражают всех особенностей совокупности,
они могут быть различными для одинаковых
совокупностей или иметь одинаковое значение
для совокупности с различным строением.
Кроме степенных средних в статистике
для относительной характеристики величины
варьирующего признака и внутреннего
строения рядов распределения пользуются
структурными средними, которые представлены
,в основном, модой и медианой. [1;113]
Мода - это наиболее часто встречающийся
вариант ряда. Мода применяется, например,
при определении размера одежды, обуви,
пользующейся наибольшим спросом у покупателей.
Модой для дискретного ряда является варианта,
обладающая наибольшей частотой. При вычислении
моды для интервального вариационного
ряда необходимо сначала определить модальный
интервал (по максимальной частоте), а
затем - значение модальной величины признака
по формуле:
где:
- значение моды
- нижняя граница модального интервала
- величина интервала
- частота модального интервала
- частота интервала, предшествующего
модальному
- частота интервала, следующего за модальным
Медиана - это значение признака,
которое лежит в основе ранжированного
ряда и делит этот ряд на две равные по
численности части.
Для определения медианы в дискретном
ряду при наличии частот сначала вычисляют
полусумму частот
, а затем определяют, какое значение варианта
приходится на нее. (Если отсортированный
ряд содержит нечетное число признаков,
то номер медианы вычисляют по формуле:
Ме = (n(число признаков
в совокупности) + 1)/2,
в случае четного числа признаков
медиана будет равна средней из двух признаков
находящихся в середине ряда).
При вычислении медианы для
интервального вариационного ряда сначала
определяют медианный интервал, в пределах
которого находится медиана, а затем —
значение медианы по формуле:
где:
- искомая медиана
- нижняя граница интервала, который содержит
медиану
- величина интервала
- сумма частот или число членов ряда
- сумма накопленных частот интервалов,
предшествующих медианному
- частота медианного интервала
Например, необходимо найти
моду и медиану по следующим данным:
Таблица 2. Данные для расчёта
Возрастные группы |
Число студентов |
Сумма накопленных частот ΣS |
До 20 лет |
382 |
382 |
20-25 лет |
815 |
1197(382+815) |
25-30 лет |
1043 |
2240(1197+1043) |
30-35 лет |
713 |
2953(2240+713) |
35-40 лет |
195 |
3148(2953+195) |
40-45 лет |
16 |
3164(3148+16) |
45 лет и более |
12 |
3176(3164+12) |
ИТОГО |
3176 |
|
В данном примере модальный интервал
находится в пределах возрастной группы
25-30 лет, так как на этот интервал приходится
наибольшая частота (1043 студента).
Рассчитаем величину моды:
== 25+5=26,7 лет
Это значит, что модальный возраст студентов
равен 26,7 годам.
Вычислим медиану. Медианный интервал
находится в возрастной группе 25-30 лет,
так как в пределах этого интервала расположена
варианта, которая делит совокупность
на две равные части (Σfi/2 = 3176/2 = 1588). Далее подставляем в
формулу необходимые числовые данные
и получаем значение медианы:
Это значит что одна половина студентов
имеет возраст до 26,8 лет, а другая свыше
26,8 лет.
Кроме моды и медианы могут быть использованы
такие показатели, как квартили, делящие
ранжированный ряд на 4 равные части, децили
на 10 частей и перцентили - на 100 частей.
[4;39]
2. ПОНЯТИЕ ВАРИАЦИИ
2.1. Расчёт показателей
вариации
Чтобы дать представление о
величине варьирующего признака недостаточно
исчислить средний показатель. Кроме средней
необходим показатель, характеризующий
вариацию признака.
Вариация - это изменение значения
признака у отдельных единиц совокупности.
Вариация определяет различия
в значениях какого-либо признака у разных
единиц данной совокупности в один и тот
же период (момент времени). Причиной вариации
бывают разные условия существования
разных единиц совокупности.
Вариации возникают в результате
того, что сами знаения признака складываются
под суммарным влиянием разнообразных
условий, которые разным образом сочетаются
в каждом отдельном случае. Таким образом,
величина любого варианта объективна.
Иследования вариации в статистике
имеют огромное значение, помогают познать
сущность изучаемого явления. Нахождение
вариации, выяснение её причин, выявление
влияния отдельных факторов дают важную
информацию для внедрения научно обоснованных
управленческих решений.
В отличие от вариации, средняя
величина даёт обобщённую характеристику
признака совокупности, но не раскрывает
её строения. Среднее значение не показывает
как распологаются вокруг неё варианты
усреднённого признака, распределены
ли они вблизи средней или отклоняются
от неё. Средняя в двух совокупностях может
быть одинаковой, но в одном варианте все
индивидуальные значения отличаются от
неё незначительно, а в другом эти значения
велики, то есть в первом случае вариация
признака мала, а во втором - велика, это
имеет очень важное значение для характеристики
значимости средней величины.
Для того,чтобы руководитель
организации, управляющий, научный работник
могли изучать вариацию и управлять ей.
статистикой разработаны специальные
методы исследования вариации (система
показателей). С их помощью вариация находится,
характеризуются её свойства.
Вариационный ряд - это упорядоченное
распределение единиц совокупности чаще
по возрастающим (реже по убывающим) значениям
признака и подсчёт числа единиц с тем
или иным значением признака. [1;124]
Существуют следующие формы
вариационного ряда:
- Ранжированный ряд - перечень
отдельных единиц совокупности в порядке
возрастания (убывания) изучаемого признака.
- Дискретный вариационный ряд
- это таблица, состоящая из двух строк
или граф: конкретных значений варьирующего
признака x и числа единиц совокупности с данным значением f - признаком частот. Он строится тогда, когда признак принимает наибольшее число значений.
- Интервальный вариационный
ряд - упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины. Для построения такого ряда весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивают на ряд частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.
Недостаточность средней величины
для исчерпывающей характеристики совокупности
заставляет дополнять средние величины
показателями, позволяющими оценить типичность
этих средних путем измерения колеблемости
(вариации) изучаемого признака. Использование
этих показателей вариации дает возможность
сделать статистический анализ более
полным и содержательным и тем самым глубже
понять сущность изучаемых общественных
явлений.
Самыми простыми признаками
вариации являются минимум и максимум - это наименьшее
и наибольшее значение признака в совокупности.
Число повторений отдельных вариантов
значений признаков называют частотой повторения. Обозначим частоту
повторения значения признака fi, сумма частот,
равная объему изучаемой совокупности
будет:
где k – число вариантов
значений признака.
Частоты удобно заменять частостями
– wi. [1;125]
Частость – относительный показатель
частоты – может быть выражен в долях
единицы или процентах и позволяет сопоставлять
вариационные ряды с различным числом
наблюдений. Формально имеем:
Для измерения вариации признака
применяются различные абсолютные и относительные
показатели.
2.2. Абсолютные и относительные
показатели вариации
Изменение вариации признака
в совокупности осуществляется с помощью абсолютных и относительных показателей.
Абсолютные показатели вариации
включают:
среднее линейное отклонение
среднее квадратическое отклонение
Относительные показатели вариации
включают:
Относительное линейное отклонение
(линейный коэффициент варианции)
Коэффициент вариации (относительное
отклонение)
Размах вариации
- это разность между максимальным и минимальным
значениями признака
Он показывает пределы, в которых изменяется
величина признака в изучаемой совокупности.