Планетарий

Бүкіләлемдік тартылыс заңы және екі дене есебі

 

Жұмыстың мақсаты: Аспан денелерінің массасын анықтау және гравитациялық үдеуді зерттеу.

 

Қажетті құрал-жабдықтар: Астрономиялық календарь – тұрақты бөлімі немесе “Справочник любителя астрономии”; логарифмдік таблица; микрокалькулятор.

 

ТЕОРИЯЛЫҚ БӨЛІМ

 

Бүкіләлемдік тартылыс заңының математикалық формуласын Ньютон қорытып шығарды, яғни бұл күштің әсерінен планеталар Күнді айнала, жасанды спутниктер Жерді айнала қозғалады. Бұл заңның салдары ретінде Кеплердің үш заңы ашылып, Күнді айнала қозғалып жүрген барлық аспан денелеріне қолдануға болатындығы көрсетілген.

Бір аспан денесінің қозғалыс орбитасын екінші аспан денесіне қатысты анықтау мәселесі екі дене есебі деп аталады. Бұл мәселені шешкен кезде массасы үлкен  (М) аспан денесін орталық дене деп атайды да, оны қозғалмайды деп есептеп,массасы m кіші дене орталық денеге қатысты қозғалыста деп қарастырылады. Орталық дененің тартылыс өрісіндегі аспан денесі – шеңбер, эллипс, парабола не гипербола бойымен қозғалып,орталық дене үнемі қозғалыстағы дене орбитасының бір орбитасында орналасатындығын Ньютон дәлелдеген . Орталық денеден r қашықтықта қозғалып жүрген дененің V сызықтық жылдамдығы энергия интегралы бойынша былай анықталады:

                                           (1)

мұндағы , а – орбитаның үлкен жарты осі, r – қозғалыстағы дененің радиус векторы, f – гравитациялық тұрақты.

Энергия интегралына сәйкес, орталық денеден r қашықтықта қозғалып жүрген дененің орбитасын сипаттайтын өзіне тән  V сызықтық жылдамдығының мәндері сәйкес болады.Мысалы, аспан денесі орталық дене айналасында шеңбер бойымен r = а радиусына тән болу үшін берілген r = а қашықтықтағы оның жылдамдығының шамасы V=Va, (1) теңдікке сәйкес былай анықталады:

                                                                  (2)

немесе              

                                                                                        (3) 

Бұл жылдамдық Va – шеңберлік жылдамдық (круговая скорость) деп аталады.

Егер орталық денеден қашықтықта қозғалып жүрген дененің жылдамдығы Va – дан артық болса, соғұрлым эллипстік орбита созылыңқы болады(0<е<1). Ал егер, орталық денеден қашықтыққа қозғалып жүрген дененің жылдамдығы

                               (4)

болса, онда бұл дене орталық дененің серігі болудан қалады да, ол параболалық орбита бойымен қозғалып кетеді. Расында да,

                                    

   энергия интегралы  , яғни , параболалық орбитаны сипаттайды (l=1). Сондықтан жылдамдығы,

                       (5)

теңдеуі бойынша анықталып, бұл жылдамдықты параболалық жылдамдық деп атайды.

     V>Vп болғанда дене қозғалысы гипербола бойынша жүреді (l>1). Қажетті шамаларды есептеу барысында әртүрлі өлшем бірліктермен жұмыс істеуге тура келеді. Мысалға аспан денелерінің бір-бірімен қашықтықтары километр (км) арқылы, немесе астрономиялық өлшем бірлік (а.о.б.), аспан денасінің массасы – Жер массасы, Күн массасы арқылы, кейде грамм (г), уақыт – жыл, орташа күн уақтысы, секунд бойынша, сызықтық жылдамдық – км/с т.б. болып кете береді. Бірақ бұл есепті шешкен кезде кез-келген өлшем бірлікті ала беруге болады деген сөз емес, барлығы есептің шартына тәуелді болады. Барлық физикалық шамалар бірдей өлшеммен алынуы тиіс, және белгілі бір система жүйесіне сәйкес болу керек. Көбінесе СГС жүйесі жиі қолданылады, ол бойынша массаны граммен (г), қашықтықты – сантиметрмен (см), уақытты – секундпен (с),  жылдамдықты – см/с, үдеуді – см/с2,  ал бұл кезде гравитациялық тұрақтыны f=6,668.10-8г –1.см3.с-2.

Астрономияда Халықаралық системасы СИ аз пайдаланады, ол бойынша  масса – килограммен, қашықтық – метрмен (м),  уақыт секундпен, жылдамдық – м/с, f=6,68.10-11кг –1.м3.с-2. Аспан денелерінің массасын 1г. немесе 1кг. дәлдікке дейін анықтаудың қажеті аз екндігін ескерте кету қажет,  тек өлшеулерді бір жүйеде жүргізу керек. Астрономияда кейде Гаусстық есептеу жүйесі қолданылады, бұл жүйеде аспан денелерінің массасы Күн массасымен, ұзындық-астрономиялық бірлікпен (а.о.б.), ал уақыт – орташа күн тәулігімен есептелінеді.

Аспан денелерінің массасын Күн массасына  қатысты, қашықтықты-астрономиялық өлшем бірлікте, ал жылдамдықты – км/с алсақ, онда

f=885,95 және  =29,76

(1) теңдіктегі Күн массасын М=1 деп алсақ және Күн массасымен  салыстырғандағы оның серіктерінің  массасын (m=0) десек болады да Күннің тартылыс өрісіндегі аспан денелерінің жылдамдығы былай анықталады

                  (6)

мұндағы r және a- астрономиялық өлшем бірлікпен (а.о.б.), ал  V – км/с алынады.

(6) теңдеудің көмегімен Күннен  кез-келген r қашықтықта қозғалып жүрген планеталар мен кометалардың жылдамдықтарын есептеуге мүмкіндік береді. (6) формуладығы a=r қою арқылы шеңбер бойымен қозғалыстың жылдамдығын табуға болады

                             (7)

және параболалалық жылдамдықтың мәнін   Күннен кез-келген r қашықтықта қозғалып жүрген аспан денесінің жылдамдығын  (7) теңдікке r = a қойып,  оны (6) денелердің V жылдамдықтарын шеңбер бойымен қозғалыс жылдамдықтарын анықтауға мүмкіндік беретін ыңғайлы формуланы шығарып алуға болады. (Va).

Энергия интегралының теңдеуінен (1) Кеплердің жалпыланған үшінші заңын оңай шығарып алуға болады, ол үшін спутниктің эллипстік қозғалысындағы шеңбер бойымен қозғалысқа ауыстырып, орнына радиустың а қою керек, ол эллипстің үлкен жарты осіне тең. Сол кезде спутниктің шеңбер бойымен қозғалыс жылдамдығы

                                                                       (8)

мұндағы Т – спутниктің орталық денені айналып қозғалу периоды, ал (2) формула бойынша

 

                                            

болғандықтан                    

олай болса                                        (9)

 

Спутниктердің массасы m, орталық дененің массасымен M салыстырғанда өте кішкентай және аз болғандықтан (9) формуладағы m шамасын ескермей тастап, орталық дененің массасын белгілі бір есептеу жүйесінде есептеп табуға болады.

Көбінесе аспан денелерінің Күн немесе Жер массасына қатысты есептелетіндіктен (яғни Күн массасы немесе Жер массасы ) айнымалы қозғалыстағы екі денеге Кеплердің жалпыланған үшінші заңын пайдалануға болады.

                                                      (10)

 

Мұндағы индексі 1-мен белгіленген  шамалар орталық денеге қатысты болады, ал 2-индексімен белгіленген шамалар сол сияқты  екінші дененің шамаларын білдіреді.

 Планеталардың массасын Жер масссасына қатысты  анықтаған кезде  планета серігінің қозғалысын Айдың Жерді  айнала қозғалысымен салыстыруға болады. Ол үшін (10) формуладағы  -планетаның массасын білдіреді, ал және –спутник орбитасының  үлкен жарты осі  және  планетаны айналу периоды, ал спутниктің массасын деп ескермеуге болады. Жердің массасын Айдың массасы, -жұлдыздық ай және  -Ай орбитасының үлкен жарты осі  деп алып, планетаның массасын -Жер массасымен есептейді және Айдың массасын (M2+m2), одан кейін ескере отырып M2 Жер массасына қатысты M1- планета массасын анықтайды. Планеталардың массасын анықтаған кезде m2- Айдың массасын ескермеуге де болады, сөйтіп планета массасын Жер массасына қатысты есептейді.

Аспан денесінің  массасы М және R радиусын біле отырып, оның  бетіндегі g еркін түсу үдеуінің шамасынесептеуге  болады, g еркін түсу үдеуінің шамасын Жердегі g0 – еркін түсу  үдеуінің шамасымен салыстыра отырып, қажет кезде сан  мәндерімен салыстырып отырған дұрыс болады. Олай болса, кез-келген аспан денесінің бетіндегі еркін  түсу үдеуінің шамасы g төменгі формула бойынша анықталынады

                              (11)

ал Жер бетіндегі еркін түсу үдеуінің шамасы

                            (12)

сол кезде

                   (13)

 мұндағы М – Жер  массасы  арқылы, ал R – дененің тартылыс  өрісінде r  қашықтықта қозғалып жүрген дененің гравитациялық еркін түсу үдеуі мына формулалар бойынша анықталады:

                       (14)

                               (15) 

егер m-M  салыстырғанда өте аз болса.

(15) формуланың көмегімен егер  гравитациялық еркін түсу үдеуінің  шамасы белгілі болса, орталық  дененің массасын анықтауға мүмкіндік  береді.

(15) теңдікті (2) теңдікке бөле отырып  gr анықтауға болатын қарапайым формуланы аламыз, ондағы r аспан денесінің  R радиуысымен беріледі.

 

 

ТАПСЫРМА

1. Айдың Жерді айнала қозғалысы бойынша СГС жүйесінде Жер массасын анықтаңдар.
2. Келесі кіші планеталардың шеңберлік, параболалық және шын жылдамдығын, орташа, перигелии және афелийі қашықтықтары үшін анықтаңдар: 1) Психея, 2) Андромахи, 3) Эскулапии, 4) Урании, 5) Галатеи, 6) Глазенапии, 7) Фотографики.
3. 1) Жер массасына қатысты Күннің массасын

     2) Фобостың қозғалысына  қатысты Марстың;

     3) Ионның қозғалысына  қатысты Юпитер планетасының;

     4) Титанның қозғалысына  қатысты Сатурнның;

     5) Ариэльдің қозғалысына  қатысты  Уранның;

     6) Тритонның қозғалысына  қатысты Нептунның;

     7) Деймостың қозғалысына  қатысты Марстың;

     8) Европаның қозғалысына  қатысты Юпитердің;

     9) Япеттің қозғалысына  қатысты Сатурн планеталарының  массаларын анықтаңдар.

4. Күннің, Айдың және планеталардың бетіндегі еркін түсу үдеуінің шамасын анықтаңдар.
5. Сол аспан денелерінің бетіндегі өздеріңнің салмақтарыңды анықтаңдар
6. “Восток” космос кораблінің Ай бетіндегі салмағын есептеңдер ( бұл корабльдің  Жердегі салмағы 4,7 тоннаға тең ).

 

 

              №5 ЛАБОРАТОРИЯЛЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ЕСЕБІ

Жұмыстың орындалу күні:

1. Микрокалькулятордың көмегімен есептеу.

=

T=

lg T=

lg a=

f=

П=

lgП

lg f=

 

 

 

 

 

Жер массасы

М=

 

 

2.КІШІ  ПЛАНЕТА

                        a=                                  e=                I-e=                                 I+e=                        

r		Va	Vn	V		Қатынасы
a=						V
q=						<V>
Q=						<V>

                                                                 

3.___________________________________________________________________

 

	ЖЕР	АЙ	ПЛАНЕТА	СПУТНИК	КҮН
T a M

4.

r	R	2R	5R	10R
r2 gr

 

Қорытынды:                              Шарты:                               Шешім:             М=

 

Керекті әдебиеттер:

1. Кожеуров И.В. Элементы косманавтики в курсах физики и астрономии. М., 1977.
2. Дагаев М.М. Лабораторный практикум по курсу общей астрономии. М., 1972.
3. Рябов Ю.А. Движения небесных тел. М., 1970.

 

 

№ 6 - ЛАБОРАТОРИЯЛЫҚ ЖҰМЫС

КОСМОСТЫҚ АППАРАТТАР МЕН ЖАСАНДЫ СЕРІКТЕР

Жұмыстың мақсаты: Жасанды аспан денелерін ұшырудың теоретикалық негіздерін зерттеу.

 

Қажетті құрал-жабдықтар: Астрономиялық календарь – тұрақты бөлімі немесе «Справочник любителя астрономии», тригонометриялық функциялар таблицасы, логарифмдер таблицасы, микрокалькулятор.

 

ТЕОРИЯЛЫҚ БӨЛІМ

Жасанды аспан денелерінің массасы m, M жер массасы, Ай, планеталардың немесе Күннің массасымен салыстырғанда әлдеқайда кіші болғандықтан жасанды серіктердің қозғалысы мен ұшырудың теориялық негізі ретінде шектелген екі дене есебі, ал космостық аппраттардың қозғалысына – шектелген үш дене не одан көп дене есебі алынады. Сондықтан жасанды аспан денелері үшін энергия интегралының түрі төмендегідей болып жазылады